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Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 Mo 06.06.2011
Autor: Pia90

Hallo zusammen!

Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe und zwar ist folgendes Gleichungssystem über einem Körper K, wobei a,b [mm] \in [/mm] K gegeben:
bx - 3y + (a-1)z = 5
20x + 10y + 30z = 10
(a+2)x + 5y + 7z = 20

Aufgabe ist nun: Für welche a\ in [mm] \IQ, [/mm] b [mm] \in \IN_{0} [/mm] hat das System keine / genau eine / mehrere aber endlich viele / unendlich viele Lösungen in  [mm] \IQ^3? [/mm] Bestimmen Sie alle Lösungen.

Ich habe nun auch bereits x,y,z bestimmt und haben dafür die folgenden Werte:
x = [mm] \bruch{15a+184}{a^2+8(b-2)} [/mm]
y = [mm] \bruch{a^2-54 a + 53b+78}{a^2+8(b-2)} [/mm]
z= [mm] \bruch{8a-15b-154}{a^2+8(b-2)} [/mm]

Meine Überlegung war nun, dass es keine Lösung gibt, wenn der Nenner, also Det(A) = [mm] a^2 [/mm] + 8(b-2) = 0 ist.
Die Division durch 0 ist ja nicht erlaubt...
Doch wie gebe ich nun a und b an? Und wie kann ich für die anderen Anzahlmöglichkeiten argumentieren?

Ich würde mich sehr über eure Antworten freuen!

LG Pia

        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Mo 06.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Pia90,

> Hallo zusammen!
>  
> Ich hänge mal wieder an einer Aufgabe und zwar ist
> folgendes Gleichungssystem über einem Körper K, wobei a,b
> [mm]\in[/mm] K gegeben:
>  bx - 3y + (a-1)z = 5
>  20x + 10y + 30z = 10
>  (a+2)x + 5y + 7z = 20
>  
> Aufgabe ist nun: Für welche a\ in [mm]\IQ,[/mm] b [mm]\in \IN_{0}[/mm] hat
> das System keine / genau eine / mehrere aber endlich viele
> / unendlich viele Lösungen in  [mm]\IQ^3?[/mm] Bestimmen Sie alle
> Lösungen.
>  
> Ich habe nun auch bereits x,y,z bestimmt und haben dafür
> die folgenden Werte:
>  x = [mm]\bruch{15a+184}{a^2+8(b-2)}[/mm]
>  y = [mm]\bruch{a^2-54 a + 53b+78}{a^2+8(b-2)}[/mm]
>  z=
> [mm]\bruch{8a-15b-154}{a^2+8(b-2)}[/mm]


[ok]


>  
> Meine Überlegung war nun, dass es keine Lösung gibt, wenn
> der Nenner, also Det(A) = [mm]a^2[/mm] + 8(b-2) = 0 ist.
>  Die Division durch 0 ist ja nicht erlaubt...
> Doch wie gebe ich nun a und b an? Und wie kann ich für die
> anderen Anzahlmöglichkeiten argumentieren?


Hier ist erstmal das gegebene LGS für [mm]a^{2}+8*b-16 \not=0[/mm] lösbar.

Weitere Fälle ergeben sich, wenn x oder y oder z
einen Ausduck der Form "[mm]}\bruch{0}{0}[/mm]" annehmen,
d.h. untersuche Zähler und Nenner auf den Wert 0.


>  
> Ich würde mich sehr über eure Antworten freuen!
>  
> LG Pia


Gruss
MathePower

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Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Mo 06.06.2011
Autor: Pia90

Erstmal danke für die rasche Antwort!

Also ich habe nun überprüft, wann der Nenner 0 wird.
Da bekomm ich dann a = [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{-2b+4} [/mm] bzw. b=2- [mm] \bruch{a^2}{8}. [/mm]
Aber wie kann ich jetzt a und b bestimmen? Weil ich soll ja angeben, für welche a und b es die jeweiligen Anzahlen an Lösungen gibt...
Meine Überlegung war, dass a = [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{-2b+4} [/mm] nur gibt , wenn b [mm] \le [/mm] 2 ist und da [mm] b\in \IN_0 [/mm] folgen daraus die möglichen Werte b=0 oder b=1 oder b=2... Ist meine Überlegung soweit richtig?
Irgendwie kommen mir meine Ergebnisse komisch vor...

