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Forum "Continous Functions" - Lipschitz-Stetigkeit zeigen
Lipschitz-Stetigkeit zeigen < Continous Functions < Functions < Real Analysis (Single Variable) < Real Analysis < Uni-Calculus < University < Maths <
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Lipschitz-Stetigkeit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:59 Fr 14/07/2017
Author: Die_Suedkurve

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit dem folgenden Problem:

Seien [mm] $f_1: (-\infty, [/mm] 0] [mm] \to \IR$, $f_2: [/mm] [0, [mm] \infty) \to \IR$ [/mm] Funktionen mit den folgenden Eigenschaften:

1.) [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] sind Lipschitz-stetig mit Konstanten [mm] $C_1$ [/mm] bzw. [mm] $C_2$. [/mm]
2.) [mm] $f_1(0) [/mm] = [mm] f_2(0)$ [/mm]
3.) [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $f_2$ [/mm] sind stetig differenzierbar auf [mm] $(-\infty, [/mm] 0)$ bzw. auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] und [mm] $(f_1)'$ [/mm] und [mm] $(f_2)'$ [/mm] sind auf [mm] $(-\infty, [/mm] 0)$ bzw. auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] beschränkt.

Definiere die Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] durch
[mm] $f(x):=\begin{cases} f_1(x), & x \le 0 \\ f_2(x), & x \ge 0. \end{cases}$ [/mm]

Behauptung: $f$ ist Lipschitz-stetig mit Konstante [mm] $max(C_1, C_2)$. [/mm]

Das Problem, aus meiner Sicht, ist, dass man nicht weiß, ob die Funktion f in 0 differenzierbar ist. Wenn dies so wäre, dann könnte man den Mittelwertsatz anwenden und die Beschränktheit der Ableitungen ausnutzen.
Aber was ist, wenn f nicht in 0 differenzierbar ist?
Weiß jemand Rat und könnte mir behilflich sein?

Grüße
Die_Suedkurve

        
Bezug
Lipschitz-Stetigkeit zeigen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 06:16 Sa 15/07/2017
Author: fred97




> Hallo,
>  
> ich beschäftige mich gerade mit dem folgenden Problem:
>  
> Seien [mm]f_1: (-\infty, 0] \to \IR[/mm], [mm]f_2: [0, \infty) \to \IR[/mm]
> Funktionen mit den folgenden Eigenschaften:
>  
> 1.) [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] sind Lipschitz-stetig mit Konstanten [mm]C_1[/mm]
> bzw. [mm]C_2[/mm].
>  2.) [mm]f_1(0) = f_2(0)[/mm]
>  3.) [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] sind stetig
> differenzierbar auf [mm](-\infty, 0)[/mm] bzw. auf [mm](0, \infty)[/mm] und
> [mm](f_1)'[/mm] und [mm](f_2)'[/mm] sind auf [mm](-\infty, 0)[/mm] bzw. auf [mm](0, \infty)[/mm]
> beschränkt.
>  
> Definiere die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] durch
>  [mm]f(x):=\begin{cases} f_1(x), & x \le 0 \\ f_2(x), & x \ge 0. \end{cases}[/mm]
>  
> Behauptung: [mm]f[/mm] ist Lipschitz-stetig mit Konstante [mm]max(C_1, C_2)[/mm].
>  
> Das Problem, aus meiner Sicht, ist, dass man nicht weiß,
> ob die Funktion f in 0 differenzierbar ist. Wenn dies so
> wäre, dann könnte man den Mittelwertsatz anwenden und die
> Beschränktheit der Ableitungen ausnutzen.
>  Aber was ist, wenn f nicht in 0 differenzierbar ist?
>  Weiß jemand Rat und könnte mir behilflich sein?
>  

Die Eigenschaften 1. und  2. reichen aus, um zu  zeigen, dass f Lip. - stetig ist

> Grüße
>  Die_Suedkurve


Bezug
                
Bezug
Lipschitz-Stetigkeit zeigen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 10:30 Sa 15/07/2017
Author: Die_Suedkurve

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Die Eigenschaften 1. und  2. reichen aus, um zu  zeigen,
> dass f Lip. - stetig ist

Und hast du einen Tipp für mich, dies zu zeigen?
Wenn $x \in (-\infty, 0]$ und $y \in [0, \infty)$ sind, wie kann ich dann schließen, dass
$|f(x) - f(y)}| \le max(C_1, C_2) |x - y|$
gilt?

