matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenLineare Differentialgleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lineare Differentialgleichung
Lineare Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lineare Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Mi 21.10.2015
Autor: mariem

Hallo,

ich will nachgucken ob man eine Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung in den Polynomring [mm] \mathbb{C}[z] [/mm] finden kann.

Ich habe folgendes gemacht:

Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist
ax'(z)+bx(z)=y(z)
wobei x,y [mm] \in \mathbb{C}[z]. [/mm]



[mm] \textbf{Fall 1.} [/mm]  
a=0, b [mm] \neq [/mm] 0

Dann haben wir dass bx(z)=y(z).
Also die Lösung ist dann [mm] x(z)=\frac{1}{b}y(z)\in \mathbb{C}[z]. [/mm]



[mm] \textbf{Fall 2.} [/mm]
[mm] a\neq [/mm] 0, b=0  

Dann haben wir ax'(z)=y(z).

x'(z)=\frac{1}{a}y(z) \Rightarrow x'(z)=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_nz^k
Dann ist die Lösung x(z)=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^n c_k \int z^k dz+c.
Also x(z)=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^n \frac{c_k}{k+1}z^{k+1}+c





[mm] \textbf{Fall 3.} [/mm]
a=0, b=0

Dann haben wir 0=y(z).
Wenn y(z)=0 dann gibt es unendlich viele Lösungen.
Wenn y(z) [mm] \neq [/mm] 0 dann gibt es keine Lösung.




[mm] \textbf{Fall 4.} [/mm]  
a [mm] \neq [/mm] 0, b [mm] \neq [/mm] 0  

Sei [mm] y=\sum_{k=0}^n c_kz^k [/mm] und [mm] x(z)=\sum_{k=0}^n d_kz^k, [/mm] also [mm] x'(z)=\sum_{k=1}^n kd_kz^{k-1}. [/mm]

Dann haben wir
[mm] \sum_{k=1}^nkd_kz^{k-1}+\frac{b}{a}\sum_{k=0}^nd_kz^k=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_kz^k [/mm]

Wenn wir die Koeffizienten vergleichen haben wir
[mm] \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1 \end{matrix}\right. [/mm]  

Diese rekursive Gleichung bestimmt x(z).



Ist alles richtig?



P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de gestellt.

        
Bezug
Lineare Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:40 Mi 21.10.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>
> ich will nachgucken ob man eine Lösung einer linearen
> Differentialgleichung erster Ordnung in den Polynomring
> [mm]\mathbb{C}[z][/mm] finden kann.
>
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung
> ist
> ax'(z)+bx(z)=y(z)
> wobei x,y [mm]\in \mathbb{C}[z].[/mm]
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 1.}[/mm]  
> a=0, b [mm]\neq[/mm] 0
>
> Dann haben wir dass bx(z)=y(z).
> Also die Lösung ist dann [mm]x(z)=\frac{1}{b}y(z)\in \mathbb{C}[z].[/mm]
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 2.}[/mm]
> [mm]a\neq[/mm] 0, b=0  
>
> Dann haben wir ax'(z)=y(z).
>
> x'(z)=\frac{1}{a}y(z) \Rightarrow x'(z)=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_nz^k
> Dann ist die Lösung x(z)=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^n c_k \int z^k dz+c.
> Also x(z)=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^n \frac{c_k}{k+1}z^{k+1}+c
>
>
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 3.}[/mm]
> a=0, b=0
>
> Dann haben wir 0=y(z).
> Wenn y(z)=0 dann gibt es unendlich viele Lösungen.
> Wenn y(z) [mm]\neq[/mm] 0 dann gibt es keine Lösung.
>
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 4.}[/mm]  
> a [mm]\neq[/mm] 0, b [mm]\neq[/mm] 0  
>
> Sei [mm]y=\sum_{k=0}^n c_kz^k[/mm] und [mm]x(z)=\sum_{k=0}^n d_kz^k,[/mm]
> also [mm]x'(z)=\sum_{k=1}^n kd_kz^{k-1}.[/mm]
>
> Dann haben wir
> [mm]\sum_{k=1}^nkd_kz^{k-1}+\frac{b}{a}\sum_{k=0}^nd_kz^k=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_kz^k[/mm]
>
> Wenn wir die Koeffizienten vergleichen haben wir
> [mm]\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1 \end{matrix}\right.[/mm]
>  
>
> Diese rekursive Gleichung bestimmt x(z).