Ansonsten habe ich jetzt versucht bei x, y und z jetzt noch zu gucken, wann der Zähler jeweils 0 wird... Wenn der Zähler nicht für die Werte, für die der Nenner 0 wird auch 0 wird, dann kann man daraus folgern, dass es genau eine Lösung für den jeweiligen Wert gibt (sofern der Nenner ungleich 0 ist), oder?

Sorry, wenn meine Antworten nicht wirklich präzise sind... ich habe hier gerade seitenweise rumgerechnet, und irgendwie stellen mich meine Ergebnisse nicht zufrieden ... sicherlich bin ich viel zu kompliziert an die Sache rangegangen oder hab noch irgendwo einen Denkfehler.... :/

Bezug
                        
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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Mo 06.06.2011
Autor: abakus


> Erstmal danke für die rasche Antwort!
>  
> Also ich habe nun überprüft, wann der Nenner 0 wird.
>  Da bekomm ich dann a = [mm]\pm[/mm] 2 [mm]\wurzel{-2b+4}[/mm] bzw. b=2-
> [mm]\bruch{a^2}{8}.[/mm]
>  Aber wie kann ich jetzt a und b bestimmen? Weil ich soll
> ja angeben, für welche a und b es die jeweiligen Anzahlen
> an Lösungen gibt...
>  Meine Überlegung war, dass a = [mm]\pm[/mm] 2 [mm]\wurzel{-2b+4}[/mm] nur
> gibt , wenn b [mm]\le[/mm] 2 ist und da [mm]b\in \IN_0[/mm] folgen daraus die
> möglichen Werte b=0 oder b=1 oder b=2... Ist meine
> Überlegung soweit richtig?
>  Irgendwie kommen mir meine Ergebnisse komisch vor...
>  
> Ansonsten habe ich jetzt versucht bei x, y und z jetzt noch
> zu gucken, wann der Zähler jeweils 0 wird... Wenn der
> Zähler nicht für die Werte, für die der Nenner 0 wird
> auch 0 wird, dann kann man daraus folgern, dass es genau
> eine Lösung für den jeweiligen Wert gibt (sofern der
> Nenner ungleich 0 ist), oder?
>  
> Sorry, wenn meine Antworten nicht wirklich präzise sind...
> ich habe hier gerade seitenweise rumgerechnet, und
> irgendwie stellen mich meine Ergebnisse nicht zufrieden ...
> sicherlich bin ich viel zu kompliziert an die Sache
> rangegangen oder hab noch irgendwo einen Denkfehler.... :/

Hallo,
du vergisst die Einschränkung der erlaubten Zahlenbereiche für a und b.
Für b gibt es nur ganz wenige Möglichkeiten ...
Gruß Abakus
EDIT: Ach, das hattest du ja selbst schon herausgefunden...


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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Mo 06.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Pia90,

> Erstmal danke für die rasche Antwort!
>  
> Also ich habe nun überprüft, wann der Nenner 0 wird.
>  Da bekomm ich dann a = [mm]\pm[/mm] 2 [mm]\wurzel{-2b+4}[/mm] bzw. b=2-
> [mm]\bruch{a^2}{8}.[/mm]
>  Aber wie kann ich jetzt a und b bestimmen? Weil ich soll
> ja angeben, für welche a und b es die jeweiligen Anzahlen
> an Lösungen gibt...
>  Meine Überlegung war, dass a = [mm]\pm[/mm] 2 [mm]\wurzel{-2b+4}[/mm] nur
> gibt , wenn b [mm]\le[/mm] 2 ist und da [mm]b\in \IN_0[/mm] folgen daraus die
> möglichen Werte b=0 oder b=1 oder b=2... Ist meine
> Überlegung soweit richtig?
>  Irgendwie kommen mir meine Ergebnisse komisch vor...
>  
> Ansonsten habe ich jetzt versucht bei x, y und z jetzt noch
> zu gucken, wann der Zähler jeweils 0 wird... Wenn der
> Zähler nicht für die Werte, für die der Nenner 0 wird
> auch 0 wird, dann kann man daraus folgern, dass es genau
> eine Lösung für den jeweiligen Wert gibt (sofern der
> Nenner ungleich 0 ist), oder?
>  
> Sorry, wenn meine Antworten nicht wirklich präzise sind...
> ich habe hier gerade seitenweise rumgerechnet, und
> irgendwie stellen mich meine Ergebnisse nicht zufrieden ...
> sicherlich bin ich viel zu kompliziert an die Sache
> rangegangen oder hab noch irgendwo einen Denkfehler.... :/


Löse die Gleichungen

20x + 10y + 30z = 10
(a+2)x + 5y + 7z = 20

nach y und z auf und setze in

bx - 3y + (a-1)z = 5

ein. Dann ergibt sich eine Bedingung,
wann diese Gleichung nach x auflösbar ist.


