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Forum "Integration" - Linearität u. Monotonie Integr
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Linearität u. Monotonie Integr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Mi 05.04.2017
Autor: X3nion

Hallo,

ich habe ein paar kleine Verständnisfragen zum Beweis über die Linearität und Monotonie von Integralen.

Seien f,g: [a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] integrierbare Funktionen und [mm] \lambda \in \IR. [/mm] Dann sind auch die Funktionen f + g und [mm] \lambda [/mm] f integrierbar und es gilt

a) [mm] \integral_{a}^{b}{(f+g)(x)dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{g(x)dx} [/mm]

b) [mm] \integral_{a}^{b}{(\lambda f) dx} [/mm] = [mm] \lambda \integral_{a}^{b}{f(x)dx} [/mm]

c) f [mm] \le [/mm] g  => [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx} \le \integral_{a}^{b}{g(x)dx} [/mm]


Den Beweis von Teil a) habe ich verstanden, der Beweis von b) lautet wie folgt:

Da die Aussage für [mm] \lambda [/mm] = 0 und [mm] \lambda [/mm] = -1 trivial ist, genügt es, sie für [mm] \lambda [/mm] > 0 zu beweisen. Zu vorgegebenem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es Treppenfunktionen [mm] \phi, \psy [/mm] mit

[mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x)dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x)dx} \le \frac{\epsilon}{\delta}. [/mm]

Daraus folgt [mm] \lambda \phi \le \lambda [/mm] f [mm] \le \lambda \psi [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{b}{(\lambda \psi)(x)dx} [/mm] -
[mm] \integral_{a}^{b}{(\lambda \phi)(x)dx} \le \epsilon. [/mm]

Daraus folgt die Behauptung b)


- Hier eine kurze Frage: genügt es, die Aussage für [mm] \lambda [/mm] > 0 zu zeigen, da jedes [mm] \lambda [/mm] < 0 sich aus der Multiplikation von -1 * [mm] \lambda [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] > 0 schreiben lässt?



Die Behauptung c) ist trivial.

- Ist Behauptung c) trivial weil sie offensichtlich ist, oder müsste man sie streng genommen noch beweisen?


Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Linearität u. Monotonie Integr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 Do 06.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> - Hier eine kurze Frage: genügt es, die Aussage für
> [mm]\lambda[/mm] > 0 zu zeigen, da jedes [mm]\lambda[/mm] < 0 sich aus der
> Multiplikation von -1 * [mm]\lambda[/mm] mit [mm]\lambda[/mm] > 0 schreiben lässt?

Ja, offensichtlich gilt für [mm] $\lambda [/mm] < 0$, dass [mm] $\lambda [/mm] = -1 * [mm] |\lambda|$ [/mm] und dann kannst du es schrittweise rausziehen.

> Die Behauptung c) ist trivial.
>  
> - Ist Behauptung c) trivial weil sie offensichtlich ist,
> oder müsste man sie streng genommen noch beweisen?

"Trivial" bedeutet nicht "offensichtlich"… denn das ist eine gefährliche Aussage. "Trivial" bedeutet viel mehr "so leicht beweisbar, dass der Leser es leicht selbst hinbekommt". Du solltest es also beweisen (und wirst feststellen, dass es für deine Verhältnisse ein bisschen aufwändiger ist, als "trivial" vermuten lässt).

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Linearität u. Monotonie Integr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Do 06.04.2017
Autor: X3nion

Hi Gono,

ich danke dir für deinen Beitrag :-)
Ja das mit trivial ist immer so eine Sache [happy]

Dann versuche ich das mal ...

zu zeigen ist also, dass aus f [mm] \le [/mm] g folgt: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{g(x) dx}. [/mm]

Nun betrachte ich folgende Definition im Forster: Eine beschränkte Funktion f: [a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] heißt Riemann-integrierbar, wenn

[mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx}. [/mm]

In diesem Fall setzt man

[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm]

Da nun gemäß Voraussetzung f und g integrierbar sind, gilt [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] sup\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx: \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\} [/mm] und
[mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{g(x) dx} [/mm] = [mm] inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\} [/mm]

Wegen f [mm] \le [/mm] g ist [mm] sup\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx: \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\} \le inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\} [/mm]

und somit insgesamt [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm]


Wäre das so in Ordnung?

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Linearität u. Monotonie Integr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Do 06.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

naja… den wichtigsten Schritt hast du nun dezent übersprungen, nämlich:

> Wegen f [mm]\le[/mm] g ist [mm]sup\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx: \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\} \le inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\}[/mm]

das stimmt schon, aber die Frage ist eben: Warum?
Letztendlich ist das trivial, ja. Aber darauf zielte ja gerade deine Frage ab: Begründe diesen trivialen Schritt doch mal sauber.