Das ist noch die FRage !

Hat denn dieses Gleichungssystem eine Lösung ?



Noch etwas: ist Dir klar, dass die DGL


  ax'(z)+bx(z)=y(z) ,

wobei y ein Polynom ist und a [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] b ist, unendlich viele Lösungen hat, die keine Polynome sind ?

FRED

>
>
>
> Ist alles richtig?
>
>
>
> P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de gestellt.  


Bezug
                
Bezug
Lineare Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Mi 21.10.2015
Autor: mariem


> > [mm]\textbf{Fall 4.}[/mm]  
> > a [mm]\neq[/mm] 0, b [mm]\neq[/mm] 0  
> >
> > Sei [mm]y=\sum_{k=0}^n c_kz^k[/mm] und [mm]x(z)=\sum_{k=0}^n d_kz^k,[/mm]
> > also [mm]x'(z)=\sum_{k=1}^n kd_kz^{k-1}.[/mm]
> >
> > Dann haben wir
> >
> [mm]\sum_{k=1}^nkd_kz^{k-1}+\frac{b}{a}\sum_{k=0}^nd_kz^k=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_kz^k[/mm]
> >
> > Wenn wir die Koeffizienten vergleichen haben wir
> > [mm]\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1 \end{matrix}\right.[/mm]
> >  

> >
> > Diese rekursive Gleichung bestimmt x(z).
>
> Das ist noch die FRage !
>  
> Hat denn dieses Gleichungssystem eine Lösung ?



Da wir keinen Anfangswert haben z.B. für k=0, können wir die rekursive Gleichung nicht lösen, oder?



> Noch etwas: ist Dir klar, dass die DGL
>  
>
> ax'(z)+bx(z)=y(z) ,
>  
> wobei y ein Polynom ist und a [mm]\ne[/mm] 0 [mm]\ne[/mm] b ist, unendlich
> viele Lösungen hat, die keine Polynome sind ?



Wenn wir nicht beschränkt wären eine Lösung im Polynomring zu finden, könnten wir auch die Methode mit den integrierenden Faktor benutzen, dann würde die Lösung auch Exponentialfunktionen erhalten.

Ist das richtig?

Aber warum sind es unendlich viele? Weil wir keine Anfangswerte haben, also hat man dann eine nicht bestimmte Konstante?


Bezug
                        
Bezug
Lineare Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 Mi 21.10.2015
Autor: fred97


> > > [mm]\textbf{Fall 4.}[/mm]  
> > > a [mm]\neq[/mm] 0, b [mm]\neq[/mm] 0  
> > >
> > > Sei [mm]y=\sum_{k=0}^n c_kz^k[/mm] und [mm]x(z)=\sum_{k=0}^n d_kz^k,[/mm]
> > > also [mm]x'(z)=\sum_{k=1}^n kd_kz^{k-1}.[/mm]
> > >
> > > Dann haben wir
> > >
> >
> [mm]\sum_{k=1}^nkd_kz^{k-1}+\frac{b}{a}\sum_{k=0}^nd_kz^k=\frac{1}{a}\sum_{k=0}^nc_kz^k[/mm]
> > >
> > > Wenn wir die Koeffizienten vergleichen haben wir
> > > [mm]\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1 \end{matrix}\right.[/mm]
> > >  

> > >
> > > Diese rekursive Gleichung bestimmt x(z).
> >
> > Das ist noch die FRage !
>  >  
> > Hat denn dieses Gleichungssystem eine Lösung ?
>
>
>
> Da wir keinen Anfangswert haben z.B. für k=0, können wir
> die rekursive Gleichung nicht lösen, oder?