Gruss
MathePower

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Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mo 06.06.2011
Autor: Pia90

Vielleicht stehe ich auf dem Schlauch, aber ich bekomme doch dann wieder
x= [mm] \bruch{15a+184}{a^2+8(b-2)}, [/mm] womit wir wieder beim ursprünglichen Zähler/Nenner Problem wären, oder sehe ich das falsch?

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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:09 Mo 06.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Pia90,

> Vielleicht stehe ich auf dem Schlauch, aber ich bekomme
> doch dann wieder
>  x= [mm]\bruch{15a+184}{a^2+8(b-2)},[/mm] womit wir wieder beim
> ursprünglichen Zähler/Nenner Problem wären, oder sehe
> ich das falsch?


Das siehst Du richtig.

Um die Lösbarkeit zu bestimmen, schreibe diese Gleichung so:

[mm]\left( \ a^{2} +8*\left(b-2\right)\ \ \right)*x=15*a+184[/mm]

Wann ist diese eindeutig bzw. mehrdeutig lösbar?


Gruss
MathePower

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Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:08 Di 07.06.2011
Autor: Pia90

Oh mann, ich verzweifel echt noch an der Aufgabe... Wenn ich den Teil schon nicht hinbekomme, wie soll ich da bloß den nächsten Teil schaffen?!

Ok, genug gejammert, an die Arbeit :)

> Um die Lösbarkeit zu bestimmen, schreibe diese Gleichung
> so:
>  
> [mm]\left( \ a^{2} +8*\left(b-2\right)\ \ \right)*x=15*a+184[/mm]
>  
> Wann ist diese eindeutig bzw. mehrdeutig lösbar?

Ist die Gleichung nicht immer eindeutig lösbar? Weil wir haben ja theoretisch eine "Zahl" vor dem x stehen und auch auf der rechten Seite eine "Zahl". Wenn man das eine durch das andere teilt ist das doch immer eindeutig, würde ich behaupten, oder nicht?
Mehrdeutig lösbar wär die Gleichung doch eigentlich nur, wenn da [mm] x^2 [/mm] oder ein anderer gerader Exponent stehen würde...?
Aber das ist ja nicht der Fall...

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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Di 07.06.2011
Autor: fred97


> Oh mann, ich verzweifel echt noch an der Aufgabe... Wenn
> ich den Teil schon nicht hinbekomme, wie soll ich da bloß
> den nächsten Teil schaffen?!
>  
> Ok, genug gejammert, an die Arbeit :)
>  
> > Um die Lösbarkeit zu bestimmen, schreibe diese Gleichung
> > so:
>  >  
> > [mm]\left( \ a^{2} +8*\left(b-2\right)\ \ \right)*x=15*a+184[/mm]
>  
> >  

> > Wann ist diese eindeutig bzw. mehrdeutig lösbar?
>  
> Ist die Gleichung nicht immer eindeutig lösbar?

Nein.

>  Weil wir
> haben ja theoretisch eine "Zahl" vor dem x stehen und auch
> auf der rechten Seite eine "Zahl".



......   und nicht theoretisch ? ....


>  Wenn man das eine durch
> das andere teilt ist das doch immer eindeutig, würde ich
> behaupten, oder nicht?


..... und was machst Du, wenn man nicht teilen darf ?


>  Mehrdeutig lösbar wär die Gleichung doch eigentlich nur,
> wenn da [mm]x^2[/mm] oder ein anderer gerader Exponent stehen
> würde...?

Nein. Nein !

Wir haben also die Gleichung

          (*)  $ [mm] \left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184 [/mm] $

1. Wenn a=0 und b=2 ist, wird aus (*)

                $0*x=184$,

eine unlösbare Gleichung !!

