matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenLineare DGL
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lineare DGL
Lineare DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lineare DGL: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Mo 24.11.2014
Autor: Exel84

Aufgabe
Aufgabe 3:

Berechnen Sie [mm] e^{A+B} [/mm] , [mm] e^{A} e^{B} [/mm] , [mm] e^{B} e^{A} [/mm] sowie AB und
BA für

A= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }, [/mm] B= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]


Aufgabe 4:

Lösen Sie das Anfangswertproblem:

[mm] x'=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x, x(0)=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm]

Berechnen Sie dazu zuerst mithilfe von Eigenvektoren ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung.

Hallo Zusammen,

kann mir da jemand bitte Tipps geben wie ich an diese Aufgabe rangehen kann?

Vielen Dank im Voraus

Vg Exel84



Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 Mo 24.11.2014
Autor: fred97


> Aufgabe 3:
>  
> Berechnen Sie [mm]e^{A+B}[/mm] , [mm]e^{A} e^{B}[/mm] , [mm]e^{B} e^{A}[/mm] sowie AB
> und
>  BA für
>  
> A= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },[/mm] B= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  
>
> Aufgabe 4:
>  
> Lösen Sie das Anfangswertproblem:
>  
> [mm]x'=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x, x(0)=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> Berechnen Sie dazu zuerst mithilfe von Eigenvektoren ein
> Fundamentalsystem der Differentialgleichung.
>  Hallo Zusammen,
>  
> kann mir da jemand bitte Tipps geben wie ich an diese
> Aufgabe rangehen kann?

Zu Aufgabe 3:

Wie ist denn für eine Matrix C der Ausdruck [mm] e^C [/mm] definiert ?

Zu Aufgabe 4: Ihr hattet in der Vorlesung sicher eine Methode behandelt, wie man ein Fundamentalssystem von

   [mm] x'=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x [/mm]

bestimmen kann. Wende diese Methode an.

FRED


>  
> Vielen Dank im Voraus
>  
> Vg Exel84
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.


Bezug
                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Mo 24.11.2014
Autor: Exel84

ist [mm] e^{C} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}a^{k} [/mm] ??

Bezug
                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mo 24.11.2014
Autor: fred97


> ist [mm]e^{C}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}a^{k}[/mm] ??

Nein.  [mm]e^{C}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}C^{k}[/mm]

FRED


Bezug
                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Di 25.11.2014
Autor: Exel84

hallo,

ich habe jetzt die ganze Zeit versucht die Aufgabe nach der Formel zu lösen aber ich krieg das nicht hin. Heute in der Übungstunden hat der Übungsleiter ein Beispiel gerechnet, wo er erst bei der Matrix A die Einheitsmatrix herausgezogen hat, dann wurde es einfacher.
Das versuche ich jetzt auch aber krieg da einfach nix hin. Kann mir das vielleicht jemand für die Matrix A mal zeigen wie das am besten klappt?

Vielen Dank im vorraus

Vg Exel84

Bezug
                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Di 25.11.2014
Autor: fred97


> hallo,
>  
> ich habe jetzt die ganze Zeit versucht die Aufgabe nach der
> Formel zu lösen aber ich krieg das nicht hin. Heute in der
> Übungstunden hat der Übungsleiter ein Beispiel gerechnet,
> wo er erst bei der Matrix A die Einheitsmatrix
> herausgezogen hat, dann wurde es einfacher.
> Das versuche ich jetzt auch aber krieg da einfach nix hin.
> Kann mir das vielleicht jemand für die Matrix A mal zeigen
> wie das am besten klappt?
>  

Für

A= $ [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] $ ist [mm] A^n=A [/mm] für jedes n [mm] \ge [/mm] 1.

Damit ist [mm] e^A=E+\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{A}{n!}. [/mm]

So, jetzt rechne Du mal. Du solltest bekommen

[mm] e^A=\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 } [/mm]

FRED

> Vielen Dank im vorraus
>  
> Vg Exel84  


Bezug
                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:28 Di 25.11.2014
Autor: Exel84

also ich hab so gerechnet:

[mm] e^{tA}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ t*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+ \bruch{t^{2}}{2}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+ \bruch{t^{3}}{6}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+... [/mm]

= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{t^{k}}{k!} \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]

= [mm] e^{tA}=\pmat{ 1+t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... & t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... \\ 0 & 1 } [/mm]

stimmt das so?
Wir haben in der Übung dazu noch das t verwendet. Kann man das auch ohne dem schreiben? Und wie kommst du am Ende auf dein Ergebnis mit den e?

