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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Lineares Gleichungssystem über Z/3Z

Lineares Gleichungssystem über Z/3Z < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Lineares Gleichungssystem über Z/3Z: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	20:51 Fr 14.05.2004
Autor:	nevinpol

Hallo an Alle,
dies ist die Aufgabe die ich schon gelöst habe, denke ich.

Vielleicht kann ja jemand mal ein Blick drüber werfen und
eventuelle grundlegenge Fehler entdecken???

Aufgabe A)Lösen Sie das lineare Gleichungsystem

[mm] \bar 1 \cdot x + \bar 2 \cdot y = \bar 4[/mm]
[mm] \bar 2 \cdot x + \bar 7 \cdot y = \bar 1\bar 1[/mm]

über  [mm]\IZ /3 \IZ [/mm]

Meine Lösung zu Aufgabe

(1) [mm] \bar 1 \cdot x + \bar 2 \cdot y = \bar 4[/mm]
(2) [mm] \bar 2 \cdot x + \bar 7 \cdot y = \bar 1\bar 1[/mm]

(1) mal 2 = (3)  [mm] \bar 2 \cdot x + \bar 4 \cdot y = \bar 8[/mm]
(2) minus (3) = (4) [mm] \bar3 \cdot y = \bar 3 \gdw y = \bar 1 [/mm]

[mm] y = \bar 1 [/mm] einsetzen in (1)

(1) [mm] \bar 1 \cdot x + \bar 2 \cdot y = \bar 4[/mm]
[mm] \gdw \bar 1 \cdot x + \bar 2 \cdot \bar 1 = \bar 4[/mm]
[mm] \gdw \bar 1 \cdot x + \bar 2 = \bar 4[/mm]
[mm] \gdw \bar 1 \cdot x = \bar 2[/mm]
[mm] \gdw x = \bar 2[/mm]



Also  ist [mm] x = \bar 2 [/mm] und [mm] y = \bar 1 [/mm]

[mm] L = \{ \bar2 , \bar 1\} [/mm]

Grüsse
nevinpol

Bezug

Lineares Gleichungssystem über Z/3Z: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	16:32 Sa 15.05.2004
Autor:	Marc

Hallo nevinpol,

> Aufgabe A)Lösen Sie das lineare Gleichungsystem
>
> [mm]\bar 1 \cdot x + \bar 2 \cdot y = \bar 4[/mm]
>  [mm]\bar 2 \cdot x + \bar 7 \cdot y = \bar 1\bar 1[/mm]
>
> über  [mm]\IZ /3 \IZ[/mm]

Hier ist also wirklich [mm] \IZ/3\IZ [/mm] gemeint? (Ansonsten ist das LGS ja dasselbe wie in der vorherigen Aufgabe.)

>
> Meine Lösung zu Aufgabe
>
> (1) [mm]\bar 1 \cdot x + \bar 2 \cdot y = \bar 4[/mm]
>  (2) [mm]\bar 2 \cdot x + \bar 7 \cdot y = \bar 1\bar 1[/mm]
>
> (1) mal 2 = (3)  [mm]\bar 2 \cdot x + \bar 4 \cdot y = \bar 8[/mm]
>  (2) minus (3) = (4) [mm]\bar3 \cdot y = \bar 3 \gdw y = \bar 1[/mm]

Hier stimmt die letzte Umformung nicht, denn [mm] $\bar{3}=\bar{0}$! [/mm] Also lautet die Gleichung [mm] $\bar0=\bar0$, [/mm] es gibt also ~~unendlich viele~~mehrere Lösungen dieses LGS über dem Körper [mm] $\IZ_3$: [/mm]

Die Lösungen müssen nur die erste (oder zweite) Gleichung erfüllen, ich löse die erste mal nach $y$ auf:
[mm] $\gdw\ \bar [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] \bar [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] y = [mm] \bar [/mm] 4$  (das additive Inverse zu [mm] \bar1 [/mm] ist [mm] \bar2, [/mm] also addiere ich [mm] \bar2x) [/mm]
[mm] $\gdw\ \bar [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] y = [mm] \bar 1+\bar2*x$ [/mm]  (das multiplikative Inverse zu [mm] \bar2 [/mm] ist [mm] \bar2) [/mm]
[mm] $\gdw\ \bar2*\bar [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] y = [mm] \bar2*(\bar 1+\bar2*x)$ [/mm]
[mm] $\gdw\ \cdot [/mm] y = [mm] \bar2+\bar1*x)$ [/mm]

[mm] $\IL=\{(x,\bar2+x)\}$ [/mm]

Zum Spaß mache ich auch die Probe:

Erste Gleichung:

[mm] $\bar [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] \bar [/mm] 2 [mm] *(\bar2+x) [/mm] = [mm] \bar [/mm] 4$
[mm] $\gdw\ \bar [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] \bar [/mm] 4 [mm] +\bar2x [/mm] = [mm] \bar [/mm] 4$
[mm] $\gdw\ \bar [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] \bar [/mm] 4 = [mm] \bar [/mm] 4$
[mm] $\gdw\ \bar [/mm] 4 = [mm] \bar [/mm] 4$

Zweite Gleichung:

[mm] $\bar [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] \bar [/mm] 7 [mm] \cdot (\bar2+x) [/mm] = [mm] \bar 1\bar [/mm] 1$
[mm] $\gdw\ \bar [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] \bar [/mm] 1 [mm] \cdot (\bar2+x) [/mm] = [mm] \bar 1\bar [/mm] 1$
[mm] $\gdw\ \bar [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] \bar2+x [/mm] = [mm] \bar 1\bar [/mm] 1$
[mm] $\gdw\ \bar2 [/mm] = [mm] \bar 1\bar [/mm] 1$

Also stimmt alles :-)