2. Sei $a= [mm] -\bruch{184}{5}$ [/mm]  und b so gewählt, dass [mm] $a^2+8(b-2)=0$ [/mm] ist, dann wird aus (*)

                 $0*x=0$,

Jedes x ist Lösung dieser Gleichung !!!


FRED


>  Aber das ist ja nicht der Fall...


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Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Di 07.06.2011
Autor: Pia90

Oh danke Fred, du hast natürlich recht! Ich hatte anscheinend ein ziemliches Brett vorm Kopf :/
  

> Wir haben also die Gleichung
>
> (*)  [mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]
>  
> 1. Wenn a=0 und b=2 ist, wird aus (*)
>  
> [mm]0*x=184[/mm],
>
> eine unlösbare Gleichung !!

Genau, das ist das was ich meinte, dass der Nenner bzw. det(A) nicht 0 sein darf.
Wenn ich das richtig sehe, geht das noch für weitere Werte außer für a=0 und b=2, oder?
Weil auch für a= [mm] \pm [/mm] 4 und b=0 ist der Teil der Gleichung 0.
Für a = [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{2} [/mm] und b=1 wäre das auch der Fall, allerdings wäre a dann nicht mehr [mm] \in \IQ [/mm]

> 2. Sei [mm]a= -\bruch{184}{[red]1[/red]5}[/mm]  und b so gewählt, dass
> [mm]a^2+8(b-2)=0[/mm] ist, dann wird aus (*)
>  
> [mm]0*x=0[/mm],
>
> Jedes x ist Lösung dieser Gleichung !!!

Das muss ich jetzt auch noch für y und z prüfen, oder? Also in welchen Fällen es mehrere Lösungen gibt, sprich Zähler und Nenner 0 werden...




Bezug
                                                                        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Di 07.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Pia90,

> Oh danke Fred, du hast natürlich recht! Ich hatte
> anscheinend ein ziemliches Brett vorm Kopf :/
>    
> > Wir haben also die Gleichung
> >
> > (*)  [mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]
>  
> >  

> > 1. Wenn a=0 und b=2 ist, wird aus (*)
>  >  
> > [mm]0*x=184[/mm],
> >
> > eine unlösbare Gleichung !!
>  
> Genau, das ist das was ich meinte, dass der Nenner bzw.
> det(A) nicht 0 sein darf.
> Wenn ich das richtig sehe, geht das noch für weitere Werte
> außer für a=0 und b=2, oder?


Die Gleichung

[mm]a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)=0[/mm]

hat natürlich unendlich viele Lösungen (a,b).


>  Weil auch für a= [mm]\pm[/mm] 4 und b=0 ist der Teil der Gleichung
> 0.
>  Für a = [mm]\pm[/mm] 2 [mm]\wurzel{2}[/mm] und b=1 wäre das auch der Fall,
> allerdings wäre a dann nicht mehr [mm]\in \IQ[/mm]
>
> > 2. Sei [mm]a= -\bruch{184}{[red]1[/red]5}[/mm]  und b so gewählt, dass
> > [mm]a^2+8(b-2)=0[/mm] ist, dann wird aus (*)
>  >  
> > [mm]0*x=0[/mm],
> >
> > Jedes x ist Lösung dieser Gleichung !!!
>  
> Das muss ich jetzt auch noch für y und z prüfen, oder?
> Also in welchen Fällen es mehrere Lösungen gibt, sprich
> Zähler und Nenner 0 werden...
>  


Mit der Diskussion der Lösbarkeit der Gleichung

[mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]

ist die Lösbarkeit des gesamten Gleichungssystems geklärt.

Was jetzt noch bleibt, ist genau aufzuschreiben,
wann das System wieviele Lösungen besitzt.


Gruss
MathePower  

Bezug
                                                                                
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Di 07.06.2011
Autor: Pia90


>
> Mit der Diskussion der Lösbarkeit der Gleichung
>  
> [mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]
>  
> ist die Lösbarkeit des gesamten Gleichungssystems
> geklärt.
>  
> Was jetzt noch bleibt, ist genau aufzuschreiben,
>  wann das System wieviele Lösungen besitzt.

Wie ich das alles genau aufschreibe, weiß ich noch nicht so ganz... Ich würde es wie folgt formulieren...