Vg


Bezug
                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Di 25.11.2014
Autor: fred97


> also ich hab so gerechnet:
>  
> [mm]e^{tA}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ t*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+ \bruch{t^{2}}{2}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+ \bruch{t^{3}}{6}*\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+...[/mm]
>  
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{t^{k}}{k!} \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]

Das stimmt nicht. Richtig:

[mm] =\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{t^{k}}{k!} \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]


>  
> = [mm]e^{tA}=\pmat{ 1+t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... & t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> stimmt das so?

Ja, jetzt stimmts wieder.


> Wir haben in der Übung dazu noch das t verwendet. Kann man
> das auch ohne dem schreiben?


Ein Wurstsalat ist ein Wurstsalat. Ein Straßburger Wurstsalat ist ein Wurstsalat mit Käse.

Wenn Ihr in der Übung das t verwendet habt, so war [mm] e^{tA} [/mm] zu bestimmen. Wenn Du das "ohne dem t" schreibst, so berechnest Du [mm] e^{A}. [/mm] Das wird in obiger Aufgabe verlangt.





> Und wie kommst du am Ende auf
> dein Ergebnis mit den e?

... mit dem e....

Wir haben:

[mm]e^{tA}=\pmat{ 1+t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... & t+\bruch{t^{2}}{2!}+\bruch{t^{3}}{3!}+... \\ 0 & 1 }[/mm]

Für t=1 ist das

[mm]e^{A}=\pmat{ 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... \\ 0 & 1 }[/mm]

Es ist

     [mm] $1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+...=e [/mm] $


und

    [mm] $1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+...=e-1$ [/mm]


Grüße von den FRED

>  
> Vg
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Di 25.11.2014
Autor: Exel84


vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort. Jetzt habe ich es verstanden.

Muss ich jetzt um [mm] e^{A+B}, e^{A}e^{B}, e^{B}e^{A}, [/mm] AB und BA einfach die beiden Matrizen einsetzen und dann jeweils ausrechnen oder ist das komplizierter?
Bei AB und BA muss ich doch einfach die in der Aufgabe vorgegebenen Matrizen multiplizieren oder?

Vg Exel84

Bezug
                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Di 25.11.2014
Autor: fred97


>
> vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort. Jetzt habe
> ich es verstanden.
>  
> Muss ich jetzt um [mm]e^{A+B}, e^{A}e^{B}, e^{B}e^{A},[/mm] AB und
> BA einfach die beiden Matrizen einsetzen und dann jeweils
> ausrechnen


Ja.



> oder ist das komplizierter?

Nein.


>  Bei AB und BA muss ich doch einfach die in der Aufgabe
> vorgegebenen Matrizen multiplizieren oder?

Ja.

FRED

>  
> Vg Exel84  


Bezug
                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:29 Di 25.11.2014
Autor: Exel84

nochmals vielen Dank für deine Hilfe!!  

Vg Exel84

Bezug
                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Di 25.11.2014
Autor: Exel84

eine letzte Frage zu der Aufgabe habe ich noch:

AB = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]

BA = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]

[mm] e^{A+B} [/mm] = [mm] \pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 } [/mm] = [mm] e^{A}e^{B} [/mm] = [mm] e^{B}e^{A} [/mm]

stimmt doch so oder?


Bezug
                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:28 Mi 26.11.2014
Autor: fred97


> eine letzte Frage zu der Aufgabe habe ich noch:
>  
> AB = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  
> BA = [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]

Das stimmt.


>  
> [mm]e^{A+B}[/mm] = [mm]\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }[/mm] = [mm]e^{A}e^{B}[/mm] =
> [mm]e^{B}e^{A}[/mm]
>  
> stimmt doch so oder?

Hier stimmt gar nichts ! Wo sind Deine Rechnungen ???

Ich habs mal gerechnet und bin auf folgendes gekommen: die Matrizen

     [mm] e^{A+B},e^{A}e^{B} [/mm]  und [mm] e^{B}e^{A} [/mm]

sind paarweise verschieden.

