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Forum "Differenzialrechnung" - Linearisierung einer Funktion
Linearisierung einer Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Linearisierung einer Funktion: Hilfe, Idee, Vorschlag, Rückf.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 So 10.05.2015
Autor: Dom_89

Aufgabe
Linearisieren Sie folgende Funktion:

R(T) = 100 /Omega [mm] (1+3,9083*10^{-3}°C^{-1} [/mm] T + - [mm] 5,775*10^{-7}°C^{-2} T^{2}) [/mm]


Hallo,

ich soll die o.g. Funktion linearisieren. Ich habe dazu wie folgt begonnen:

R(T) = 100 /Omega [mm] (1+3,9083*10^{-3}°C^{-1} [/mm] T + - [mm] 5,775*10^{-7}°C^{-2} T^{2}) [/mm]

[mm] R_{lin}(T;T_{0}) [/mm] = [mm] R(T_{0}) [/mm] + [mm] \bruch{\partial R(T)}{\partial T} \vmat{ \\ T = T_{0} } [/mm] (T - [mm] T_{0}) [/mm]

[mm] R_{lin}(T;T_{0}) [/mm] = 100 /Omega [mm] (1+3,9083*10^{-3}°C^{-1} T_{0} [/mm] + - [mm] 5,775*10^{-7}°C^{-2} T_{0}^{2}) [/mm] + ........ [mm] (T-T_{0}) [/mm]

Stimmt das soweit ( Es soll keine Determinate darstellen; ich weiß nur nicht, wie ich nur einen Strich bekomme) ?

Ich weiß leider an der Stelle der partiellen Ableitung nicht so recht weiter :(

Könnt ich mir da helfen ?





        
Bezug
Linearisierung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 So 10.05.2015
Autor: MathePower

Hallo Dom_89,

> Linearisieren Sie folgende Funktion:
>  
> R(T) = 100 /Omega [mm](1+3,9083*10^{-3}°C^{-1}[/mm] T + -
> [mm]5,775*10^{-7}°C^{-2} T^{2})[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich soll die o.g. Funktion linearisieren. Ich habe dazu wie
> folgt begonnen:
>  
> R(T) = 100 /Omega [mm](1+3,9083*10^{-3}°C^{-1}[/mm] T + -
> [mm]5,775*10^{-7}°C^{-2} T^{2})[/mm]
>  


Gehört die Klammer auch in den Nenner?


> [mm]R_{lin}(T;T_{0})[/mm] = [mm]R(T_{0})[/mm] + [mm]\bruch{\partial R(T)}{\partial T} \vmat{ \\ T = T_{0} }[/mm]
> (T - [mm]T_{0})[/mm]
>  
> [mm]R_{lin}(T;T_{0})[/mm] = 100 /Omega [mm](1+3,9083*10^{-3}°C^{-1} T_{0}[/mm]
> + - [mm]5,775*10^{-7}°C^{-2} T_{0}^{2})[/mm] + ........ [mm](T-T_{0})[/mm]
>  
> Stimmt das soweit ( Es soll keine Determinate darstellen;
> ich weiß nur nicht, wie ich nur einen Strich bekomme) ?
>


Einen senkrechten Strich bekommst Du durch Eingabe von "|".

Dann lautet der lineare Teil im Formeleditor so:

\left \bruch{\partial R(T)}{\partial T} \right|_{T=T_{0}} (T - T_{0})

Das ergibt dann:

[mm]\left \bruch{\partial R(T)}{\partial T} \right|_{T=T_{0}} (T - T_{0})[/mm]

Da R nur von ener Variablen abhängig ist, schreibt man

[mm]R_{lin}(T;T_{0})] =R(T_{0}) + \left \bruch{\blue{d} R(T)}{\blue{d} T} \right|_{T=T_{0}} (T - T_{0})[/mm]


> Ich weiß leider an der Stelle der partiellen Ableitung
> nicht so recht weiter :(
>  
> Könnt ich mir da helfen ?
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Linearisierung einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 So 10.05.2015
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

Ich habe mich jetzt einmal weiter an der Aufgabe versucht bin mir bei der lösung aber absolut nicht sicher:

[mm] R_{lin}(T;T_{0}) [/mm] = [mm] R(T_{0}) [/mm] + [mm] \left \bruch{\partial R(T)}{\partial T} \right|_{T=T_{0}} [/mm] (T - [mm] T_{0}) [/mm]

[mm] R_{lin}(T) [/mm] = 100 [mm] (1+3,9083*10^{-3}°C^{-1} T_{0} [/mm] +( - [mm] 5,775*10^{-7}°C^{-2} T_{0}^{2})) [/mm] + 100 [mm] (3,9083*10^{-3}°C^{-1} [/mm] +( - [mm] 5,775*10^{-7}°C^{-2} 2T_{0})) (T-T_{0}) [/mm]

Ist das (zumindest im Ansatz) so richtig, oder bin ich auf dem völlig falschen Weg ?