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Linearität u. Monotonie Integr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Do 06.04.2017
Autor: X3nion


> Hiho,
>  
> naja… den wichtigsten Schritt hast du nun dezent
> übersprungen, nämlich:
>  
> > Wegen f [mm]\le[/mm] g ist [mm]sup\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx: \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\} \le inf\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\}[/mm]
>  
> das stimmt schon, aber die Frage ist eben: Warum?
>  Letztendlich ist das trivial, ja. Aber darauf zielte ja
> gerade deine Frage ab: Begründe diesen trivialen Schritt
> doch mal sauber.
>  
> Gruß,
>  Gono
>  


Hi,

hmm dann versuche ich das nochmal [aufgemerkt]

Ist f [mm] \le [/mm] g, so ist f(x) nach oben beschränkt durch g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I.
Folglich ist auch die Menge [mm] \{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx: \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\} [/mm] nach oben beschränkt durch die Menge [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\}, [/mm] denn es gilt stets [mm] \phi \le \psi [/mm]
Insgesamt muss also für das Supremum der Menge [mm] \{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx: \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\} [/mm] gelten, dass es kleiner oder gleich dem Infimum der Menge [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\} [/mm] ist


Wäre das okay?

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
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Linearität u. Monotonie Integr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Fr 07.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ist f [mm]\le[/mm] g, so ist f(x) nach oben beschränkt durch g(x)
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I.

[ok]

>  Folglich ist auch die Menge [mm]\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx: \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\}[/mm]
> nach oben beschränkt durch die Menge
> [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


[notok]

Mach dir mal klar, dass du hier die Aussage benutzt, die du eigentlich zeigen willst.
Du jetzt hast also einzelne Treppenfunktionen $\phi$ und $\psi$ mit $\phi \le f \le g \le \psi$ und du behauptest nun, dass $\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx$

Also eigentlich benutzt du:
$\phi \le \psi \quad \Rightarrow \quad \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx$

Was aber genau das ist, was du zeigen sollst!

Was du aber tatsächlich geschafft hast mit deiner Argumentation: Du hast gezeigt, dass es reicht die Aussage für Treppenfunktionen anstatt für allgemeine Funktionen zu zeigen… denn dann kannst du deine Argumentation nutzen um die Aussage zu verallgemeinern.

Ist dir das bis hier hin klar?

Gruß,
Gono


PS: Deine anderen Fragen hab ich nicht vergessen und beantworte sie, wenn ich ein bisschen mehr Luft hab :-)

Bezug
                                                
Bezug
Linearität u. Monotonie Integr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:37 Fr 07.04.2017
Autor: X3nion



> Hiho,
>  
> > Ist f [mm]\le[/mm] g, so ist f(x) nach oben beschränkt durch g(x)
> > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I.
>  [ok]
>  
> >  Folglich ist auch die Menge [mm]\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx: \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\}[/mm]

> > nach oben beschränkt durch die Menge
> > [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\},[/mm]
> [notok]
>  
> Mach dir mal klar, dass du hier die Aussage benutzt, die du
> eigentlich zeigen willst.
>  Du jetzt hast also einzelne Treppenfunktionen [mm]\phi[/mm] und
> [mm]\psi[/mm] mit [mm]\phi \le f \le g \le \psi[/mm] und du behauptest nun,
> dass [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx[/mm]
>  
> Also eigentlich benutzt du:
>  [mm]\phi \le \psi \quad \Rightarrow \quad \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx[/mm]
>  
> Was aber genau das ist, was du zeigen sollst!
>  
> Was du aber tatsächlich geschafft hast mit deiner
> Argumentation: Du hast gezeigt, dass es reicht die Aussage
> für Treppenfunktionen anstatt für allgemeine Funktionen
> zu zeigen… denn dann kannst du deine Argumentation nutzen
> um die Aussage zu verallgemeinern.
>  
> Ist dir das bis hier hin klar?
>  
> Gruß,
>  Gono
>  
>
> PS: Deine anderen Fragen hab ich nicht vergessen und
> beantworte sie, wenn ich ein bisschen mehr Luft hab :-)


Hallo Gono und lieben Dank für deine Erklärungen!

Ich mach mich später mal nochmal ran an den Beweis :-)

Und dann weiß ich Bescheid wegen den anderen Beiträgen, super Danke :-)

VG X3nion

Bezug
                                                
Bezug
Linearität u. Monotonie Integr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Sa 08.04.2017
Autor: X3nion


> Hiho,
>  
> > Ist f [mm]\le[/mm] g, so ist f(x) nach oben beschränkt durch g(x)
> > [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I.
>  [ok]
>  
> >  Folglich ist auch die Menge [mm]\{\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx: \phi \in \tau[a,b], \phi \le f}\}[/mm]

