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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Lineare Algebra
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Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:24 Mo 10.10.2016
Autor: Jura86

Aufgabe
Seien a, b ∈ R gegeben. Berechnen Sie x in Abhängigkeit der gegebenen Parameter:

Hallo alle zusammen!
Nach langem hin und her rechnen komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Das sind die gegebenen Werte:
[mm] \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/4 \\ a/x \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b \\ 1/3 \\ 2x \end{pmatrix} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -0,5 \\ -12 \end{pmatrix} [/mm]
=
[mm] 6a\left(x+b\right)^2 +\left(\sqrt{b}+1\right) *\left(\sqrt{b}-1\right) [/mm]
Das sind meine Schritte die ich gemacht habe :

Vektorproduckt gebildet
[mm] \begin{pmatrix} 1/4 \\ a/x \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b \\ 1/3 \\ 2x \end{pmatrix} [/mm]

Skalarproduckt gebildet
[mm] \begin{pmatrix} 2a + 2/3 \\ -2b-1/2x \\ 1/12-a/x*b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1/2 \\ -12 \end{pmatrix} [/mm]

[mm] \left[3\cdot \left(2a+2/3\right) \right] +\left[-1/2\cdot \left(-2b-1/2x\right) \right] +\left[-12\cdot \left(1/12-a/x*b\right) \right] [/mm]

[mm] \left[3\cdot \left(2a+2/3\right) \right] [/mm] = 6a+2
[mm] \left[-1/2\cdot \left(-2b-1/2x\right) \right] [/mm] = b+1/4x
[mm] \left[-12\cdot \left(1/12-a/x*b\right) \right] [/mm] = -1+(12ab)/x

Ergebnis und gegebene Gleichung gleichgesetzt
[mm] 6a+2+b+1/4x-1+(12ab)/x=6(x+b)^2+(\sqrt{b}+1)(\sqrt{b}-1) [/mm]
=> [mm] 6ax^2+12axb+6ab^2+b-1 [/mm]

Hier habe ich versucht aufzulösen
[mm] 6a+2+b+1/4x+(12ab)/x=6ax+12axb+6ab^2+b [/mm]    |-b
[mm] 6a+2+1/4x+(12ab)/x=6ax^2+12axb+6ab^2 [/mm]
Ab hier weiß ich nicht, was ich weiter machen soll.

Wie komme ich auf das Endergebnis ?
Kann mir jemad die Schritte Zeigen die zum Ergebniss führen ?

Ich weiß auch nicht was die Lösung sein soll :-(

Ich wäre glücklich wenn ihr mir helfen könntet.
Vielen Dank im vorraus!!

        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Di 11.10.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Bitte doch ein bisschen mehr den Formeldeditor benutzen, insbesondere deine Brüche lesen sich schrecklich…
Statt 1/2 liest sich [mm] \frac{1}{2} [/mm] doch viel besser…

> Vektorproduckt gebildet
>  [mm]\begin{pmatrix} 1/4 \\ a/x \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b \\ 1/3 \\ 2x \end{pmatrix}[/mm]

[ok]

> Skalarproduckt gebildet
>  [mm]\begin{pmatrix} 2a + 2/3 \\ -2b-1/2x \\ 1/12-a/x*b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1/2 \\ -12 \end{pmatrix}[/mm]

> [mm]\left[3\cdot \left(2a+2/3\right) \right] +\left[-1/2\cdot \left(-2b-1/2x\right) \right] +\left[-12\cdot \left(1/12-a/x*b\right) \right][/mm]

[ok]

> [mm]\left[3\cdot \left(2a+2/3\right) \right][/mm] = 6a+2
>  [mm]\left[-1/2\cdot \left(-2b-1/2x\right) \right][/mm] = b+1/4x
>  [mm]\left[-12\cdot \left(1/12-a/x*b\right) \right][/mm] =
> -1+(12ab)/x

[ok]

> Ergebnis und gegebene Gleichung gleichgesetzt
>  [mm]6a+2+b+1/4x-1+(12ab)/x=6(x+b)^2+(\sqrt{b}+1)(\sqrt{b}-1)[/mm]

Hier hast du den Faktor "a" vor dem quadratischen Term vergessen.

