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Lineare Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Di 18.07.2017
Autor: James90

Hi!

Die folgende Aufgabe habe ich bereits gelöst. Mir geht es eher darum ob mein Lösungsweg in Ordnung ist oder ob es einfacher geht. Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Sei [mm] f:\IR^3\to\IR^3 [/mm] eine lineare Abbildung [mm] $x\mapsto [/mm] A*x$ mit [mm] A=\pmat{ 1 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3} [/mm]

a) Berechnung von Eigenwerten und dazu jeweils einen Eigenvektor

Eigenwerte kann man von der Diagonale ablesen und die dazugehörigen Eigenvektoren kann man im Kopf ausrechnen

b) Zeigen Sie, dass [mm] B=\{v_1,v_2,v_3\} [/mm] eine Basis von [mm] \IR^3 [/mm] ist, wobei [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] die Eigenvektoren aus a) sind und geben Sie die Darstellungsmatrix [mm] M_{B}^{B}(f) [/mm] an

Wegen [mm] dim(\IR^3)=3 [/mm] (endlich) reicht es zu zeigen, dass [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] linear unabhängig sind. Es ist [mm] M_{B}^{B}(f) =diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3), [/mm] weil unsere Basis aus Eigenvektoren besteht, die von den Eigenwerten stammen

c) Bestimmte [mm] M_{E}^{B}(Id_{\IR}) [/mm] und [mm] M_{B}^{E}(Id_{\IR}), [/mm] wobei E die Standardbasis ist

Einfach ausrechnen. Geht das schneller?

d) Berechne für ein beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] die Potenz [mm] A^n [/mm]

[mm] A=M_{E}^{B}(Id_{\IR})*M_{B}^{B}(f)*M_{B}^{E}(Id_{\IR}) [/mm]
[mm] B:=M_{E}^{B}(Id_{\IR}). B^{-1}=M_{B}^{E}(Id_{\IR}) [/mm]
[mm] A=B**M_{B}^{B}(f)*B^{-1} [/mm]
[mm] A^n=B*diag(\lambda_1^n,\lambda_2^n,\lambda_3^n)*B^{-1} [/mm]

Ist das okay??

        
Bezug
Lineare Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 Mi 19.07.2017
Autor: Ladon

ad a): Korrekt.
ad b):

> b) Zeigen Sie, dass [mm]B=\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] eine Basis von [mm]\IR^3[/mm]
> ist, wobei [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] die Eigenvektoren aus a) sind und
> geben Sie die Darstellungsmatrix [mm]M_{B}^{B}(f)[/mm] an
>  
> Wegen [mm]dim(\IR^3)=3[/mm] (endlich) reicht es zu zeigen, dass
> [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] linear unabhängig sind. Es ist [mm]M_{B}^{B}(f) =diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3),[/mm]
> weil unsere Basis aus Eigenvektoren besteht, die von den
> Eigenwerten stammen

Du solltest natürlich vorher zeigen, dass die EV eine Basis bilden, sonst ist die letzte Folgerung unzulässig. Du kannst die Diagonalisierbarkeit aber auch ganz einfach über das hinreichende Kriterium folgern: Wenn [mm] $\dim \IR^3=3$ [/mm] paarweise verschiedene EW existieren, dann ist $f$ diagonalisierbar.

ad c):

> c) Bestimmte [mm]M_{E}^{B}(Id_{\IR})[/mm] und [mm]M_{B}^{E}(Id_{\IR}),[/mm]
> wobei E die Standardbasis ist
>  
> Einfach ausrechnen. Geht das schneller?

Mir fällt kein schnellerer Weg ein. Andererseits ist dies bereits durch "scharfes hinsehen" leicht zu erkennen.

ad d): Korrekt. Ich verstehe nur nicht, warum du extra ein $B$ einführst. Aber das ist wahrscheinlich Geschmackssache. ;-)
Vielleicht sollstest du noch schreiben, dass die Formel für [mm] $A^n$ [/mm] aus [mm] $M_B^E(id)M_E^B(id)=I_3$ [/mm] folgt, es sei denn ihr hattet so etwas schon in Vorlesung oder Übung.

Bezug
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