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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Di 24.04.2012 | | Autor: | argl |
a)Zeigen Sie, dass das Bild einer linearen Abbildung A: V -> W, also Im(A) ein Untervektorraum von W ist.
b)Zeigen Sie, dass für zwei lineare Abbildungen A,B: V -> W und Alpha, Beta Element R die Linearkombinationen AlphaA + BetaB auch eine lineare Abbildung ist.
C)Zeigen Sie, dass die Hintereinanderausführung von zwei linearen Abbildungen A: U -> V und B: V -> W wieder eine lineare Abbildung ist.
Ich habe keine Ahnung wie ich da vorgehen soll. Hat irgendjemand dafür ein paar Tips oder einen Ansatz ? Bitte möglichst verständlich, finde in der gängigen Fachliteratur im Moment auch keine wirklich verständlichen und brauchbaren Hinweise.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo argl,
> a)Zeigen Sie, dass das Bild einer linearen Abbildung A: V -> W,
> also Im(A) ein Untervektorraum von W ist.
Fangen wir mal mit dieser Teilaufgabe an.
Weißt du, was es heißt, dass A: V -> W eine lineare Abbildung ist?
(Das wirst du natürlich unterwegs brauchen.)
Weißt du, wie Im(A) definiert ist?
Was bedeutet es für Im(A), Untervektorraum von W zu sein?
(Das liefert dir, was zu zeigen ist.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Mi 25.04.2012 | | Autor: | argl |
Ja, ich weiß wie eine lineare Abbildung definiert ist.
Die Abbildung muss folgende zwei Axiome erfüllen, damit sie eine lineare Abbildung ist:
i) f(v+w) = f(v) + f(w)
ii) f (Lambda v) = Lambda f(v)
Das Bild einer linearen Abbildung entspricht den Vektoren, die durch die Abbildung "getroffen" werden oder anders ausgedrückt der Wertebereich der durch den Definitionsbereich mit Hilfe der Abbildung abgebildet wird. Die Bedingungen, dass das Bild ein Unterraum von W ist sind:
i) 0v Element W (Der Nullvektor ist Element von W)
ii) Vektoren u und v Element Img(A)
iii) Lambda u Element Img(A) wobei u Element Img(A) und Lambda Element K
Bringt mich allerdings trotz Allem auf keinen brauchbaren Ansatz, wir saßen da heute in der Uni schon eine Stunde zu dritt dran und keiner weiß, wie man dafür einen Beweis machen soll.
Bitte nach wie vor um Hilfe.
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ja, ich weiß wie eine lineare Abbildung definiert ist.
> Die Abbildung muss folgende zwei Axiome erfüllen, damit
> sie eine lineare Abbildung ist:
>
> i) f(v+w) = f(v) + f(w)
> ii) f (Lambda v) = Lambda f(v)
Ja, in dieser Teilaufgabe haben wir also
$A(v+w)=A(v)+A(w)$ für alle [mm] $v,w\in [/mm] V$ und
[mm] $A(\lambda v)=\lambda [/mm] A(v)$ für alle [mm] $v\in [/mm] V$ und alle [mm] $\lambda\in [/mm] K$.
> Die Bedingungen, dass das Bild ein Unterraum von W ist
> sind:
>
> i) 0v Element W (Der Nullvektor ist Element von W)
Nicht ganz. [mm] $0_W$ [/mm] muss ein Element von Im(A) sein.
Zeige also [mm] $0_W\in [/mm] Im(A)$.
Du musst also zeigen, dass [mm] $0_W$ [/mm] von der Abbildung getroffen wird, also dass es einen Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ gibt mit [mm] $A(v)=0_W$.
[/mm]
Von welchem Vektor aus $V$ weißt du das ganz sicher?
> ii) Vektoren u und v Element Img(A)
Nein. Die Bedingung lautet:
Wannimmer u und v Elemente von Im(A) sind, ist auch u+v Element von Im(A).
Nimm also zwei Elemente [mm] $u,v\in [/mm] Im(A)$ her. Was bedeutet [mm] $u\in [/mm] Im(A)$ und [mm] $v\in [/mm] Im(A)$?
> iii) Lambda u Element Img(A) wobei u Element Img(A) und
> Lambda Element K
In etwa. Für alle [mm] $u\in [/mm] Im(A)$ und [mm] $\lambda\in [/mm] K$ ist auch [mm] $\lambda u\in [/mm] Im(A)$.
Gleiches Spiel wie bei ii): Nimm also ein [mm] $u\in [/mm] Im(A)$ und ein [mm] $\lambda\in [/mm] K$ her. Was bedeutet wiederum [mm] $u\in [/mm] Im(A)$?
> Bitte nach wie vor um Hilfe.
Bitte poste dann solche Beiträge als Frage statt als Mitteilung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> C)Zeigen Sie, dass die Hintereinanderausführung von zwei
> linearen Abbildungen A: U -> V und B: V -> W wieder eine
> lineare Abbildung ist.
Zu zeigen ist, dass [mm] $B\circ A\colon U\to [/mm] W$ eine lineare Abbildung ist.
Wie ist sie definiert?
Was bedeutet es für [mm] $B\circ [/mm] A$, eine lineare Abbildung zu sein?
(Das liefert dir wieder, was du nachzuprüfen hast.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Mi 25.04.2012 | | Autor: | argl |
Ich muss also für die Hintereinanderausführung der beiden Abbildung schlicht und einfach die Gültigkeit der Axiome für eine Lineare Abbildung
nachweißen ? Also
i) f(u+v) = f(v) + f(u)
ii) Lambda * f(v) = f (Lambda v)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich muss also für die Hintereinanderausführung der beiden
> Abbildung schlicht und einfach die Gültigkeit der Axiome
> für eine Lineare Abbildung
> nachweißen ?
Genau!
> Also
>
> i) f(u+v) = f(v) + f(u)
> ii) Lambda * f(v) = f (Lambda v)
In unserem Fall soll [mm] $B\circ A\colon U\to [/mm] W$ linear sein.
Also ist zu zeigen:
i) [mm] $(B\circ A)(u+v)=(B\circ A)(u)+(B\circ [/mm] A)(v)$ für alle [mm] $u,v\in [/mm] U$
ii) [mm] $\lambda*(B\circ A)(v)=(B\circ A)(\lambda [/mm] v)$ für alle [mm] $v\in U,\lambda\in [/mm] K$
Starte also z.B. für i) mit [mm] $(B\circ A)(u+v)=\ldots$ [/mm] und wende die Definition der Verkettung [mm] $\circ$ [/mm] an. Dann kannst du nacheinander die Linearität von A und B ins Spiel bringen...
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