FRED

>  


Bezug
                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Mi 26.11.2014
Autor: Exel84

ok, hier sind meine Rechnungen dazu:

[mm] e^{A+B}= e^{\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }} [/mm]

[mm] e^{A}e^{B}= e^{A+B}=e^{\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }} [/mm]


[mm] e^{B}e^{A}= e^{B+A}=e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }} [/mm]


Vg Exel84

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Mi 26.11.2014
Autor: fred97


> ok, hier sind meine Rechnungen dazu:
>  
> [mm] e^{A+B}= e^{\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} [/mm]


Das ist doch Unfug !

Es ist

[mm] e^{A+B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} [/mm]



>  [mm] =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}[/mm] [/mm]
>
> [mm]e^{A}e^{B}= e^{A+B}=e^{\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}[/mm]
>

Gleicher Fehler wie oben.


>
> [mm]e^{B}e^{A}= e^{B+A}=e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 }} =e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}[/mm]



Gleicher Fehler wie oben.


FRED

>  
>
> Vg Exel84


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Mi 26.11.2014
Autor: Exel84

Ok, wäre das dann für

[mm] e^{A}e^{B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }} [/mm] = [mm] e^{\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }} [/mm]

[mm] e^{B}e^{A}=e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }} [/mm] = [mm] e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }} [/mm]

stimmt denn das so?

Vg Exel84

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mi 26.11.2014
Autor: fred97


> Ok, wäre das dann für
>
> [mm]e^{A}e^{B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}[/mm]
> = [mm]e^{\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }}[/mm]


???? Meinst Du etwa es gilt [mm] e^{A}e^{B}=e^{AB} [/mm] ?

Wenn ja, so ist das grober Unfug !

[mm] e^A [/mm] kennen wir schon. Wie wäre es, wenn Du Dir die Mühe machen würdest, die Matrix [mm] e^B [/mm] zu berechnen. Erst dann kannst Du [mm] e^{A}e^{B} [/mm] berechnen.


>  
> [mm]e^{B}e^{A}=e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}[/mm]
> = [mm]e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}[/mm]

Gleicher Unsinn wie oben !

FRED

>  
> stimmt denn das so?
>  
> Vg Exel84


Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 Mi 26.11.2014
Autor: Exel84

ich habe [mm] e^{B} [/mm] schon berechnet. Das ist das

[mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm]



Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Mi 26.11.2014
Autor: Thomas_Aut


> ich habe [mm]e^{B}[/mm] schon berechnet. Das ist das
>  
> [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
>  

Stimmt!




Gruß Thomas



Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:27 Mi 26.11.2014
Autor: Exel84

B= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm] ist gegeben laut Aufgabenstellung

ich habe dann für [mm] e^{B}=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] heraus bekommen.

Das stimmt doch oder?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 Mi 26.11.2014
Autor: Exel84

ausführliche Berechnung von B:

gegeben: B= [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } [/mm]


[mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }+.... [/mm]

= [mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ \summe_{k=1}^{\infty}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^{k} [/mm]

= [mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm]



Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Mi 26.11.2014
Autor: Thomas_Aut


> ausführliche Berechnung von B:
>  
> gegeben: B= [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  
>
> [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }+....[/mm]
>  
> = [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ \summe_{k=1}^{\infty}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^{k}[/mm]

äh wie wurde denn :

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\frac{B^k}{k!} [/mm]

zu

[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^{k}[/mm]


>  
> = [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
>  

LG

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Mi 26.11.2014
Autor: Exel84

sorry, ich meinte

[mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+ \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k!}\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }^{k} [/mm]

und dann kann ich ja nach der 2. Fakultät aufhören, da ja

[mm] \bruch{1}{2!}\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm]

und somit kommt dann

[mm] e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] raus. Oder??

Vg

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Mi 26.11.2014
Autor: Thomas_Aut


>
> [mm]e^{B}= \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] raus. Oder??
>  

Richtig - tut mir leid habe vorher die andere Matrix , also A, betrachtet.

> Vg

Lg.

Bezug
                                                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Mi 26.11.2014
Autor: Exel84

ja kein Problem. Danke für deine Hilfe

Stimmt die Berechnung:

[mm] e^{A+B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}= e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }} [/mm]

[mm] e^{A}e^{B}=? [/mm]

[mm] e^{B}e^{A}=? [/mm]

Wie berechne ich die anderen beiden?

