Lineare Abbildungen im K-VR < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 So 14.12.2014 | | Autor: | Sykora |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob folgende Abbildungen linear zwischen den angegebenen K-Vektorräumen sind.
1. Die Abbildung ℝ² → ℂ , [mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] ↦ [mm] cos(x_{1}) [/mm] + i [mm] sin(x_{2}) [/mm] über K = ℝ
2. Die Abbildung ℝ^{4} → ℝ , [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) [/mm] ↦ [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] über K = ℝ |
Ich weiß leider garnicht, wie man in einem K-Vektorraum prüft, ob zwei Abbildungen linear sind.
Ich würde mich über jede Hilfe freuen.
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> Untersuchen Sie, ob folgende Abbildungen linear zwischen
> den angegebenen K-Vektorräumen sind.
>
> 1. Die Abbildung ℝ² → ℂ , [mm](x_{1}, x_{2})[/mm] ↦
> [mm]cos(x_{1})[/mm] + i [mm]sin(x_{2})[/mm] über K = ℝ
>
> 2. Die Abbildung ℝ^{4} → ℝ , [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})[/mm]
> ↦ [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] über K = ℝ
> Ich weiß leider garnicht, wie man in einem K-Vektorraum
> prüft, ob zwei Abbildungen linear sind.
Hallo,
dazu muß man natürlich erstmal wissen, wie "lineare Abbildung" definiert ist.
Wie denn? Was habt Ihr dazu aufgeschrieben bzw. was steht im Skript?
Erst wenn das klar ist, kann man mit dem Lösen der Aufgabe beginnen.
LG Angela
>
> Ich würde mich über jede Hilfe freuen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 So 14.12.2014 | | Autor: | Sykora |
Das was ich aus dem Skript entnehme lautet:
Eine Abbildung L : V [mm] \to [/mm] W heißt linear, wenn für alle u, v [mm] \in [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] K gilt:
1. L(u+v) = L(u) + L(v)
2. [mm] L(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] L(v)
Muss ich nun einsetzen?
Also [mm] (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})
[/mm]
[mm] L((x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4}) [/mm] = [mm] L((x_{1}) [/mm] + [mm] L((x_{2}) [/mm] + [mm] L((x_{3}) [/mm] + [mm] L(x_{4})
[/mm]
Was erfahre ich nun daraus?
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> Das was ich aus dem Skript entnehme lautet:
>
> Eine Abbildung L : V [mm]\to[/mm] W heißt linear, wenn für alle u,
> v [mm]\in[/mm] V, [mm]\lambda \in[/mm] K gilt:
>
> 1. L(u+v) = L(u) + L(v)
> 2. [mm]L(\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda[/mm] L(v)
Hallo,
ja, dies ist die benötigte Definition.
Prüfen wir nun zuerst die Abbildung
F: ℝ² → ℂ ,
[mm] (x_{1}, x_{2}) [/mm] ↦ [mm] cos(x_{1}) [/mm] + i [mm] sin(x_{2})
[/mm]
über K = ℝ.
Wir müssen also schauen, ob für beliebige zwei Elemente [mm] u,v\in \IR^2 [/mm] gilt, daß F(u+v)=F(u)+F(v),
und daß für jedes [mm] \lambda\in\IR gilt:F(\lambda v)=\lambda [/mm] F(v).
Überlegen wir, wie die Elemente aus dem [mm] \IR^2 [/mm] aussehen.
Es sind Zahlenpaare.
Seien also [mm] u:=\vektor{u_1\\u_2}, v:=\vektor{v_1\\v_2}\in \IR^2 [/mm] und sei [mm] \lambda\in [/mm] K.
Es ist
[mm] F(u+v)=F(\vektor{u_1\\u_2}+\vektor{v_1\\v_2})
[/mm]
[mm] =F(\vektor{u_1+v_1\\u_2+v_2})=...
[/mm]
und
[mm] F(u)+F(v)=F(\vektor{u_1\\u_2})+F(\vektor{v_1\\v_2})=...+...
[/mm]
Ist das immer gleich?
