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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Sa 09.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
| Aufgabe | Aufgabe 26.
Es seien V,W zwei Q-Vektorräume und f : V [mm] \to [/mm] W eine Abbildung mit
f(x + y) = f(x) + f(y)
für alle x, y [mm] \in [/mm] V .
Zeigen Sie, dass f linear ist. |
Huhu!
Hier muß man ja noch die skalare Multiplikation nachweisen. Ich hätte nun einfach geschrieben:
[mm] f(\lambda [/mm] * [mm] x)=\lambda [/mm] *x = [mm] \lambda [/mm] *f(x)
da der Ausdruck [mm] (\lambda [/mm] *x) ja genauso durch die Funktion übergeben wird und mann x auch als f(x) schreiben kann.
Aber das erscheint mir erstens zu simpel und zweitens meinte unser Prof, man müsse das erst für [mm] \IN [/mm] zeigen, dann auf [mm] \IZ [/mm] übertragen, um es dann für [mm] \IQ [/mm] nachweisen zu können.
Also ist meine Lösung falsch? Wenn ja, wie kann man sonst vorgehen?
Gruß
Iris
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo IrisL.!
> Aufgabe 26.
> Es seien V,W zwei Q-Vektorräume und f : V [mm]\to[/mm] W eine
> Abbildung mit
> f(x + y) = f(x) + f(y)
> für alle x, y [mm]\in[/mm] V .
> Zeigen Sie, dass f linear ist.
> Huhu!
>
> Hier muß man ja noch die skalare Multiplikation nachweisen.
> Ich hätte nun einfach geschrieben:
>
> [mm]f(\lambda[/mm] * [mm]x)=\lambda[/mm] *x = [mm]\lambda[/mm] *f(x)
>
> da der Ausdruck [mm](\lambda[/mm] *x) ja genauso durch die Funktion
> übergeben wird und mann x auch als f(x) schreiben kann.
Mmh, vielleicht solltest du dann aber wenigstens schreiben, dass f(x+0)=f(x)+f(0), und nun weißt du doch aber gar nicht, dass f(x)=x und f(0)=0, oder? Oder du müsstest das auch noch zeigen.
Geht es nicht auch mit:
[mm] f(\lambda x)=f(\underbrace{x+...+x}_{\lambda-mal})=\underbrace{f(x)+...+f(x)}_{\lambda-mal}
[/mm]
> Aber das erscheint mir erstens zu simpel und zweitens
> meinte unser Prof, man müsse das erst für [mm]\IN[/mm] zeigen, dann
> auf [mm]\IZ[/mm] übertragen, um es dann für [mm]\IQ[/mm] nachweisen zu
> können.
Mmh, bist du sicher, dass das für den Beweis der Aufgabe war? Eigentlich hast du hier doch allgemein einen Vektorraum V. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Sa 09.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]f(\lambda[/mm] * [mm]x)=\lambda[/mm] *x = [mm]\lambda[/mm] *f(x)
>
> da der Ausdruck [mm](\lambda[/mm] *x) ja genauso durch die Funktion
> übergeben wird und mann x auch als f(x) schreiben kann.
Nein, x kann man nicht als f(x) schreiben ... so ein Unsinn, dann wäre nämlich f immer die Identität, hm?
> Aber das erscheint mir erstens zu simpel und zweitens
> meinte unser Prof, man müsse das erst für [mm]\IN[/mm] zeigen, dann
> auf [mm]\IZ[/mm] übertragen, um es dann für [mm]\IQ[/mm] nachweisen zu
> können.
> Also ist meine Lösung falsch?
Ja.
> Wenn ja, wie kann man sonst
> vorgehen?
Für natürliche Zahlen ist multiplaktion damit n-faches addieren. als nächste brauchst du [m]n+(-n)=0[/m], dann [m]n*\bruch{1}{n}[/m].
Btw: das [m]f(0)=0[/m] ist, solltest du vielleicht auch zeigen, oder ist dir das klar? (da ja [m]0+0=0[/m] ist)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 So 10.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
>> $ [mm] f(\lambda [/mm] $ * $ [mm] x)=\lambda [/mm] $ *x = $ [mm] \lambda [/mm] $ *f(x)
>>
>> da der Ausdruck $ [mm] (\lambda [/mm] $ *x) ja genauso durch die Funktion
>> übergeben wird und mann x auch als f(x) schreiben kann.
>Nein, x kann man nicht als f(x) schreiben ... so ein Unsinn, dann wäre >nämlich f immer die Identität, hm?
Das ist mir dann auch aufgefallen. War gedanklich wohl schon bei der nächsten Aufgabe, wo es um einen Endomorphismus ging. Aber hier wird ja nach W abgebildet. *peinlich*
>Btw: das $ f(0)=0 $ ist, solltest du vielleicht auch zeigen, oder ist dir das >klar? (da ja $ 0+0=0 $ ist)
Doch, das ist klar.
> Für natürliche Zahlen ist multiplaktion damit n-faches
> addieren. als nächste brauchst du [m]n+(-n)=0[/m], dann
> [m]n*\bruch{1}{n}[/m].
Das schau ich mir erstmal genau an. Ich denke, das krieg ich hin. Sonst meld ich mich nochmal.
Danke.
Gruß
Iris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 10.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
Huhu nochmal!
Also ich hab jetzt folgendes:
Für x [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] f(n*x)=f(\underbrace{x+...+x}_{=n mal})=\underbrace{f(x)+...+f(x)}_{n mal}=n*f(x)
[/mm]
Und warum hilt mir jetzt n+(-n)=0 für [mm] \IZ
[/mm]
Ich muß ja zeigen, daß f(n*x)=n*f(x)
Gruß
Iris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 So 10.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> Und warum hilt mir jetzt n+(-n)=0 für [mm]\IZ[/mm]
Werf mal f auf [m](n+(-n))*x=0*x[/m] ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 So 10.12.2006 | | Autor: | IrisL. |
Huhu!
Dann mach ich das doch mal:
f((n+(-n))*x)=f(0*x)=0=0*f(x)=(n+(-n))*f(x)=n*f(x)+(-n)*f(x)
Und analog für [mm] n*\bruch{1}{n}:
[/mm]
[mm] f(n*\bruch{1}{n}*x)=f(1*x)=f(x)=(n*\bruch{1}{n})*f(x)
[/mm]
Okay?
Gruß
Iris
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Moin zusammen,
Du hast nun also
(1) [mm] f(n\cdot x)=n\cdot [/mm] f(x) für [mm] n\in\IN [/mm] (bewisen zB durch vollst. Induktion.
(2) [mm] f(x)=f(1\cdot x)=f(n\cdot (1\slash n\cdot x))=n\cdot f(1\shash n\cdot [/mm] x),
also [mm] \frac{1}{n}\cdot f(x)=f(\frac{1}{n}\cdot [/mm] x)
(3) f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x), weiterhin f(x+0)=f(x)+f(0), also wird der Nullvektor unter f auf den Nullvektor abgebildet,
somit dann f(-x)=-f(x)
Dann wende (1) und (2) und (3) an, um für beliebige [mm] q=\sigma\cdot\frac{a}{b} [/mm] mit
[mm] \sigma\in\{-1,1\}, a\in\IN_0,b\in\IN_{\neq 0} [/mm] den Beweis zu führen.
Gruss,
Mathias
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