Also das System besitzt keine Lösung wenn det(A)= [mm] -a^2 [/mm] -8(b-2)=0 (mit a [mm] \in \IQ, [/mm] b [mm] \in \IN_0) [/mm] und det(A(i,b)) [mm] \not= [/mm] 0.

Es besitzt unendlich viele Lösungen in [mm] \IO^3, [/mm] wenn det(A(i,b)) = det(A) = 0

Es besitzt genau eine Lösung in [mm] \IQ^3, [/mm] wenn det(A) [mm] \not= [/mm] 0 und det(A(i,b)) [mm] \not= [/mm] 0.

Wäre das so möglich? Ich bin mir mit dem det(A(i,b)) noch so unsicher... Das hab ich ja bei der Cramerschen Regel benutzt, aber kann ich das so aufschreiben?

Bezug
                                                                                        
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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Di 07.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Pia90,

> >
> > Mit der Diskussion der Lösbarkeit der Gleichung
>  >  
> > [mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]
>  
> >  

> > ist die Lösbarkeit des gesamten Gleichungssystems
> > geklärt.
>  >  
> > Was jetzt noch bleibt, ist genau aufzuschreiben,
>  >  wann das System wieviele Lösungen besitzt.
>  
> Wie ich das alles genau aufschreibe, weiß ich noch nicht
> so ganz... Ich würde es wie folgt formulieren...
>  
> Also das System besitzt keine Lösung wenn det(A)= [mm]-a^2[/mm]
> -8(b-2)=0 (mit a [mm]\in \IQ,[/mm] b [mm]\in \IN_0)[/mm] und det(A(i,b))
> [mm]\not=[/mm] 0.
>  
> Es besitzt unendlich viele Lösungen in [mm]\IO^3,[/mm] wenn
> det(A(i,b)) = det(A) = 0
>  
> Es besitzt genau eine Lösung in [mm]\IQ^3,[/mm] wenn det(A) [mm]\not=[/mm] 0
> und det(A(i,b)) [mm]\not=[/mm] 0.


Die Bedingung, daß [mm]det(A(i,b)) \not=0[/mm] ist nicht notwendig.

.

>  
> Wäre das so möglich? Ich bin mir mit dem det(A(i,b)) noch

Sicher ist das so möglich.


> so unsicher... Das hab ich ja bei der Cramerschen Regel
> benutzt, aber kann ich das so aufschreiben?


Orientiere Dich doch an der obigen Gleichung:

[mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]

Dann kannst du z.B, so schreiben:

Das System hat unendliche viele Lösungen, wenn a= ... und b= ... .

Das System hat eine eindeutige Lösung, wenn ...

Das System hat keine Lösung, wenn ...


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Di 07.06.2011
Autor: Pia90


>  >  
> > Also das System besitzt keine Lösung wenn det(A)= [mm]-a^2[/mm]
> > -8(b-2)=0 (mit a [mm]\in \IQ,[/mm] b [mm]\in \IN_0)[/mm] und det(A(i,b))
> > [mm]\not=[/mm] 0.
>  >  
> > Es besitzt unendlich viele Lösungen in [mm]\IO^3,[/mm] wenn
> > det(A(i,b)) = det(A) = 0
>  >  
> > Es besitzt genau eine Lösung in [mm]\IQ^3,[/mm] wenn det(A) [mm]\not=[/mm] 0
> > und det(A(i,b)) [mm]\not=[/mm] 0.
>  
>
> Die Bedingung, daß [mm]det(A(i,b)) \not=0[/mm] ist nicht
> notwendig.
>
>  >  
> > Wäre das so möglich? Ich bin mir mit dem det(A(i,b)) noch
>
> Sicher ist das so möglich.
>  
>
> > so unsicher... Das hab ich ja bei der Cramerschen Regel
> > benutzt, aber kann ich das so aufschreiben?
>
>
> Orientiere Dich doch an der obigen Gleichung:
>  
> [mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]
>  
> Dann kannst du z.B, so schreiben:
>  
> Das System hat unendliche viele Lösungen, wenn a= ... und
> b= ... .
>  
> Das System hat eine eindeutige Lösung, wenn ...
>  
> Das System hat keine Lösung, wenn ...
>

Aber wenn ich mich nur an der Gleichung orientiere, dann muss ich doch noch zeigen, dass ich das nicht noch mal separat für y und z zeigen muss , sondern dass es reicht das ganze einmal zu untersuchen.... oder ist das trivial?