> > nach oben beschränkt durch die Menge
> > [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\},[/mm]
> [notok]
>  
> Mach dir mal klar, dass du hier die Aussage benutzt, die du
> eigentlich zeigen willst.
>  Du jetzt hast also einzelne Treppenfunktionen [mm]\phi[/mm] und
> [mm]\psi[/mm] mit [mm]\phi \le f \le g \le \psi[/mm] und du behauptest nun,
> dass [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx[/mm]
>  
> Also eigentlich benutzt du:
>  [mm]\phi \le \psi \quad \Rightarrow \quad \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx[/mm]
>  
> Was aber genau das ist, was du zeigen sollst!
>  
> Was du aber tatsächlich geschafft hast mit deiner
> Argumentation: Du hast gezeigt, dass es reicht die Aussage
> für Treppenfunktionen anstatt für allgemeine Funktionen
> zu zeigen… denn dann kannst du deine Argumentation nutzen
> um die Aussage zu verallgemeinern.
>  
> Ist dir das bis hier hin klar?
>  
> Gruß,
>  Gono
>  
>
> PS: Deine anderen Fragen hab ich nicht vergessen und
> beantworte sie, wenn ich ein bisschen mehr Luft hab :-)

Soo nun versuche ich mich nochmals, an den Beweis und zeige zunächst, dass

[mm] \phi \le \psi [/mm] impliziert [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm]

Es ist laut Definition [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm]
wobei [mm] \phi [/mm] | [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] = [mm] c_{k} [/mm] für k = 1, ..., n


Sei nun [mm] \phi, \psi \in \tau[a,b] [/mm] und gelte [mm] \phi(x) \le \psi(x) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Wähle nun [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] bezüglich derselben Unterteilung des Intervalls [a,b],
also a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b.
Es sei [mm] \phi [/mm] | [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] = [mm] c_{k} [/mm] und [mm] \psi [/mm] | [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] = [mm] c_{k}'. [/mm]

Dann gilt wie gewünscht:
[mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] = [mm] \le \summe_{k=1}^{n} c_{k}'(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm]


Seien nun [mm] \psi_{1}, \psi_{2} \in \tau[a,b] [/mm] und f,g: [a,b] [mm] \rightarrow \IR [/mm] integrierbare Funktionen.

Folglich ist [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx} [/mm] und

[mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}_{\*}{g(x) dx} [/mm]


Ich weiß zwar nicht, wie ich obige Aussage [mm] \phi \le \psi [/mm] impliziert [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx} [/mm]
nun zur Verallgemeinerung auf den Fall f [mm] \le [/mm] g => [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm] nutzen soll, aber mir ist eine andere Idee aufgekommen:

Es gilt [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\} [/mm]

Denn für f < g erweitert sich die Menge immer mehr durch Summation der Treppenfunktionen [mm] \psi_{2}(x) [/mm] mit f [mm] \le \psi_{2}(x) [/mm] < g.

Für f = g gilt ohnehin [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\} [/mm]

und somit folgt: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx} [/mm] =  inf [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\} \le [/mm] inf [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge g}\} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}^{\*}{g(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{g(x) dx} [/mm]


Wäre das soweit korrekt?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                        
Bezug
Linearität u. Monotonie Integr: 1. Teil
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Sa 08.04.2017
Autor: tobit09

Hallo X3nion!


> Soo nun versuche ich mich nochmals, an den Beweis und zeige
> zunächst, dass
>  
> [mm]\phi \le \psi[/mm] impliziert [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm]
>  
> Es ist laut Definition [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx}[/mm] :=
> [mm]\summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm]
>  wobei [mm]\phi[/mm] | [mm]]x_{k-1}, x_{k}[[/mm] = [mm]c_{k}[/mm] für k = 1, ..., n
>  
>
> Sei nun [mm]\phi, \psi \in \tau[a,b][/mm] und gelte [mm]\phi(x) \le \psi(x)[/mm]
> für alle x [mm]\in[/mm] [a,b].

Ja. Zu zeigen ist nun, dass DIESE beliebig vorgegebenen [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] die Ungleichung [mm] $\int_a^b\phi\le\int_a^b\psi$ [/mm] erfüllen.


>  Wähle nun [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] bezüglich derselben Unterteilung
> des Intervalls [a,b],
>  also a = [mm]x_{0}[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] < ... < [mm]x_{n}[/mm] = b.

Nicht [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] sollten hier neu gewählt werden (schließlich sollen ja etwas über die zuvor beliebig vorgegebenen Treppenfunktionen [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] gezeigt werden), sondern es sollte eine Unterteilung

      a = [mm]x_{0}[/mm] < [mm]x_{1}[/mm] < ... < [mm]x_{n}[/mm] = b

des Intervalls [a,b] so gewählt werden, dass sowohl [mm] $\phi|_{]x_{k-1},x_k[}$ [/mm] als auch [mm] $\psi|_{]x_{k-1},x_k[}$ [/mm] konstant sind für alle [mm] $k=1,\ldots,n$. [/mm]
(Ist dir klar, dass es eine solche "gemeinsame" Unterteilung gibt?)