Danke für eure Hilfe


Bezug
                        
Bezug
Linearisierung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 So 10.05.2015
Autor: MathePower

Halllo Dom_89,

> Hallo,
>  
> danke für die Antwort!
>  
> Ich habe mich jetzt einmal weiter an der Aufgabe versucht
> bin mir bei der lösung aber absolut nicht sicher:
>  
> [mm]R_{lin}(T;T_{0})[/mm] = [mm]R(T_{0})[/mm] + [mm]\left \bruch{\partial R(T)}{\partial T} \right|_{T=T_{0}}[/mm]
> (T - [mm]T_{0})[/mm]
>  
> [mm]R_{lin}(T)[/mm] = 100 [mm](1+3,9083*10^{-3}°C^{-1} T_{0}[/mm] +( -
> [mm]5,775*10^{-7}°C^{-2} T_{0}^{2}))[/mm] + 100
> [mm](3,9083*10^{-3}°C^{-1}[/mm] +( - [mm]5,775*10^{-7}°C^{-2} 2T_{0})) (T-T_{0})[/mm]
>  
> Ist das (zumindest im Ansatz) so richtig, oder bin ich auf
> dem völlig falschen Weg ?
>  


Der ganze Ausdruck  ist noch mit [mm]\bruch{1}{\omega}[/mm] zu multiplizieren.
Ansonsten ist das richtig. [ok]


> Danke für eure Hilfe
>  


Gruss
MathePower

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Linearisierung einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:41 So 10.05.2015
Autor: Dom_89

Hallo MathePower,

vielen Dank für die schnelle Antwort!

Es freut mich sehr, dass meine Sachen soweit richtig sind :)

Ich verstehe nun leider nicht ganz, warum ich noch mit [mm] \bruch{1}{w} [/mm] multiplizieren muss! Was bedeutet das für meine Funktion ?

Wenn du mir das nochmal erläutern könntest, wäre ich dir sehr dankbar !!!! :)

Gruss

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Bezug
Linearisierung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 So 10.05.2015
Autor: MathePower

Hallo Dom_89,

> Hallo MathePower,
>  
> vielen Dank für die schnelle Antwort!
>  
> Es freut mich sehr, dass meine Sachen soweit richtig sind
> :)
>  
> Ich verstehe nun leider nicht ganz, warum ich noch mit
> [mm]\bruch{1}{w}[/mm] multiplizieren muss! Was bedeutet das für
> meine Funktion ?
>  
> Wenn du mir das nochmal erläutern könntest, wäre ich dir
> sehr dankbar !!!! :)
>  


In der Ausgangsfunktion steht doch auch ein  [mm]\bruch{1}{\omega}[/mm].


> Gruss


Gruss
MathePower

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Bezug
Linearisierung einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 So 10.05.2015
Autor: Dom_89

Hallo MathePower,

danke für die Antwort!

Der besagte Ausdruck sollte in der Ausgangsformel nicht 1/w darstellen, sondern sollte eigentlich in ein großes Omega gewandelt werden ( = für den elektr. Widerstand) . Dies hat aber, so wie gerade gesehen habe, auch wieder nicht funktioniert ;(

Entschuldige diesen Fehler bitte.

Heisst das dann, dass ich meine Funktion bereits erfolgreich linearisiert habe und doch nichts weiteres mehr machen brauche ?

Gruss

Bezug
                                                        
Bezug
Linearisierung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:44 Mo 11.05.2015
Autor: fred97


> Hallo MathePower,
>  
> danke für die Antwort!
>  
> Der besagte Ausdruck sollte in der Ausgangsformel nicht 1/w
> darstellen, sondern sollte eigentlich in ein großes Omega
> gewandelt werden ( = für den elektr. Widerstand) . Dies
> hat aber, so wie gerade gesehen habe, auch wieder nicht
> funktioniert ;(
>  
> Entschuldige diesen Fehler bitte.
>  
> Heisst das dann, dass ich meine Funktion bereits
> erfolgreich linearisiert habe und doch nichts weiteres mehr
> machen brauche ?

Bis auf $1/ [mm] \Omega$ [/mm] ist es richtig.

Deine Ausgangsfunktion hast Du so geschrieben:

R(T) = 100 /Omega $ [mm] (1+3,9083\cdot{}10^{-3}°C^{-1} [/mm] $ T + - $ [mm] 5,775\cdot{}10^{-7}°C^{-2} T^{2}) [/mm] $

FRED

>  
> Gruss


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