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:22 Do 27.11.2014
Autor: fred97


> ja kein Problem. Danke für deine Hilfe
>  
> Stimmt die Berechnung:
>  
> [mm]e^{A+B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }}= e^{\pmat{ e+1 & e \\ 0 & 2 }}[/mm]


Willst Du uns veralbern ? Es ist [mm] $A+B=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm]

Also ist zu berechnen [mm] e^\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm]


>  
> [mm]e^{A}e^{B}=?[/mm]

Wie berechnet man das Produkt zweier Matrizen ?


>  
> [mm]e^{B}e^{A}=?[/mm]


Wie berechnet man das Produkt zweier Matrizen ?



FRED


>  
>  
> Wie berechne ich die anderen beiden?  


Bezug
                                                                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:41 Do 27.11.2014
Autor: Exel84

Ich habe doch weiter oben die Multiplikation zweier Matrizen angewendet, da meintest du dass das falsch wäre. Deshalb hat es mich verwirrt.

Also

[mm] e^{A}e^{B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}= e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }} [/mm]

[mm] e^{B}e^{A}= e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}= e^{\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }} [/mm]

Vg Exel84

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Do 27.11.2014
Autor: fred97


> Ich habe doch weiter oben die Multiplikation zweier
> Matrizen angewendet, da meintest du dass das falsch wäre.
> Deshalb hat es mich verwirrt.
>  
> Also
>  
> [mm]e^{A}e^{B}= e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}= e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}[/mm]
>  
> [mm]e^{B}e^{A}= e^{\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }}e^{\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }}= e^{\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }}[/mm]

Beides ist falsch !! Du bist beratungsresistent !

Weiter oben hab ich Dir schon gesagt, dass [mm] e^{A}e^{B}=e^{AB} [/mm] im allgemeinen falsch ist.

Das ist ja schon für Zahlen falsch. Nach Deiner "Regel" hätten wir für x [mm] \in \IR: [/mm]

    [mm] e^{x+1}=e^xe^1=e^{x*1}=e^x, [/mm] also $e=1$.

Es war:

  [mm] e^A=\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 } [/mm]  und [mm] e^B=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm]

Dann ist

  [mm] $e^A*e^B=\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 } *\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }$ [/mm]

und

   [mm] $e^B*e^A=\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }*\pmat{ e & e-1 \\ 0 & 1 } [/mm] $

Jetzt rechne Du die Prudukte aus.

FRED

>  
> Vg Exel84


Bezug
                                                                                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Do 27.11.2014
Autor: Exel84

jetzt muss es aber stimmen:

A+B= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm]

[mm] e^{A+B}= \pmat{ 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 2+\bruch{2}{2!}+\bruch{2}{3!}+... \\ 0 & 1 }= \pmat{ 2+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 3+\bruch{1}{3}+... \\ 0 & 1 } [/mm]

[mm] e^{A}e^{B}= \pmat{ e & 2e-1 \\ 0 & 1 } [/mm]

Vg Exel84

[mm] e^{B}e^{A}= \pmat{ e & e \\ 0 & 1 } [/mm]



Bezug
                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Do 27.11.2014
Autor: fred97


> jetzt muss es aber stimmen:
>  
> A+B= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  
> [mm]e^{A+B}= \pmat{ 1+1+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 2+\bruch{2}{2!}+\bruch{2}{3!}+... \\ 0 & 1 }= \pmat{ 2+\bruch{1}{2!}+\bruch{1}{3!}+... & 3+\bruch{1}{3}+... \\ 0 & 1 }[/mm]

Leider ist das falsch !


>  
> [mm]e^{A}e^{B}= \pmat{ e & 2e-1 \\ 0 & 1 }[/mm]

O.K.


>  
> Vg Exel84
>  
> [mm]e^{B}e^{A}= \pmat{ e & e \\ 0 & 1 }[/mm]

O.K.

FRED

>  
>  


Bezug
                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Do 27.11.2014
Autor: Exel84

Was ist denn bitte da falsch? Ich versteh das nicht. Diesmal war ich mir sicher. Habe erst A+B gerechnet und dann [mm] e^{A+B} [/mm] gerechnet.