>  Es sei [mm]\phi[/mm] | [mm]]x_{k-1}, x_{k}[[/mm] = [mm]c_{k}[/mm] und [mm]\psi[/mm] |
> [mm]]x_{k-1}, x_{k}[[/mm] = [mm]c_{k}'.[/mm]

Aus [mm] $\psi\le\phi$ [/mm] folgt [mm] $c_k\le c_k'$ [/mm] für alle [mm] $k=1,\ldots,n$. [/mm]

> Dann gilt wie gewünscht:
>   [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k}[/mm]
> - [mm]x_{k-1})[/mm] = [mm]\le \summe_{k=1}^{n} c_{k}'(x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm]

Ja.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                                        
Bezug
Linearität u. Monotonie Integr: 2. Teil
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Sa 08.04.2017
Autor: tobit09


> Seien nun [mm]\psi_{1}, \psi_{2} \in \tau[a,b][/mm] und f,g: [a,b]
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] integrierbare Funktionen.

Die hier angeführten Treppenfunktionen [mm] $\psi_1,\psi_2$ [/mm] spielen im Folgenden gar keine Rolle; es genügt daher, integrierbare Funktionen [mm] $f,g\colon[a,b]\to\IR$ [/mm] zu betrachten.


> Folglich ist [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}_{\*}{f(x) dx}[/mm] und
>  
> [mm]\integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}^{\*}{g(x) dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{b}_{\*}{g(x) dx}[/mm]
>  
>
> Ich weiß zwar nicht, wie ich obige Aussage [mm]\phi \le \psi[/mm]
> impliziert [mm]\integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{\psi(x) dx}[/mm]
> nun zur Verallgemeinerung auf den Fall f [mm]\le[/mm] g =>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm]
> nutzen soll, aber mir ist eine andere Idee aufgekommen:

Diese neue Idee ist auch einfacher... ;-)


> Es gilt [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\}[/mm]

Genau. [ok]

Denn für jedes [mm] $\psi\in\tau[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\psi\ge [/mm] g$ gilt wegen [mm] $g\ge [/mm] f$ auch [mm] $\psi\ge [/mm] f$.


> Denn für f < g erweitert sich die Menge immer mehr durch
> Summation der Treppenfunktionen [mm]\psi_{2}(x)[/mm] mit f [mm]\le \psi_{2}(x)[/mm]
> < g.
>  
> Für f = g gilt ohnehin [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\}[/mm]

(Letzteres stimmt natürlich.)

Hier wird ein Missverständnis im Zusammenhang mit (punktweisen) Ungleichungen zwischen Funktionen deutlich:

Aus [mm] $f\le [/mm] g$ folgt nicht notwendig, dass $f<g$ oder $f=g$ gilt.
Es kann durchaus für manche [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] die Ungleichung $f(x)<g(x)$ gelten, während für andere [mm] $x\in[a,b]$ [/mm] die Gleichheit $f(x)=g(x)$ gilt.

Entsprechend folgt aus [mm] $\psi_2\ge [/mm] f$ nicht notwendig, dass [mm] $\psi_2

> und somit folgt: [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}^{\*}{f(x) dx}[/mm] =  inf
> [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\} \le[/mm]
> inf [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge g}\}[/mm]
> = [mm]\integral_{a}^{b}^{\*}{g(x) dx}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{g(x) dx}[/mm]

Ja.

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Linearität u. Monotonie Integr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Sa 08.04.2017
Autor: X3nion

Hallo Tobias und Danke für deine Antwort! :-)

Zu 1)

> Nicht $ [mm] \phi [/mm] $ und $ [mm] \psi [/mm] $ sollten hier neu gewählt werden (schließlich sollen > ja etwas über die zuvor beliebig vorgegebenen Treppenfunktionen $ [mm] \phi [/mm] $
> und $ [mm] \psi [/mm] $ gezeigt werden), sondern es sollte eine Unterteilung

      a = $ [mm] x_{0} [/mm] $ < $ [mm] x_{1} [/mm] $ < ... < $ [mm] x_{n} [/mm] $ = b

> des Intervalls [a,b] so gewählt werden, dass sowohl
> $ [mm] \phi|_{]x_{k-1},x_k[} [/mm] $ als auch $ [mm] \psi|_{]x_{k-1},x_k[} [/mm] $ konstant
> sind für alle $ [mm] k=1,\ldots,n [/mm] $.
> (Ist dir klar, dass es eine solche "gemeinsame" Unterteilung gibt?)


Sei [mm] \phi [/mm] konstant bezüglich der Unterteilung Z: a = [mm] x_{0} [/mm] < [mm] x_{1} [/mm] < ... < [mm] x_{n} [/mm] = b
und [mm] \psi [/mm] konstant bezüglich der Unterteilung Z: a = [mm] x_{0}', x_{1}', [/mm] ..., [mm] x_{m}' [/mm] = b.