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 Di 07.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Pia90,

> >  >  

> > > Also das System besitzt keine Lösung wenn det(A)= [mm]-a^2[/mm]
> > > -8(b-2)=0 (mit a [mm]\in \IQ,[/mm] b [mm]\in \IN_0)[/mm] und det(A(i,b))
> > > [mm]\not=[/mm] 0.
>  >  >  
> > > Es besitzt unendlich viele Lösungen in [mm]\IO^3,[/mm] wenn
> > > det(A(i,b)) = det(A) = 0
>  >  >  
> > > Es besitzt genau eine Lösung in [mm]\IQ^3,[/mm] wenn det(A) [mm]\not=[/mm] 0
> > > und det(A(i,b)) [mm]\not=[/mm] 0.
>  >  
> >
> > Die Bedingung, daß [mm]det(A(i,b)) \not=0[/mm] ist nicht
> > notwendig.
>  >

> >  >  

> > > Wäre das so möglich? Ich bin mir mit dem det(A(i,b)) noch
> >
> > Sicher ist das so möglich.
>  >  
> >
> > > so unsicher... Das hab ich ja bei der Cramerschen Regel
> > > benutzt, aber kann ich das so aufschreiben?
> >
> >
> > Orientiere Dich doch an der obigen Gleichung:
>  >  
> > [mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]
>  
> >  

> > Dann kannst du z.B, so schreiben:
>  >  
> > Das System hat unendliche viele Lösungen, wenn a= ... und
> > b= ... .
>  >  
> > Das System hat eine eindeutige Lösung, wenn ...
>  >  
> > Das System hat keine Lösung, wenn ...
> >
> Aber wenn ich mich nur an der Gleichung orientiere, dann
> muss ich doch noch zeigen, dass ich das nicht noch mal
> separat für y und z zeigen muss , sondern dass es reicht
> das ganze einmal zu untersuchen.... oder ist das trivial?


Das ist nicht zu zeigen, da die Gleichung

[mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]

mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens zustande gekommen ist.


Gruss
MathePower

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Lineares Gleichungssystem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Di 07.06.2011
Autor: Pia90


>
> Das ist nicht zu zeigen, da die Gleichung
>  
> [mm]\left( \ a^{2} +8\cdot{}\left(b-2\right)\ \ \right)\cdot{}x=15\cdot{}a+184[/mm]
>  
> mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens zustande
> gekommen ist.
>

Alles klar! Vielen, vielen Dank!

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Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Di 07.06.2011
Autor: Schadowmaster


> 2. Sei [mm]a= -\bruch{184}{5}[/mm]  und b so gewählt, dass
> [mm]a^2+8(b-2)=0[/mm] ist, dann wird aus (*)
>  
> [mm]0*x=0[/mm],
>
> Jedes x ist Lösung dieser Gleichung !!!
>  
>
> FRED


Nur mal eine ganz kurze Zwischenfrage:
Es soll ja gelten $b [mm] \in \IN_0$ [/mm]
Ist dann das "wähle b so, dass..." überhaupt möglich? (ich sitze nämlich grad an der gleichen Aufgabe und finde da nicht wirklich ein entsprechendes b xD)

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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Di 07.06.2011
Autor: MathePower

Hallo Schadowmaster,


> > 2. Sei [mm]a= -\bruch{184}{5}[/mm]  und b so gewählt, dass
> > [mm]a^2+8(b-2)=0[/mm] ist, dann wird aus (*)
>  >  
> > [mm]0*x=0[/mm],
> >
> > Jedes x ist Lösung dieser Gleichung !!!
>  >  
> >
> > FRED
>  
>
> Nur mal eine ganz kurze Zwischenfrage:
>  Es soll ja gelten [mm]b \in \IN_0[/mm]
> Ist dann das "wähle b so, dass..." überhaupt möglich?


Zunächst bestimmst Du das b, ohne irgendeine Beschränkung.

Dann stellst Du fest, daß [mm]b \in \IO[/mm] aber [mm]b \notin \IN_{0}[/mm].
Somit ist die genannte Gleichung unerfüllbar.