>  => [mm]6ax^2+12axb+6ab^2+b-1[/mm]

Aufpassen mit der Notation: Du hast eine Gleichung stehen, schreibst dann einen Folgepfeil und hast dann nur noch einen Term stehen. Das ist unsauber notiert.
Hier hast du den Faktor a wieder berücksichtigt. Das hat bei mir eben kurzzeitig zu Verwirrung geführt.

> Hier habe ich versucht aufzulösen
>  [mm]6a+2+b+1/4x+(12ab)/x=6ax+12axb+6ab^2+b[/mm]    |-b
>  [mm]6a+2+1/4x+(12ab)/x=6ax^2+12axb+6ab^2[/mm]
>  Ab hier weiß ich nicht, was ich weiter machen soll.

Auch hier machst du wieder Schussligkeitsfehler. In der ersten Gleichung fehlt die Potenz von x, in der zweiten ist sie wieder da…

> Wie komme ich auf das Endergebnis ?

Grundsätzlich ist dein Weg zielführend. Da x im Nenner vorkommt und [mm] $x\not=0$ [/mm] nach Voraussetzung (warum) könnte man mit x durchmultiplizieren.
Man erhält dann eine kubische Gleichung in x, die man mit den Cardano-Formeln lösen könnte.
Eine schöne Lösung erhält man daraus aber keine… darum die Rückfrage: Woher kommt die Aufgabe? Kann mir schlecht vorstellen, dass die so als Übung gestellt wurde…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:28 Mi 19.10.2016
Autor: Jura86

Aufgabe
Wie vorher

Hallo, sorry für die späte Antwort.. manchmal bekomme ich es nicht anders hin..
Also, ja. diese Aufgabe kommt aus dem WiSe 15 /16  der Leibniz Uni Hannover.

Ich kenne diese Caradano Formeln nicht. Ich glaube wir nehmen die auch nicht durch..

kann ich das als Ergebnis so stehen lassen oder sollte man die Funktion auflösen ?
Gibt es eine andere Alternative als diese Cardano Formeln ?

Gruß Jörg

Bezug
                        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:34 Mi 19.10.2016
Autor: fred97


> Wie vorher
>  Hallo, sorry für die späte Antwort.. manchmal bekomme
> ich es nicht anders hin..
>  Also, ja. diese Aufgabe kommt aus dem WiSe 15 /16  der
> Leibniz Uni Hannover.

Ist die Aufgabe wirklich so gestellt ?

>  
> Ich kenne diese Caradano Formeln nicht. Ich glaube wir
> nehmen die auch nicht durch..
>
> kann ich das als Ergebnis so stehen lassen

Das würde ich machen.

>  oder sollte man
> die Funktion auflösen ?

Ich sehe keine Möglichkeit wie die Gl.

    $ [mm] 6a+2+1/4x+(12ab)/x=6ax^2+12axb+6ab^2 [/mm] $

nach x aufgelöst werden kann, das ja a und b nicht konkret gegeben sind.

FRED


>  Gibt es eine andere Alternative als diese Cardano Formeln
> ?
>  
> Gruß Jörg


Bezug
                                
Bezug
Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 Mi 19.10.2016
Autor: Jura86

Aufgabe
Ich habe die Frage hier noch einmal Kopiert und eingefügt.
Seien a, b ∈ R gegeben. Berechnen Sie x in Abhängigkeit der gegebenen Parameter:.....

... und dann kamen die gegebenen Werte.

Wenn da aber steht : Berechnen Sie x  dann muss ich doch nach x auflösen. oder ?

Bezug
                                        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Mi 19.10.2016
Autor: fred97


> Ich habe die Frage hier noch einmal Kopiert und
> eingefügt.
>  Seien a, b ∈ R gegeben. Berechnen Sie x in Abhängigkeit
> der gegebenen Parameter:.....
>  ... und dann kamen die gegebenen Werte.
>  
> Wenn da aber steht : Berechnen Sie x  dann muss ich doch
> nach x auflösen. oder ?

Ja, aber das ist bei dieser bekloppten Aufgabe kaum möglich.