Wählt man nun [mm] Z^{\*} [/mm] als die Unterteilung a = [mm] t_{0} [/mm] < [mm] t_{1} [/mm] < ... < [mm] t_{k} [/mm] = b, welche alle Teilpunkte von Z und Z' enthält, so sind [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] auf jedem Teilintervall [mm] ]t_{j-1}, t_{j}[ [/mm] konstant.

Somit gibt es ja auf jeden Fall eine Unterteilung, sodass eben [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] beide auf jedem Teilintervall konstant sind.


Zu 2)

> Es gilt $ [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], > \psi_{1} \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: > \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\} [/mm] $

> Genau. [ok]

> Denn für jedes $ [mm] \psi\in\tau[a,b] [/mm] $ mit $ [mm] \psi\ge [/mm] g $ gilt wegen $ [mm] g\ge [/mm] f $
> auch $ [mm] \psi\ge [/mm] f $.


> Denn für f < g erweitert sich die Menge immer mehr durch
> Summation der Treppenfunktionen $ [mm] \psi_{2}(x) [/mm] $ mit f $ [mm] \le \psi_{2}(x) [/mm] $
> < g.
>  
> Für f = g gilt ohnehin $ [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\} [/mm] $

> (Letzteres stimmt natürlich.)

> Hier wird ein Missverständnis im Zusammenhang mit (punktweisen)
> Ungleichungen zwischen Funktionen deutlich:

> Aus $ [mm] f\le [/mm] g $ folgt nicht notwendig, dass f<g oder f=g gilt.
> Es kann durchaus für manche $ [mm] x\in[a,b] [/mm] $ die Ungleichung f(x)<g(x) gelten, > während für andere $ [mm] x\in[a,b] [/mm] $ die Gleichheit f(x)=g(x) gilt.

> Entsprechend folgt aus $ [mm] \psi_2\ge [/mm] f $ nicht notwendig, dass $ [mm] \psi_2
> oder $ [mm] \psi_2\ge [/mm] g $.


Hm da muss ich nochmal kurz nachhaken, weil ich es eben so gedacht habe, dass für alle $ [mm] \psi_{2}(x) [/mm] $ mit f $ [mm] \le \psi_{2}(x) [/mm] < g $ eben die Menge

$ [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge g} \} [/mm]
erweitert wird zu
[mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\} [/mm] $, im Falle, dass f < g.

Du hast geschrieben, dass

$ [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi \ge f}\} [/mm] $


"Denn für jedes $ [mm] \psi\in\tau[a,b] [/mm] $ mit $ [mm] \psi\ge [/mm] g $ gilt wegen $ [mm] g\ge [/mm] f $ auch $ [mm] \psi\ge [/mm] f $. "

Vergleicht man dann in beiden Mengen immer das gleiche [mm] \psi? [/mm]
Und wieso gilt dann [mm] \{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi \ge f}\} [/mm] ?


Viele Grüße,
X3nion

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Linearität u. Monotonie Integr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Sa 08.04.2017
Autor: tobit09


>  > (Ist dir klar, dass es

> eine solche "gemeinsame" Unterteilung gibt?)
>  
>
> Sei [mm]\phi[/mm] konstant bezüglich der Unterteilung Z: a = [mm]x_{0}[/mm]
> < [mm]x_{1}[/mm] < ... < [mm]x_{n}[/mm] = b
>  und [mm]\psi[/mm] konstant bezüglich der Unterteilung Z: a =
> [mm]x_{0}', x_{1}',[/mm] ..., [mm]x_{m}'[/mm] = b.
>  
> Wählt man nun [mm]Z^{\*}[/mm] als die Unterteilung a = [mm]t_{0}[/mm] <
> [mm]t_{1}[/mm] < ... < [mm]t_{k}[/mm] = b, welche alle Teilpunkte von Z und
> Z' enthält, so sind [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] auf jedem Teilintervall
> [mm]]t_{j-1}, t_{j}[[/mm] konstant.
>  
> Somit gibt es ja auf jeden Fall eine Unterteilung, sodass
> eben [mm]\phi[/mm] und [mm]\psi[/mm] beide auf jedem Teilintervall konstant
> sind.

Alles klar, die Argumentation ist dir klar! [ok]


> Zu 2)

> Hm da muss ich nochmal kurz nachhaken, weil ich es eben so
> gedacht habe, dass für alle [mm]\psi_{2}(x)[/mm] mit f [mm]\le \psi_{2}(x) < g[/mm]

(Du meinst sicherlich [mm] $f\le\psi_2

> eben die Menge
>  
> $ [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi_{1}(x) dx: \psi_{1} \in \tau[a,b], \psi_{1} \ge g} \}[/mm]
>  
>  erweitert wird zu
> [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi_{2}(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi_{2} \ge f}\}[/mm]
> $, im Falle, dass f < g.