Bezug
                        
Bezug
Lipschitz-Stetigkeit zeigen: Idee, Bitte um Korrekturlesung
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:30 Sa 15/07/2017
Author: X3nion


> > Die Eigenschaften 1. und  2. reichen aus, um zu  zeigen,
> > dass f Lip. - stetig ist
>  
> Und hast du einen Tipp für mich, dies zu zeigen?
>  Wenn [mm]x \in (-\infty, 0][/mm] und [mm]y \in [0, \infty)[/mm] sind, wie
> kann ich dann schließen, dass
>  [mm]|f(x) - f(y)}| \le max(C_1, C_2) |x - y|[/mm]
>  gilt?

Hallo Die_Suedkurve,

Nun ein Versuch von mir, wobei ich die Information aus Fred's Beitrag entnehme, dass

1.) [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] sind Lipschitz-stetig mit Konstanten [mm] C_1 [/mm] bzw. [mm] C_2. [/mm]
2.) [mm] f_1(0) [/mm] = [mm] f_2(0) [/mm]

für den Beweis der Lipschitz-Stetigkeit genügen.
Ich bitte die Mitleserschaft jedoch um Korrektur meines Beitrages, sollte ich fehl liegen ;-) Denn ich bin mir nicht ganz sicher.

Gegeben sind also [mm] f_1: (-\infty, [/mm] 0] [mm] \to \IR, f_2: [/mm] [0, [mm] \infty) \to \IR [/mm]

und sei
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x):=\begin{cases} f_1(x), & x \le 0 \\ f_2(x), & x \ge 0. \end{cases} [/mm]

Da [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] Lipschitz-stetig sind, existieren Konstanten [mm] C_{1}, C_{2} \ge [/mm] 0, [mm] C_{1}, C_{2} \in \IR [/mm] derart, dass

[mm] |f_{1}(x) [/mm] - [mm] f_{1}(y)| \le C_{1} [/mm] |x-y| für x,y [mm] \in (-\infty, [/mm] 0] und

[mm] |f_{2}(x) [/mm] - [mm] f_{2}(y)| \le C_{2} [/mm] |x-y| für x,y [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty). [/mm]


Ich würde eine Fallunterscheidung machen:

a) Es seien x,y [mm] \in (-\infty, [/mm] 0].

Da f = [mm] f_{1} [/mm] für x,y [mm] \in (-\infty, [/mm] 0], folgt die Lipschitz-Stetigkeit von f direkt aus der Voraussetzung, denn:

|f(x) - f(y)| = [mm] |f_{1}(x) [/mm] - [mm] f_{1}(y)| \le C_{1}|x-y| [/mm]

Setze nun [mm] C_{2} [/mm] := 0. Dann ist [mm] C_{1} [/mm] = max [mm] (C_{1}, C_{2}) [/mm] und somit

|f(x) - f(y)| [mm] \le max(C_{1}, C_{2}) [/mm] |x-y|


b) Es seien x,y [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty). [/mm]

Es ergibt sich analog zu a) |f(x) - f(y)| [mm] \le max(C_{1}, C_{2}) [/mm] |x-y|


c) Sei nun x [mm] \in (-\infty, [/mm] 0] und y [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty). [/mm] Dann gilt y [mm] \ge [/mm] x für alle x und y.

Es ist gemäß der Dreiecksungleichung und Voraussetzung
|f(x) - f(y)| = [mm] |f_{1}(x) [/mm] - [mm] f_{2}(y)| \le |f_{1}(x) [/mm] - [mm] f_{1}(0)| [/mm] + [mm] |f_{1}(0) [/mm] - [mm] f_{2}(y)| [/mm] = [mm] |f_{1}(x) [/mm] - [mm] f_{1}(0)| [/mm] + [mm] |f_{2}(0) [/mm] - [mm] f_{2}(y)| \le C_{1} [/mm] |x-0| + [mm] C_{2}|0-y| [/mm]
[mm] \le max(C_{1}, C_{2}) [/mm] |x| + [mm] max(C_{1}, C_{2}) [/mm] * |-y| = [mm] max(C_{1}, C_{2}) [/mm] |x| + [mm] max(C_{1}, C_{2}) [/mm] * |y| = [mm] max(C_{1}, C_{2}) [/mm] (|x| + |y|).