> (ich sitze nämlich grad an der gleichen Aufgabe und finde
> da nicht wirklich ein entsprechendes b xD)


Gruss
MathePower

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Lineares Gleichungssystem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:48 Mi 08.06.2011
Autor: Pia90

Da hast du wohl recht :)

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Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:01 Di 07.06.2011
Autor: Pia90

Ich muss das ganze jetzt noch für den folgenden Fall betrachten:

Sei K einer der Körper [mm] \IZ_p [/mm] mit p=2,3,5. Für welche a,b [mm] \in [/mm] K hat das System keine / genau eine /mehrere aber endlich viele / unendlich viele Lösungen in [mm] K^3? [/mm] Falls es genau eine Lösung gibt, berechnen Sie diese.

Ich muss zugeben, dass ich hier gar nicht wirklich weiß wie ich an die Aufgabe rangehen soll....

Also [mm] \IZ_2 [/mm] = {0,1}, [mm] \IZ_3 [/mm] = {0,1,2}, [mm] \IZ_5 [/mm] = {0,1,2,3,4}.
Ich kann mir nicht wirklich vorstellen, wie das ganze jetzt meine Lösung aus der vorherigen Teilaufgabe verändert...

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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:37 Mi 08.06.2011
Autor: angela.h.b.


> Ich muss das ganze jetzt noch für den folgenden Fall
> betrachten:
>  
> Sei K einer der Körper [mm]\IZ_p[/mm] mit p=2,3,5. Für welche a,b
> [mm]\in[/mm] K hat das System keine / genau eine /mehrere aber
> endlich viele / unendlich viele Lösungen in [mm]K^3?[/mm] Falls es
> genau eine Lösung gibt, berechnen Sie diese.
>  
> Ich muss zugeben, dass ich hier gar nicht wirklich weiß
> wie ich an die Aufgabe rangehen soll....
>  
> Also [mm]\IZ_2[/mm] = {0,1}, [mm]\IZ_3[/mm] = {0,1,2}, [mm]\IZ_5[/mm] = {0,1,2,3,4}.
> Ich kann mir nicht wirklich vorstellen, wie das ganze jetzt
> meine Lösung aus der vorherigen Teilaufgabe verändert...

Hallo,

das kann ich Dir jetzt auch nicht sagen, u.a. deshalb, weil ich etwas unmotiviert bin, den ganzen Thread nach der amtlich anerkannten Lösung zu durchforsten.

Lös das LGS doch einfach mal in  [mm] \IZ_2. [/mm]

Wie sieht das LGS

bx - 3y + (a-1)z = 5
20x + 10y + 30z = 10
(a+2)x + 5y + 7z = 20

im [mm] \IZ_2 [/mm] aus?

Gruß v. Angela




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Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Mi 08.06.2011
Autor: Pia90

Hallo,

ich weiß nicht so ganz, wie ich das LGS in [mm] \IZ_2 [/mm] lösen soll...
wir haben uns jetzt was anderes überlegt (bzw. wahrscheinlich meinst du etwas ähnliches)...

Und zwar habe ich überlegt, dass [mm] -a^2-8(b-2)=0 [/mm] (der Nenner der Lösungen) unter anderem genau dann 0 ist, wenn a=0, b=2 oder a=4, b=0.
Da es in [mm] \IZ_2 [/mm] ja nur die 0 und 1 als Elemente gibt, treten die beiden Fälle nicht auf, d.h. der Nenner wird nie 0. Folglich gibt es immer Lösungen.
Unendlich viele Lösungen kann es nicht geben, da [mm] \IZ_2 [/mm] ein endl. Körper ist, somit gibt es genau eine Lösung und zwar
x= [mm] \bruch{-184-15a}{a^2+8(b-2)} \forall [/mm] a,b [mm] \in \IZ_2 [/mm]

(muss man da auch noch y und z angeben, oder reicht das x?)

Das ganze wäre dann selbstverständlich für die beiden anderen Fälle analog, nur das sich halt die Lösbarkeit ändert, wenn man den Nenner gleich 0 setzt...

Ist das so richtig?