Mir ist unklar, was die Formulierung "für alle [mm] $\psi_2$ [/mm] ... wird die Menge ... erweitert zu ..." genau bedeuten soll.

Ich ahne aber, welche Vorstellung du zu haben scheinst.

Ich formuliere meine beiden Einwände gegen diese Argumentation/Vorstellung nochmal anders:

a) Es genügt nicht, nur die Fälle $f<g$ und $f=g$ zu betrachten, sondern es ist (wenn du denn eine Fallunterscheidung vornehmen möchtest) auch der Fall zu betrachten, dass (zwar [mm] $f\le [/mm] g$, aber) weder $f<g$ noch $f=g$ gilt.

b) Es gibt im Allgemeinen mehr Treppenfunktionen [mm] $\psi_2\colon[a,b]\to\IR$ [/mm] mit [mm] $\psi_2\ge [/mm] f$ als nur die Treppenfunktionen [mm] $\psi_2\colon[a,b]\to\IR$ [/mm] mit [mm] $f\le \psi_2

In der Tat ist die Argumentation einfacher:

> Du hast geschrieben, dass
>  
> [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi \ge f}\}[/mm]

(Tippfehler: Da ist eine fehlerhafte 2 in die rechte Menge gerutscht.)


> "Denn für jedes [mm]\psi\in\tau[a,b][/mm] mit [mm]\psi\ge g[/mm] gilt wegen
> [mm]g\ge f[/mm] auch [mm]\psi\ge f [/mm]. "
>  
> Vergleicht man dann in beiden Mengen immer das gleiche
> [mm]\psi?[/mm]

Wir betrachten bisher kein festes [mm] $\psi$, [/mm] sondern die Mengen der Integralwerte gewisser Mengen von Treppenfunktionen [mm] $\psi$. [/mm]


>  Und wieso gilt dann [mm]\{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi \in \tau[a,b], \psi \ge g}\} \subseteq \{\integral_{a}^{b}{\psi(x) dx: \psi_{2} \in \tau[a,b], \psi \ge f}\}[/mm]
> ?

Ich formuliere die Argumentation ausführlicher:

Sei [mm] $N_g:=\{\integral_a^b\psi(x)dx\;|\;\psi\in\tau[a,b],\psi\ge g\}$ [/mm] und [mm] $N_f:=\{\integral_a^b\psi(x)dx\;|\;\psi\in\tau[a,b],\psi\ge f\}$. [/mm]

Zeigen wollen wir [mm] $N_g\subseteq N_f$ [/mm] (d.h. für alle [mm] $n\in N_g$ [/mm] gilt [mm] $n\in N_f$). [/mm]

Sei also [mm] $n\in N_g$. [/mm]
Zu zeigen ist [mm] $n\in N_f$, [/mm] d.h. die Existenz eines [mm] $\tilde{\psi}\in\tau[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\tilde{\psi}\ge [/mm] f$ und [mm] $\integral_a^b\tilde{\psi}(x)dx=n$. [/mm]

Wegen [mm] $n\in N_g$ [/mm] existiert ein [mm] $\psi\in\tau[a,b]$ [/mm] mit [mm] $\psi\ge [/mm] g$ und [mm] $\integral_a^b\psi(x)dx=n$. [/mm]
Aus [mm] $\psi\ge [/mm] g$ und [mm] $g\ge [/mm] f$ folgt [mm] $\psi\ge [/mm] f$.
Also leistet [mm] $\tilde{\psi}:=\psi$ [/mm] bereits das Gewünschte.

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Linearität u. Monotonie Integr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Mo 10.04.2017
Autor: X3nion

Guten Abend Tobias und erneut vielen Dank für deinen ausführlichen Beitrag! :-)

Mensch bin ich mal wieder blöd, ich sollte mal die Definitionen nachschauen.. ;-)
[mm] N_g\subseteq N_f [/mm] <=>  für alle [mm] n\in N_g [/mm] gilt [mm] n\in N_f). [/mm]


Ein kurzes Ré­su­mé:

Sei also [mm] n\in N_g. [/mm]
Man will zeigen, dass [mm] n\in N_f, [/mm] also dass ein [mm] \tilde{\psi}\in\tau[a,b] [/mm] existiert mit [mm] \tilde{\psi}\ge [/mm] f und [mm] \integral_a^b\tilde{\psi}(x)dx=n. [/mm]

Wegen [mm] n\in N_g [/mm] existiert gemäß Voraussetzung ein [mm] \psi\in\tau[a,b] [/mm] mit [mm] \psi\ge [/mm] g und [mm] \integral_a^b\psi(x)dx=n. [/mm]
Wegen [mm] \psi\ge [/mm] g und [mm] g\ge [/mm] f gilt zudem [mm] \psi\ge [/mm] f.

