matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenLineariät einer Abbildung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Abbildungen" - Lineariät einer Abbildung
Lineariät einer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lineariät einer Abbildung: Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Fr 26.09.2008
Autor: fecit

Aufgabe
Welche Abbildungen sind linear?
[mm] f([\vektor{x \\ y}])=\pmat{ 2x_{1} & + x_{2} \\ x_{1} & x_{2} } [/mm]

Ich Beschäftige mich jetzt schon länger mit dieser Aufgabenstellung und weiß nicht ob der Beweiß stimmt!

Also um zu zeigen das eine Abbildung Linear ist muss sie additiv und homogen sein.

Homogenität: [mm] f(\lambda [/mm] * x) = [mm] \lambda [/mm] * f(x)

f( [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1}}) [/mm] = f( [mm] \vektor{\lambda x_{1} \\ \lambda y_{1}} [/mm] =
= [mm] \pmat{ \lambda 2x_{1} & \lambda x_{2} \\ \lambda x_{1} & \lambda x_{2} } [/mm] =
= [mm] \lambda [/mm] * [mm] \pmat{ 2_x_{1} & x_{2} \\ x_{1} & x_{2} } [/mm] =
= [mm] \lambda *f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}}) [/mm]

Additivität: f(u+v)=f(u)+f(v)

[mm] f(\lambda_{1}*(x_{1},x_{2}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*(y_{1},y_{2}) [/mm] = [mm] f(\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}*y_{1},\lambda_{1}*x_{2}+\lambda_{2}*y_{2}) [/mm] =
[mm] =(2*(\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}*y_{1})+(\lambda_{1}*x_{2}+\lambda_{2}*y_{2}) [/mm] , [mm] (\lambda x_{1}+\lambda_{2}*y_{1}) [/mm] + [mm] (\lambda_{1}*x_{2}+\lambda_{2}*y_{2}) [/mm] =
[mm] =\lambda_{1}*(2x_{1}+x_{2}),(x_{1}+x_{2}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*(2y_{1}+y_{2}),(y_{1}+y_{2}) [/mm] =
[mm] =\lambda_{1}*f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*f(\vektor{y_{1} \\ y_{2}} [/mm]

Würde der Beweis so stimmen? ty

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lineariät einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Fr 26.09.2008
Autor: fred97

Ich vermute die Abbildungsvorschrift lautet:


$ [mm] f([\vektor{x_1 \\ x_2}])=\pmat{ 2x_{1} & + x_{2} \\ x_{1} &+ x_{2} } [/mm] $


Wenn ja, so hast Du es im wesentlichen richtig gemacht aber nicht ganz sauber aufgeschrieben.

Probiers nochmal


FRED

Bezug
                
Bezug
Lineariät einer Abbildung: korrektur-ordnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Fr 26.09.2008
Autor: fecit

[mm] {f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}})}=\pmat{ 2x_{1}+x_{2} \\ x_{1}+x_{2} } [/mm]

[mm] {f(\lambda_{1}*\vektor{x_{1}\\x_{2}}+\lambda_{2}*\vektor{y_{1}\\y_{2}})} [/mm] =

= [mm] {f(\vektor{\lambda_{1}*x_{1} + \lambda_{2}*y_{1}\\ \lambda_{1}*x_{2} + \lambda_{2}*y_{2}}} [/mm] =

= [mm] \vektor{2*(\lambda_{1}*x_{1} + \lambda_{2}*y_{1}) + (\lambda_{1}*x_{2} + \lambda_{2}*y_{2})\\ \lambda_{1}*(x_{1} + \lambda_{2}*y_{1})+\lambda_{1}*(x_{2} + \lambda_{2}*y_{2})}= [/mm]

[mm] =\lambda_{1}*\vektor{2*x_{1}+x_{2}\\x_{1}+x_{2}}+\lambda_{2}*\vektor{2*y_{1}+y_{2}\\y_{1}+y_{2}}= [/mm]

[mm] =\lambda_{1}*{f\vektor{x_{1}\\x_{2}}} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*{f\vektor{y_{1}\\y_{2}}} [/mm]

korrektur

Bezug
                        
Bezug
Lineariät einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Fr 26.09.2008
Autor: fred97


> [mm]{f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}})}=\pmat{ 2x_{1} & x_{2} \\ x_{1} & x_{2} }[/mm]


Hier hast Du 2 "+" - Zeichen vergessen.

FRED


>  
> [mm]{f(\lambda_{1}*\vektor{x_{1}\\x_{2}}+\lambda_{2}*\vektor{y_{1}\\y_{2}})}[/mm]
> =
>
> = [mm]{f(\vektor{\lambda_{1}*x_{1} + \lambda_{2}*y_{1}\\ \lambda_{1}*x_{2} + \lambda_{2}*y_{2}}}[/mm]
> =
>  
> = [mm]\vektor{2*(\lambda_{1}*x_{1} + \lambda_{2}*y_{1}) + (\lambda_{1}*x_{2} + \lambda_{2}*y_{2})\\ \lambda_{1}*(x_{1} + \lambda_{2}*y_{1})+\lambda_{1}*(x_{2} + \lambda_{2}*y_{2})}=[/mm]
>  
> [mm]=\lambda_{1}*\vektor{2*x_{1}+x_{2}\\x_{1}+x_{2}}+\lambda_{2}*\vektor{2*y_{1}+y_{2}\\y_{1}+y_{2}}=[/mm]
>  
> [mm]=\lambda_{1}*{f\vektor{x_{1}\\x_{2}}}[/mm] +
> [mm]\lambda_{2}*{f\vektor{y_{1}\\y_{2}}}[/mm]




O.K.
FRED

>  
> korrektur


Bezug
                                
Bezug
Lineariät einer Abbildung: Frage beantwortet!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:37 Fr 26.09.2008
Autor: fecit

Danke sehr!  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]