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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mi 08.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Pia,

ich habe den ganzen thread nicht im Detail gelesen, ist mir zu lang ... ;-), aber folgendes:

> Hallo,
>
> ich weiß nicht so ganz, wie ich das LGS in [mm]\IZ_2[/mm] lösen
> soll...
> wir haben uns jetzt was anderes überlegt (bzw.
> wahrscheinlich meinst du etwas ähnliches)...
>
> Und zwar habe ich überlegt, dass [mm]-a^2-8(b-2)=0[/mm] (der Nenner
> der Lösungen) unter anderem genau dann 0 ist, wenn a=0,
> b=2 oder a=4, b=0.

Naja, es ist [mm]8\equiv 0 \ \operatorname{mod}(2)[/mm]

Da steht also nur [mm]-a^2[/mm] bzw. [mm]a^2[/mm], da [mm]-1\equiv 1 \ \operatorname{mod}(2)[/mm] ist

Der Ausdruck ist also 0, genau dann, wenn [mm]a=0[/mm] und [mm]b[/mm] beliebig ist.

Außerdem solltest du aufpassen, dass du übehaupt erlaubte Umformungen machst, um das so wie oben nach [mm]x[/mm] umzustellen ...

> Da es in [mm]\IZ_2[/mm] ja nur die 0 und 1 als Elemente gibt, treten
> die beiden Fälle nicht auf, d.h. der Nenner wird nie 0.
> Folglich gibt es immer Lösungen.
> Unendlich viele Lösungen kann es nicht geben, da [mm]\IZ_2[/mm] ein
> endl. Körper ist, somit gibt es genau eine Lösung und
> zwar
> x= [mm]\bruch{-184-15a}{a^2+8(b-2)} \forall[/mm] a,b [mm]\in \IZ_2[/mm]

Nee, das ist komisch.

Reduziere besser mal das Ausgangs-LGS gem. Angelas Tipp:

(1) [mm]bx-3y+(a-1)z=5[/mm]
(2) [mm]20x+10y+30z=10[/mm]
(3) [mm](a+2)x+5y+7z=20[/mm]

[mm]\equiv[/mm]

(1) [mm]bx+y+(a+1)z=1[/mm]
(2) [mm]0=0[/mm]
(3) [mm]ax+y+z=0[/mm]

[mm]\operatorname{mod}(2)[/mm]

Nun rechne hier mal los ...

>
> (muss man da auch noch y und z angeben, oder reicht das
> x?)
>
> Das ganze wäre dann selbstverständlich für die beiden
> anderen Fälle analog, nur das sich halt die Lösbarkeit
> ändert, wenn man den Nenner gleich 0 setzt...
>
> Ist das so richtig?

Ich denke nicht

Gruß

schachuzipus


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Lineares Gleichungssystem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Mi 08.06.2011
Autor: Pia90

Danke erstmal
> Reduziere besser mal das Ausgangs-LGS gem. Angelas Tipp:
>  
> (1) [mm]bx-3y+(a-1)z=5[/mm]
>  (2) [mm]20x+10y+30z=10[/mm]
>  (3) [mm](a+2)x+5y+7z=20[/mm]
>  
> [mm]\equiv[/mm]
>  
> (1) [mm]bx+y+(a+1)z=1[/mm]
>  (2) [mm]0=0[/mm]
>  (3) [mm]ax+y+z=0[/mm]
>  
> [mm]\operatorname{mod}(2)[/mm]
>  
> Nun rechne hier mal los ...
>  

Ich muss zugeben ich habe keine Ahnung wie ich mit mod vernünftig rechne...
Wie du das LGS reduziert hast, habe ich glaube ich so gerade noch verstanden, also ich kanns nachvollziehen und auch auf die anderen Fälle übertragen denk ich, aber selbst wär ich wohl niemals drauf gekommen...

Ich habe gerade versucht 1 und 3 jeweils nach y aufzulösen und gleichzusetzen... damit komm ich auf 1+(a-b)x+az=0 aber das bringt mich nicht wirklich weiter (und vielleicht ist das auch falsch??)

Meine Intuition sagt mir, dass das 0=0 der Gleichung 2 mir schon etwas sagen sollte, aber ich habe keinen Plan was...

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Lineares Gleichungssystem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Mi 08.06.2011
Autor: leduart

Hallo
fang an mit a=0 rechne dabei fallunterscheidung b=0, b=1
dasselbe mit a=1
Gruss leduart


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