Setze nun [mm] \tilde{\psi}:=\psi. [/mm]
Dann gilt [mm] \tilde{\psi} \in \tau[a,b] [/mm] mit [mm] \integral_a^b\tilde{\psi}(x)dx [/mm] = [mm] \integral_a^b\psi(x)dx [/mm] = n und [mm] \tilde{\psi} \ge [/mm] f. Folglich ist n [mm] \in N_{f} [/mm]

Wäre das soweit korrekt rekapituliert?


Und noch kurz zu deinen Einwänden:

> Mir ist unklar, was die Formulierung "für alle $ [mm] \psi_2 [/mm] $ ... wird die Menge ...
> erweitert zu ..." genau bedeuten soll.

> Ich ahne aber, welche Vorstellung du zu haben scheinst.

> Ich formuliere meine beiden Einwände gegen diese Argumentation/Vorstellung > nochmal anders:

> a) Es genügt nicht, nur die Fälle f<g und f=g zu betrachten, sondern es ist
> (wenn du denn eine Fallunterscheidung vornehmen möchtest) auch der Fall zu > betrachten, dass (zwar $ [mm] f\le [/mm] g $, aber) weder f<g noch f=g gilt.

Wie meinst du das genau, dass f [mm] \le [/mm] g, aber weder f<g noch f=g gilt?

> b) Es gibt im Allgemeinen mehr Treppenfunktionen [mm] \psi_2\colon[a,b]\to\IR [/mm]  
> mit  [mm] \psi_2\ge [/mm] f als nur die Treppenfunktionen [mm] \psi_2\colon[a,b]\to\IR [/mm] mit  
> [mm] f\le \psi_2

Dies macht intuitiv durchaus Sinn für mich. Aber inwiefern wäre dies ein Einwand gegen meine Argumentation?



Viele Grüße,
X3nion

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Linearität u. Monotonie Integr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Mi 12.04.2017
Autor: tobit09

So, jetzt endlich hier meine Antwort:


> Ein kurzes Ré­su­mé:
>  
> Sei also [mm]n\in N_g.[/mm]
>  Man will zeigen, dass [mm]n\in N_f,[/mm] also
> dass ein [mm]\tilde{\psi}\in\tau[a,b][/mm] existiert mit
> [mm]\tilde{\psi}\ge[/mm] f und [mm]\integral_a^b\tilde{\psi}(x)dx=n.[/mm]
>  
> Wegen [mm]n\in N_g[/mm] existiert gemäß Voraussetzung ein
> [mm]\psi\in\tau[a,b][/mm] mit [mm]\psi\ge[/mm] g und
> [mm]\integral_a^b\psi(x)dx=n.[/mm]
>  Wegen [mm]\psi\ge[/mm] g und [mm]g\ge[/mm] f gilt zudem [mm]\psi\ge[/mm] f.
>  
> Setze nun [mm]\tilde{\psi}:=\psi.[/mm]
>  Dann gilt [mm]\tilde{\psi} \in \tau[a,b][/mm] mit
> [mm]\integral_a^b\tilde{\psi}(x)dx[/mm] = [mm]\integral_a^b\psi(x)dx[/mm] = n
> und [mm]\tilde{\psi} \ge[/mm] f. Folglich ist n [mm]\in N_{f}[/mm]
>  
> Wäre das soweit korrekt rekapituliert?

Ja. [ok]


> > a) Es genügt nicht, nur die Fälle f<g und f=g zu
> betrachten, sondern es ist
> > (wenn du denn eine Fallunterscheidung vornehmen möchtest)
> auch der Fall zu > betrachten, dass (zwar [mm]f\le g [/mm], aber)
> weder f<g noch f=g gilt.
>  
> Wie meinst du das genau, dass f [mm]\le[/mm] g, aber weder f<g noch
> f=g gilt?

Betrachte z.B. [mm] $f,g\colon [0,2]\to\IR$ [/mm] mit

      $f(x)=5$ für alle [mm] $x\in[0,2]$ [/mm]     und      [mm] $g(x)=\begin{cases}5 &\text{für } x\in[0,1]\\6&\text{für }x\in]1,2]\end{cases}$. [/mm]

Dann gilt [mm] $f\le [/mm] g$, aber weder $f<g$ noch $f=g$.

Ist dir klar, wie Ungleichungen der Art [mm] $f\le [/mm] g$ oder $f<g$ zwischen Funktionen f und g, die nach [mm] $\IR$ [/mm] abbilden, definiert sind?

  

> > b) Es gibt im Allgemeinen mehr Treppenfunktionen
> [mm]\psi_2\colon[a,b]\to\IR[/mm]  
> > mit  [mm]\psi_2\ge[/mm] f als nur die Treppenfunktionen
> [mm]\psi_2\colon[a,b]\to\IR[/mm] mit  
> > [mm]f\le \psi_2
>
> Dies macht intuitiv durchaus Sinn für mich. Aber inwiefern
> wäre dies ein Einwand gegen meine Argumentation?