Bezug
                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:14 Fr 28.11.2014
Autor: fred97


> Was ist denn bitte da falsch? Ich versteh das nicht.
> Diesmal war ich mir sicher. Habe erst A+B gerechnet und
> dann [mm]e^{A+B}[/mm] gerechnet.

Rechne mal laaaaangsaaaaam und ausführlich vor. Dann solltest Du auf


[mm] e^{A+B}=\pmat{ e & e^2-1 \\ 0 & 1 } [/mm]

Edit: man kommt auf [mm] e^{A+B}=\pmat{ e & 2(e-1) \\ 0 & 1 } [/mm]

kommen.

FRED

>  


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Fr 28.11.2014
Autor: Exel84

Ok.

Also
A+B= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }= \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm]

= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}(A+B)^{k}= E+(A+B)+\bruch{1}{2!}(A+B)^{2}+\bruch{1}{3!}(A+B)^{3}+... [/mm]

= [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{2!}\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{3!}\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+... [/mm]

[mm] =\pmat{ 1+1+ \bruch{1}{2!}+ \bruch{1}{3!}+... & 0+2+ \bruch{2}{2!}+ \bruch{2}{3!}+... \\ 0 & 1 } [/mm]

[mm] =\pmat{ e & 2(e-1) \\ 0 & 1 } [/mm]

Das hab ich so gerechnet.



Bezug
                                                                                                                                                                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Fr 28.11.2014
Autor: fred97


> Ok.
>  
> Also
>  A+B= [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }= \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}(A+B)^{k}= E+(A+B)+\bruch{1}{2!}(A+B)^{2}+\bruch{1}{3!}(A+B)^{3}+...[/mm]
>  
> = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }+\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{2!}\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+\bruch{1}{3!}\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 0 }+...[/mm]
>  
> [mm]=\pmat{ 1+1+ \bruch{1}{2!}+ \bruch{1}{3!}+... & 0+2+ \bruch{2}{2!}+ \bruch{2}{3!}+... \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> [mm]=\pmat{ e & 2(e-1) \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> Das hab ich so gerechnet.

Pardon. Diesmal hab ich mich vertan. Du hast richtig gerechnet.

FRED

>  
>  


Bezug
                                                                                                                                                                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:53 Fr 28.11.2014
Autor: Exel84

Ok gut.

Vielen Dank für deine Mühen. Jetzt hab ich es verstanden wie man es berechnet.

Bezug
                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mi 26.11.2014
Autor: Exel84

Zu Aufgabe 4:

hier mein Rechenweg:

gegeben:

x'= [mm] \pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x, x(0)=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm]


1) Eigenwerte bestimmen: [mm] p(\lambda)=det (A-\lambda [/mm] E):

Ergebnisse davon sind:

= [mm] \lambda_{1}=-1; \lambda_{2}=1; \lambda_{3}=-5 [/mm]

2) Eigenvektoren: [mm] (A-\lambda [/mm] E)x=0

Ergebnisse davon sind (mit Gauß-Verfahren):

für [mm] \lambda_{1}=-1: [/mm]

= [mm] x_{1}=\vektor{ x_{1}\\ 0 \\ 0} [/mm]

für [mm] \lambda_{2}=1: [/mm]

= [mm] x_{2}=\vektor{\bruch{1}{10}x_{3}\\ -\bruch{1}{5}x_{3} \\ x_{3}} [/mm]

für [mm] \lambda_{2}=-5: [/mm]

= [mm] x_{3}=\vektor{\bruch{1}{4}x_{3}\\ x_{3} \\ x_{3}} [/mm]

Wie muss ich denn jetzt weiter vorgehen? Was muss ich denn mit gegebenen x(0) machen? Bei uns im Skript steht das nicht so gut beschrieben.