Du hast oben geschrieben:


$ [mm] \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1 \end{matrix}\right. [/mm] $


Das ist nicht richtig. Korrekt ist


$ [mm] \left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n \end{matrix}\right. [/mm] $

Dieses LGS hat eine eindeutig bestimmte Lösung. Zeige das !


>
>
>
> > Noch etwas: ist Dir klar, dass die DGL
>  >  
> >
> > ax'(z)+bx(z)=y(z) ,
>  >  
> > wobei y ein Polynom ist und a [mm]\ne[/mm] 0 [mm]\ne[/mm] b ist, unendlich
> > viele Lösungen hat, die keine Polynome sind ?
>
>
>
> Wenn wir nicht beschränkt wären eine Lösung im
> Polynomring zu finden, könnten wir auch die Methode mit
> den integrierenden Faktor benutzen,


Das ist doch mit Kanonen auf Spatzen geschossen ! Verwende die übliche Methode zur Lösung einer inhomogenen linearen DGL 1.Ordnung (allgemeine Lösung der zugeh. homogenen Gl. , Variation der Konstanten,.....   )


> dann würde die Lösung
> auch Exponentialfunktionen erhalten.

Ja


>
> Ist das richtig?
>
> Aber warum sind es unendlich viele? Weil wir keine
> Anfangswerte haben, also hat man dann eine nicht bestimmte
> Konstante?

Ja, die allgemeine Lösung der DGL ax'(z)+bx(z)=y(z) lautet so (dabei sei a [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] b):

    [mm] x(z)=C*e^{- \bruch{b}{a}z}+x_s(z), [/mm]

wobei [mm] x_s [/mm] eine spezielle Lösung der homogenen Gl. ax'(z)+bx(z)=0 ist und C alle reellen Zahlen durchlaufen darf.

FRED

>  


Bezug
                                
Bezug
Lineare Differentialgleichung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:31 Mi 21.10.2015
Autor: mariem

> Du hast oben geschrieben:
>  
>
> [mm]\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n-1 \end{matrix}\right.[/mm]
>
>
> Das ist nicht richtig. Korrekt ist
>  
>
> [mm]\left\{\begin{matrix} \frac{b}{a}d_n=\frac{1}{a}c_n \Rightarrow d_n=\frac{1}{b}c_n \\ kd_k+\frac{b}{a}d_{k-1}=\frac{1}{a}c_{k-1}, \ \ k=1, \dots , n \end{matrix}\right.[/mm]
>
> Dieses LGS hat eine eindeutig bestimmte Lösung. Zeige das
> !



Für k=n : [mm] nd_k+\frac{b}{a}d_{n-1}=\frac{1}{a}c_{n-1} \Rightarrow d_{n-1}=\frac{1}{b}c_{n-1}-\frac{a}{b^2}nc_n [/mm]


Für k=n-1 : [mm] (n-1)d_{n-1}+\frac{b}{a}d_{n-2}=\frac{1}{a}c_{n-2} \Rightarrow d_{n-2}=\frac{1}{b}c_{n-2}-\frac{a}{b^2}(n-1)c_{n-1}+\frac{a^2}{b^3}n(n-1)c_n [/mm]


Für k=n-2 : [mm] (n-2)d_{n-2}+\frac{b}{a}d_{n-3}=\frac{1}{a}c_{n-3} \Rightarrow d_{n-3}=\frac{1}{b}c_{n-3}-\frac{a}{b^2}(n-2)c_{n-2}+\frac{a^2}{b^3}(n-2)(n-1)c_{n-1}-\frac{a^3}{b^4}n(n-1)(n-2)c_n [/mm]


Also für k=n-i haben wir folgendes: [mm] d_{n-i}=\frac{1}{b}c_{n-i}+\sum_{m=1}^i \frac{(-a)^m}{b^{m+1}}\frac{(n-(i-m))!}{(n-i)!}c_{n-(i-m)} [/mm]


Ist das richtig?

Bezug
                                        
Bezug
Lineare Differentialgleichung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mo 26.10.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]