Bezug
                                        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mi 19.10.2016
Autor: Steffi21

Hallo, Du bist angekommen bei:

[mm] 6ax+2x+\bruch{1}{4}x^2+12ab=6ax^3+12abx^2+6ab^2x [/mm]

[mm] 0=6ax^3+12abx^2-\bruch{1}{4}x^2+6ab^2x-6ax-2x-12ab [/mm]

[mm] 0=6ax^3+(12ab-\bruch{1}{4})x^2+(6ab^2-6a-2)x-12ab [/mm]

sieht doch schon freundlicher aus, jetzt kommt aber nur noch (sinnloser) Rechenaufwand

Steffi

Bezug
                                                
Bezug
Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Do 20.10.2016
Autor: Jura86

Steffi vielen Dank für deine Antwort !!

Ich habe diesen Schritt jedoch nicht verstanden :
[mm] 6ax+2x+\bruch{1}{4}x^2+12ab=6ax^3+12abx^2+6ab^2x [/mm]
auf der linken Seite, hast du ja alles mal x genommen.
ich komme leider nicht drauf was auf der rechten seite passiert ist.

ich habe für die rechte Seite nämlich :  [mm] 6ax^2 +2+b-\bruch{1}{4}x+12axb [/mm]

bei 6 [mm] ax^2 [/mm] -> 6ax das ist ja durch x teilen
bei 2 -> 2x ist wiederum mal x nehmen
usw..

kannst du mir das erklären welche Regel da mitspielt ?

Vielen Dank im Voraus !!
Gruß Jörg


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Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Do 20.10.2016
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] \vektor{\bruch{1}{4} \\ \bruch{a}{x} \\ -2} [/mm] x [mm] \vektor{ b \\ \bruch{1}{3} \\ 2x} [/mm] * [mm] \vektor{ 3 \\ -0,5 \\ -12} [/mm] = [mm] 6a(x+b)^2+(\wurzel{b}+1)*(\wurzel{b}-1) [/mm]

beginne auf der linken Seite mit dem Kreuzprodukt

[mm] \vektor{2a+\bruch{2}{3} \\ -2b-\bruch{1}{2}x \\ \bruch{1}{12}-\bruch{ab}{x}} [/mm] * [mm] \vektor{ 3 \\ -0,5 \\ -12} [/mm] = [mm] 6a(x+b)^2+(\wurzel{b}+1)*(\wurzel{b}-1) [/mm]

weiter auf der linken Seite mit dem Skalarprodukt

[mm] 6a+2+b+\bruch{1}{4}x-1+\bruch{12ab}{x} [/mm] = [mm] 6a(x+b)^2+(\wurzel{b}+1)*(\wurzel{b}-1) [/mm]

weiter auf der rechten Seite, Binomische Formeln

[mm] 6a+2+b+\bruch{1}{4}x-1+\bruch{12ab}{x} [/mm] = [mm] 6a(x^2+2bx+b^2)+b-1 [/mm]

weiter auf der rechten Seite, Klammer auflösen

[mm] 6a+2+b+\bruch{1}{4}x-1+\bruch{12ab}{x} [/mm] = [mm] 6ax^2+12abx+6ab^2+b-1 [/mm]

subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung b, addiere auf beiden Seiten der Gleichung 1

[mm] 6a+2+\bruch{1}{4}x+\bruch{12ab}{x} [/mm] = [mm] 6ax^2+12abx+6ab^2 [/mm]

multipliziere mit [mm] x\not=0 [/mm]

[mm] 6ax+2x+\bruch{1}{4}x^2+12ab [/mm] = [mm] 6ax^3+12abx^2+6ab^2x [/mm]

Steffi




Bezug
                                                                
Bezug
Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:01 Mo 24.10.2016
Autor: Jura86

Hmm,

In der letzten Zeile kann man doch nichts mehr machen oder ?
Wir haben da lauter verschiedene Komponenten.. Wenn ich di Klammern ausmultiplizieren würde, würde ich doch wieder das gleiche stehen haben wie in der zweitletzten Zeile..
Weil du Steffi21 sagst jetzt kommt sinnlose Rechnerei, dann kennst du anscheinend weiteres Verfahren.