Wenn nein:
zeig an einem Zahlenbeispiel, daß es nicht gleich ist. Damit hast Du dann die Linearität widerlegt.
Wenn ja:
nun die Multiplikation prüfen,
also schauen, ob
[mm] F(\lambda u)=F(\lambda(\vektor{u_1\\u_2})=F(\vektor{\lambda u_1\\\lambda u_2})=...
[/mm]
desselbe ist wie
[mm] \lambda F(u)=\lambda F(\vektor{u_1\\u_2})=\lambda*...=...
[/mm]
Bei der zweiten Abbildung nimmst Du die beiden Elemente [mm] u:=\vektor{u_1\\u_2\\u_3\\u_4}, v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3\\v_4}
[/mm]
und gehst entsprechend vor.
LG Angela
>
> Muss ich nun einsetzen?
> Also [mm](x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})[/mm]
> [mm]L((x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] +
> [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4})[/mm] = [mm]L((x_{1})[/mm] + [mm]L((x_{2})[/mm] + [mm]L((x_{3})[/mm] +
> [mm]L(x_{4})[/mm]
> Was erfahre ich nun daraus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 So 14.12.2014 | | Autor: | Sykora |
Alles klar, vielen dank für die Erklärung!
Ich werde mich nun dran setzen und mein bestes geben.
Gruß, Pascal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 So 14.12.2014 | | Autor: | Sykora |
| Aufgabe | | Die Abbildung [mm] \IR \to \IR^{4} [/mm] , x [mm] \mapsto [/mm] (x, x+2, 0, 2x) über K = [mm] \IR [/mm] |
Eine kurze frage habe ich bezüglich einer anderen aufgabe noch (siehe oben):
Ich bin soweit, dass ich nun folgendes habe:
[mm] \forall [/mm] u, v [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \lambda \in [/mm] K gilt:
f(u) + f(v) = f(u+v) = ..?
Hier komme ich nicht weiter.
Wie kann das f(u+v) in die Form von (x, x+2, 0, 2x) umformen?
Ich hätte mir gedacht, ich schreibe:
(u+v, u+v+2, 0, 2*(u+v))
Ist dies richtig?
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> Die Abbildung [mm]\IR \to \IR^{4}[/mm] , x [mm]\mapsto[/mm] (x, x+2, 0, 2x)
> über K = [mm]\IR[/mm]
> Eine kurze frage habe ich bezüglich einer anderen aufgabe
> noch (siehe oben):
>
> Ich bin soweit, dass ich nun folgendes habe:
> [mm]\forall[/mm] u, v [mm]\in \IR[/mm] und [mm]\lambda \in[/mm] K gilt:
>
> f(u) + f(v) = f(u+v)
Ja, das ist für die Linearität zu zeigen.
Es ist
f(u)+f(v)=(u,u+2,0,2u)+(v,v+2,0,2v)=(u+v,u+v+4,0, 2(u+v))
und
f(u+v)=
> (u+v, u+v+2, 0, 2*(u+v)).
Nun mußt Du entscheiden, ob das gleich ist.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 So 14.12.2014 | | Autor: | Sykora |
Nun ist es verständlicher, danke.
Also gleich ist es nicht, da sich das "u+v+4" von "u+v+2" unterscheided.
Wenn ich nun einfach für u=2 und v=2 einsetze, kann ich es damit widerlegen?
Sozusagen wäre dann f(u)+f(v) = (4, 8, 0, 8)
und f(u+v) = (4, 6, 0, 8)
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> Nun ist es verständlicher, danke.
>
> Also gleich ist es nicht, da sich das "u+v+4" von "u+v+2"
> unterscheided.
> Wenn ich nun einfach für u=2 und v=2 einsetze, kann ich
> es damit widerlegen?
>
> Sozusagen wäre dann f(u)+f(v) = (4, 8, 0, 8)
> und f(u+v) = (4, 6, 0, 8)
Ja, genau.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 So 14.12.2014 | | Autor: | Sykora |
Super, nun kann ich beruhig schlafen. :)
Ansonsten bedanke ich mich für die Hilfe und wünsch noch eine angenehme Nacht.
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