Ich hatte deine Vorstellung folgendermaßen verstanden:

(Achtung, im Allgemeinen falsch -->)      [mm] $\{\psi\in\tau[a,b]\;|\;\psi\ge f\}=\{\psi\in\tau[a,b]\;|\;\psi\ge g\}\cup\{\psi\in\tau[a,b]\;|\;f\le \psi
Falls ich mit meiner Interpretation daneben liege und du das gar nicht gedacht hattest, ignoriere bitte meinen entsprechenden Einwand.

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Linearität u. Monotonie Integr: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:17 Mi 12.04.2017
Autor: X3nion

Hallo Tobias,

Danke für deinen Beitrag :-)

> Betrachte z.B. $ [mm] f,g\colon [0,2]\to\IR [/mm] $ mit

>       $ f(x)=5 $ für alle $ [mm] x\in[0,2] [/mm] $     und      
> $ [mm] g(x)=\begin{cases}5 &\text{für } x\in[0,1]\\6&\text{für }x\in]1,2]\end{cases} [/mm] $.

> Dann gilt $ [mm] f\le [/mm] g $, aber weder $ f<g $ noch $ f=g $.

Okay klar, das macht Sinn!

> Ist dir klar, wie Ungleichungen der Art $ [mm] f\le [/mm] g $ oder $ f<g $ zwischen
> Funktionen f und g, die nach $ [mm] \IR [/mm] $ abbilden, definiert sind?

Hm es muss [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I gelten f [mm] \le [/mm] g, bei einem gegebenen Definitionsbereich I ?


> Ich hatte deine Vorstellung folgendermaßen verstanden:

> (Achtung, im Allgemeinen falsch -->)      $ [mm] \{\psi\in\tau[a,b]\;|\;\psi\ge f\}=\{\psi\in\tau[a,b]\;|\;\psi\ge g\}\cup\{\psi\in\tau[a,b]\;|\;f\le \psi

> Falls ich mit meiner Interpretation daneben liege und du das gar nicht gedacht > hattest, ignoriere bitte meinen entsprechenden Einwand.

Doch genau das war meine Vorstellung!
Hmm aber wieso ist es im Allgemeinen falsch?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                                                                        
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Linearität u. Monotonie Integr: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:08 Do 13.04.2017
Autor: tobit09


> > Ist dir klar, wie Ungleichungen der Art [mm]f\le g[/mm] oder [mm]f
> zwischen
> > Funktionen f und g, die nach [mm]\IR[/mm] abbilden, definiert sind?
>
> Hm es muss [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I gelten f [mm]\le[/mm] g, bei einem
> gegebenen Definitionsbereich I ?

Ich glaube, du meinst es korrekt: Für Funktionen [mm] $f,g\colon I\to\IR$ [/mm] bedeutet die Schreibweise [mm] $f\le [/mm] g$, dass für alle [mm] $x\in [/mm] I$ gilt: [mm] $f\red{(x)}\le g\red{(x)}$. [/mm]


> > Ich hatte deine Vorstellung folgendermaßen verstanden:
>  
> > (Achtung, im Allgemeinen falsch -->)      
> [mm]\{\psi\in\tau[a,b]\;|\;\psi\ge f\}=\{\psi\in\tau[a,b]\;|\;\psi\ge g\}\cup\{\psi\in\tau[a,b]\;|\;f\le \psi
>  
> > Falls ich mit meiner Interpretation daneben liege und du
> das gar nicht gedacht > hattest, ignoriere bitte meinen
> entsprechenden Einwand.
>
> Doch genau das war meine Vorstellung!
>  Hmm aber wieso ist es im Allgemeinen falsch?

Betrachte etwa [mm] $f,g,\psi\colon[0,2]\to\IR$ [/mm] mit

       $f(x)=0$   und   $g(x)=6$    für alle [mm] $x\in[0,2]$ [/mm]

sowie

     [mm] $\psi(x)=\begin{cases} 5, & \mbox{für } x\in[0,1] \\ 6, & \mbox{für } x\in]1,2]\end{cases}$. [/mm]

Dann gilt [mm] $\psi\ge [/mm] f$, aber weder [mm] $\psi\ge [/mm] g$ noch [mm] $\psi

Also im Prinzip das gleiche Phänomen wie bei meinem anderen Einwand: Nicht alles, was für Ungleichungen reeller Zahlen gilt, gilt auch für Ungleichungen von Funktionen. Häufig gilt für Funktionen [mm] $h_1,h_2\colon X\to\IR$ [/mm] weder [mm] $h_1h_1$ [/mm] noch [mm] $h_1=h_2$. [/mm]

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Linearität u. Monotonie Integr: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:42 Do 13.04.2017
Autor: X3nion

Hi Tobias,

okay Danke für die Aufklärung, dann muss man da also aufpassen :-)


Viele Grüße,
X3nion

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