Vg Exel84



Bezug
                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Mi 26.11.2014
Autor: fred97


> Zu Aufgabe 4:
>  
> hier mein Rechenweg:
>  
> gegeben:
>
> x'= [mm]\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -5 & 0}x, x(0)=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
>
> 1) Eigenwerte bestimmen: [mm]p(\lambda)=det (A-\lambda[/mm] E):
>  
> Ergebnisse davon sind:
>  
> = [mm]\lambda_{1}=-1; \lambda_{2}=1; \lambda_{3}=-5[/mm]
>  
> 2) Eigenvektoren: [mm](A-\lambda[/mm] E)x=0
>
> Ergebnisse davon sind (mit Gauß-Verfahren):
>  
> für [mm]\lambda_{1}=-1:[/mm]
>  
> = [mm]x_{1}=\vektor{ x_{1}\\ 0 \\ 0}[/mm]



Also ist [mm] v_1:=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert -1



>  
> für [mm]\lambda_{2}=1:[/mm]
>  
> = [mm]x_{2}=\vektor{\bruch{1}{10}x_{3}\\ -\bruch{1}{5}x_{3} \\ x_{3}}[/mm]



Also ist [mm] v_2:=\vektor{ 1 \\ -2 \\ 10} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1


>  
> für [mm]\lambda_{2}=-5:[/mm]
>  
> = [mm]x_{3}=\vektor{\bruch{1}{4}x_{3}\\ x_{3} \\ x_{3}}[/mm]


Also ist [mm] v_3:=\vektor{ 1 \\ 4 \\ 4} [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert -5


>  
> Wie muss ich denn jetzt weiter vorgehen?


Ein Fundamentaksystem der DGL ist somit

  [mm] $\{e^{-t}v_1, e^tv_2, e^{-5t}v_3\}$ [/mm]




>  Was muss ich denn
> mit gegebenen x(0) machen?


Die allgemeine Lösung der DGL lautet:

[mm] $x(t)=c_1e^{-t}v_1+c_2 e^tv_2+c_3 e^{-5t}v_3$ [/mm]

Bestimme nun [mm] c_1,c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] so, dass

   [mm] x(0)=\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm]

ist

FRED

> Bei uns im Skript steht das
> nicht so gut beschrieben.
>
> Vg Exel84
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Mi 26.11.2014
Autor: Exel84

wie kommst du auf die Werte für [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3}? [/mm]

Vg Exel84

Bezug
                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:14 Do 27.11.2014
Autor: fred97


> wie kommst du auf die Werte für [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3}?[/mm]


Nehmen wir z.B. den Eigenwert 1. Du hast ausgerechnet, dass für jedes [mm] x_3 \ne [/mm] 0 der Vektor

$ [mm] \vektor{\bruch{1}{10}x_{3}\\ -\bruch{1}{5}x_{3} \\ x_{3}} [/mm] $

ein zugeh. Eigenvektor ist. Für ein Fundamentalsystem benötigst Du nur einen von diesen. Du kannst Dir das Leben schwer machen und z.B. [mm] x_3= 0,000898712345*6^{1,432} [/mm] wählen. Schreib mal hin, welchen Eigenvektor Du dann bekommst.

Ich mache mir das Leben aber so einfach , wie es geht und wähle [mm] x_3=10. [/mm]

Schreib diesen Eigenvektor mal hin.

Siehst Du den winzig und klitzekleinen Unterschied ?

FRED der Lebenskünstler.

>  
> Vg Exel84


Bezug
                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Fr 28.11.2014
Autor: Exel84

Ich bin jetzt dran die 3 Konstanten zu berechnen. Macht man das einfach durch einsetzen des Eigenvektors und dann auflösen nach der jeweiligen Konstante? Oder wie mache ich das am besten?

Vg Exel84

Bezug
                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Fr 28.11.2014
Autor: leduart

Hallo
das stand da doch schon du schreibst x(0) hin und setzt es gleich dem gegebenen Anfangswert.
was meinst du mit "dem Eigenvektor"?
Gruß leduart

Bezug
                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Fr 28.11.2014
Autor: Exel84

Ich hab das jetzt so gerechnet:

x(t)= [mm] C_{1}e^{-t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+C_{2}e^{t}*\vektor{1 \\ -2 \\ 10}+C_{3}e^{-5t}*\vektor{1 \\ 4 \\ 4} [/mm]

Anfangsbestand.: [mm] x(0)=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

= [mm] C_{1}=0 [/mm]

= [mm] C_{2}-2*C_{2}+10*C_{2}=0 [/mm]
= [mm] 9*C_{2}=0 [/mm]
= [mm] C_{2}=0 [/mm]

[mm] =C_{3}+4*C_{3}+4*C_{3}=1 [/mm]
[mm] =9*C_{3}=1 [/mm]
[mm] =C_{3}=\bruch{1}{9} [/mm]

Stimmt das so??