Ich sehe da noch eine Term dritten Grades...
Wenn ich mal dumm  fragen darf, kann man mit der Polynomdivision weiterkommen ?


Bezug
                                                                        
Bezug
Lineare Algebra: Editiert
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:31 Mo 24.10.2016
Autor: angela.h.b.

Hallo,

wir haben jetzt

>>>  [mm] 0=6ax^3+(12ab-\bruch{1}{4})x^2+(6ab^2-6a-2)x-12ab [/mm]

> Hmm,

>

> In der letzten Zeile kann man doch nichts mehr machen oder
> ?

Dort steht jetzt (schön ordentlich sortiert) eine Gleichung 3.Grades,
welche man prinzipiell lösen könnte. Etwa mit den Formeln von Cardano.
Würde ich nicht machen. (Wofür?)

> Weil du Steffi21 sagst jetzt kommt sinnlose Rechnerei,
> dann kennst du anscheinend weiteres Verfahren.

Ich denke einfach, daß auch Steffi meint, daß sich der Aufwand fürs Ausrechnen nicht lohnt.

-------------------------------------------------------------------------

EDIT 1: für a=0 hat man ja eine quadratische Gleichung, deren Lösung einfach ist.

-----------------------------------------------------------------------------------

>

> Ich sehe da noch eine Term dritten Grades...
> Wenn ich mal dumm fragen darf, kann man mit der
> Polynomdivision weiterkommen ?

So dumm ist die Frage ja nicht...
Mit Polynomdivision kommst Du weiter in dem Moment, in welchem es Dir gelungen ist, eine Nullstelle zu finden, etwa durch Raten.
Das habe ich jetzt nicht versucht.

Wenn es bei der Aufgabe nicht um Leben und Tod geht, sondern Du einfach ein bissele für die Lineare Algebra üben möchtest, kannst Du an dieser Stelle getrost abbrechen, ohne etwas zu verpassen.

Wichtig ist die Erkenntnis: es ist eine Gleichung 3.Grades und prinzipiell wäre es möglich, sie zu lösen.

--------------------------------------------------------------------------------
EDIT 2
Ich war etwas neugierig und habe mal rechnen lassen.
Dies ist die reelle Lösung, wenn [mm] a\not=0: [/mm]

x = (27648 [mm] a^3 b^3+497664 a^3 [/mm] b+8640 [mm] a^2 b^2-82944 a^2 [/mm] b+5184 [mm] a^2+sqrt(4 [/mm] (-576 [mm] a^2 b^2-1728 a^2+96 [/mm] a b-576 [mm] a-1)^3+(27648 a^3 b^3+497664 a^3 [/mm] b+8640 [mm] a^2 b^2-82944 a^2 [/mm] b+5184 [mm] a^2-288 [/mm] a b+1728 [mm] a+2)^2)-288 [/mm] a b+1728 a+2)^(1/3)/(72 2^(1/3) a)-(-576 [mm] a^2 b^2-1728 a^2+96 [/mm] a b-576 a-1)/(36 2^(2/3) a (27648 [mm] a^3 b^3+497664 a^3 [/mm] b+8640 [mm] a^2 b^2-82944 a^2 [/mm] b+5184 [mm] a^2+sqrt(4 [/mm] (-576 [mm] a^2 b^2-1728 a^2+96 [/mm] a b-576 [mm] a-1)^3+(27648 a^3 b^3+497664 a^3 [/mm] b+8640 [mm] a^2 b^2-82944 a^2 [/mm] b+5184 [mm] a^2-288 [/mm] a b+1728 [mm] a+2)^2)-288 [/mm] a b+1728 a+2)^(1/3))-(48 a b-1)/(72 a)

Die beiden anderen (je nach a und b imaginären) Lösungen  sehen nicht schöner aus - um Vereinfachungen habe ich mir nicht den Kopf zerbrochen.
--------------------------------------------------------------------------

Nichtsdestotrotz würde mich die Originalaufgabenstellung interessieren. Oder war die Gleichung wirklich so gegeben, oder ist sie bei vorhergehenden Teilaufgaben entstanden?

LG Angela
>

Bezug
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