matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Moduln und VektorräumeLineare Unabhängigkeit
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Lineare Unabhängigkeit
Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lineare Unabhängigkeit: Aufgabenstellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Do 16.10.2014
Autor: MeMeansMe

Aufgabe
Seien [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] verschiedene reelle Zahlen. Beweise, dass die Funktionen

[mm] $\bruch{1}{x-a_1}, \ldots, \bruch{1}{x-a_n}$ [/mm]

linear unabhängig sein.

Hallo,

zu dieser Aufgabe muss ich sagen, dass selbst ein anderer Mathematikdozent, mit dem wir solche Aufgaben manchmal anfangen zu lösen, keine Ahnung hatte, wie man hier ranzugehen hat. Nach meine Lösungsvorschlag, den ich hier vorstelle, hatte ich auch sozusagen einen Knoten im Kopf. Ich bin deshalb für jede Hilfe dankbar.

Damit man sagen kann, dass die Funktionen linear unabhängig sind, muss man zeigen, dass alle [mm] $z_i \in \IR$ [/mm] in der Gleichung

$ [mm] z_1*\bruch{1}{x-a_1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] z_n*\bruch{1}{x-a_n} [/mm] = 0$

null ergeben müssen. Weil ich hier nur eine einzige Gleichung habe, habe ich beide Seiten der Gleichung abgeleitet, um eine zweite Gleichung zu erhalten, die da wäre:

$ [mm] (-z_1*\bruch{1}{(x-a_1)^2}) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] (-z_n*\bruch{1}{(x-a_n)}) [/mm] = 0$

Wenn ich jetzt die erste Gleichung mit [mm] $\bruch{1}{x-a_1}$ [/mm] multipliziere und zu der zweiten hinzu addiere, erhalte ich:

$ [mm] z_2*\bruch{(a_1-a_2)}{(x-a_1)(x-a_2)^2}+\ldots+z_n*\bruch{(a_1-a_n)}{(x-a_1)(x-a_n)^2} [/mm] = 0 $

Hiermit habe ich den erste Koeffizienten 'aus dem Kopf'. Diesen Prozess wende ich so lange an, bis ich nur noch den Term mit [mm] z_n [/mm] übrig habe. Ich weiß nicht, wie ich das genau aufschreiben muss, aber die Gleichung sähe dann im Prinzip so aus:

$ [mm] z_n*\bruch{\cdots}{\cdots} [/mm] = 0$

Hier gerne korrigieren, wie man sowas richtig aufschreibt. Aus dieser Gleichung folgt dann, dass [mm] $z_n [/mm] = 0$. Das kann ich in die Gleichung mit den Koeffizieten [mm] $z_n$ [/mm] und [mm] $z_{n-1}$ [/mm] einsetzen, woraus dann folgt, dass auch [mm] $z_{n-1} [/mm] = 0$ sein muss. Das mache ich so lange, bis ich bei der ursprünglichen Gleichung angelangt bin, woraus dann folgt, dass [mm] $z_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] z_n [/mm] = 0$.

Hiermit wäre dann bewiesen, dass die Funktionen linear unabhängig sind.

Vielen Dank an alle, die mir Feedback geben :)

Liebe Grüße.

        
Bezug
Lineare Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Do 16.10.2014
Autor: fred97

Einfacher:

Sei [mm] D:=\IR \setminus \{a_1,...,a_n\}. [/mm]

Aus

$ [mm] z_1\cdot{}\bruch{1}{x-a_1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] z_n\cdot{}\bruch{1}{x-a_n} [/mm] = 0 $

folgt nach Multiplikation mit [mm] x-a_1: [/mm]



(*) $ [mm] z_1+z_2*\bruch{x-a_1}{x-a_2} \ldots [/mm] + [mm] z_n\cdot{}\bruch{x-a_1}{x-a_n} [/mm] = 0 $

(*) gilt für alle $x [mm] \in [/mm] D$. Der Grenzübergang $x [mm] \to a_1$ [/mm] liefert sofort: [mm] z_1=0. [/mm]

Es bleibt also:

   $ [mm] z_2\cdot{}\bruch{1}{x-a_2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] z_n\cdot{}\bruch{1}{x-a_n} [/mm] = 0 $

Wiederhole obigen Schritt, um zu sehen: [mm] z_2=0. [/mm] Etc ... .

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]