Vg Exel84



Bezug
                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:32 Sa 29.11.2014
Autor: leduart

Hallo
du kannst doch durch einsetzen feststellen, dass  das falsch ist- wie kommst du denn etwa direkt auf [mm] C_1=0 [/mm] du solltest
erstmal ein Gleichungssystem hinschreiben. 1. Gleichung  in deinen Gleichungen kommt immer nur eines der C vor, wie kommt das denn, da werden 3 Vektoren addiert , einer kommt raus.
[mm] C_1+C_2+C_3=0 [/mm]
usw. dann zeige wie du dieses einfache System löst.
Gruß leduart.

Bezug
                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Sa 29.11.2014
Autor: Exel84

ja stimmt sorry, mein Fehler.


ich habe es jetzt so gerechnet:

x(t)= [mm] C_{1}*e^{-t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] C_{2}*e^{t}*\vektor{1 \\ -2 \\ 10} [/mm] + [mm] C_{3}*e^{-5t}*\vektor{1 \\ 4 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

= [mm] \vektor{C_{1}*e^{-t} \\ 0 \\ 0}+ \vektor{C_{2}*e^{t} \\ -2*C_{2}*e^{t} \\ 10*C_{2}*e^{t}}+ \vektor{C_{3}*e^{-5t} \\ 4*C_{3}*e^{-5t} \\ 4*C_{3}*e^{-5t}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

I: [mm] C_{1}*e^{-t}+ C_{2}*e^{t}+ C_{3}*e^{-5t} [/mm] = 0

II: [mm] -2*C_{2}*e^{t}+ 4*C_{3}*e^{-5t} [/mm] = 0

III: [mm] 10*C_{2}*e^{t}+ 4*C_{3}*e^{-5t} [/mm] = 1

II:
= [mm] 4*C_{3}*e^{-5t} [/mm] = [mm] 2*C_{2}*e^{t} [/mm]  /:2

= [mm] 2*C_{3}*e^{-5t} [/mm] = [mm] C_{2}*e^{t} [/mm]

eingesetzt in Gleichung III: (t=0)

[mm] 10*(2*C_{3})+ 4*C_{3} [/mm] = 1

= [mm] 20*C_{3}+ 4*C_{3} [/mm] = 1

= [mm] 24*C_{3} [/mm] = 1

[mm] C_{3}= \bruch{1}{24} [/mm]

nochmal in III: (t=0)

[mm] 10*C_{2}+ 4*\bruch{1}{24} [/mm] = 1

[mm] 10*C_{2}+ \bruch{1}{6} [/mm] = 1

[mm] C_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{12} [/mm]

in I: (t=0)

[mm] C_{1}+\bruch{1}{12} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24} [/mm] = 0

[mm] C_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8} [/mm]

das müsste jetzt aber so passen. Hab auch die Probe gemacht und das passt.

Vg Exel84



Bezug
                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 Sa 29.11.2014
Autor: leduart

Hallo

> ich habe es jetzt so gerechnet:
>  
> x(t)= [mm]C_{1}*e^{-t}*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] +  [mm]C_{2}*e^{t}*\vektor{1 \\ -2 \\ 10}[/mm] +  [mm]C_{3}*e^{-5t}*\vektor{1 \\ 4 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]

so stimmt das nicht, du musst direkt t=0 einsetzen, für [mm] t\ne [/mm] 0 stimmt das ja nicht.
später tust du das ja und hast die [mm] C_i [/mm] richtig berechnet, aber so darf es nicht stehenbleiben.
also direkt t=0 setzen!
Gruß leduart



Bezug
                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Sa 29.11.2014
Autor: Exel84

heisst das, dass ich, da [mm] e^{0} [/mm] eh immer 1 ergibt, das weglassen soll?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Sa 29.11.2014
Autor: leduart

Hallo
ja, ob du [mm] e^0 [/mm] oder 1 hinschreibst ist egal, hüchstens um zu zeigen woher die Gleichung kommt ist es vielleicht besser im ersten Anlauf [mm] e^0 [/mm] zu schreiben.
Gruß leduart


Bezug
                                                                                                
Bezug
Lineare DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 Sa 29.11.2014
Autor: Exel84

Ok, vielen vielen Dank für deine Hilfe!!!

Vg Exel84

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]