Mit x [mm] \le [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0 ergibt sich weiter:

|x| + |y| = -x + y

und wegen y [mm] \ge [/mm] x ist

-x + y = |x-y|, denn es folgt aus y [mm] \ge [/mm] x => x-y [mm] \le [/mm] 0 und somit |x-y| = -(x-y) = -x + y.

Es ergibt sich wie gewünscht: |f(x) - f(y)| [mm] \le max(C_{1}, C_{2}) [/mm] (|x| + |y|) = [mm] max(C_{1}, C_{2}) [/mm] (|x-y|).


d) Ist y [mm] \in (-\infty, [/mm] 0] und x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty), [/mm] so verfährt man analog.




Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                
Bezug
Lipschitz-Stetigkeit zeigen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:57 Sa 15/07/2017
Author: Die_Suedkurve


> Hallo Die_Suedkurve,
>  
> Nun ein Versuch von mir, wobei ich die Information aus
> Fred's Beitrag entnehme, dass
>  
> 1.) [mm]f_1[/mm] und [mm]f_2[/mm] sind Lipschitz-stetig mit Konstanten [mm]C_1[/mm]
> bzw. [mm]C_2.[/mm]
>  2.) [mm]f_1(0)[/mm] = [mm]f_2(0)[/mm]
>  
> für den Beweis der Lipschitz-Stetigkeit genügen.
>  Ich bitte die Mitleserschaft jedoch um Korrektur meines
> Beitrages, sollte ich fehl liegen ;-) Denn ich bin mir
> nicht ganz sicher.

Hallo X3nion,

danke für deine Hilfe. Ich bin deinen Beweis mal durchgegangen und er ist richtig (aus meiner Sicht).
Eine kleine Anmerkung habe ich aber unten gemacht.

>  
> Gegeben sind also [mm]f_1: (-\infty,[/mm] 0] [mm]\to \IR, f_2:[/mm] [0,
> [mm]\infty) \to \IR[/mm]
>  
> und sei
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert durch
>  [mm]f(x):=\begin{cases} f_1(x), & x \le 0 \\ f_2(x), & x \ge 0. \end{cases}[/mm]
>  
> Da [mm]f_{1}[/mm] und [mm]f_{2}[/mm] Lipschitz-stetig sind, existieren
> Konstanten [mm]C_{1}, C_{2} \ge[/mm] 0, [mm]C_{1}, C_{2} \in \IR[/mm] derart,
> dass
>  
> [mm]|f_{1}(x)[/mm] - [mm]f_{1}(y)| \le C_{1}[/mm] |x-y| für x,y [mm]\in (-\infty,[/mm]
> 0] und
>  
> [mm]|f_{2}(x)[/mm] - [mm]f_{2}(y)| \le C_{2}[/mm] |x-y| für x,y [mm]\in[/mm] [0,
> [mm]\infty).[/mm]
>  
>
> Ich würde eine Fallunterscheidung machen:
>  
> a) Es seien x,y [mm]\in (-\infty,[/mm] 0].
>  
> Da f = [mm]f_{1}[/mm] für x,y [mm]\in (-\infty,[/mm] 0], folgt die
> Lipschitz-Stetigkeit von f direkt aus der Voraussetzung,
> denn:
>  
> |f(x) - f(y)| = [mm]|f_{1}(x)[/mm] - [mm]f_{1}(y)| \le C_{1}|x-y|[/mm]
>  
> Setze nun [mm]C_{2}[/mm] := 0. Dann ist [mm]C_{1}[/mm] = max [mm](C_{1}, C_{2})[/mm]

Kleine Anmerkung: [mm] $C_2$ [/mm] so zu setzen darf man nicht, da [mm] $C_2$ [/mm] ja schon gegeben ist. Dies ist aber nicht weiter schlimm, da das Folgende direkt aus obiger Ungleichung folgt.

> und somit
>  
> |f(x) - f(y)| [mm]\le max(C_{1}, C_{2})[/mm] |x-y|

Dies kann man direkt aus |f(x) - f(y)| = [mm]|f_{1}(x)[/mm] - [mm]f_{1}(y)| \le C_{1}|x-y|[/mm] folgern, denn es gilt ja [mm] $C_1 \le max(C_1, C_2)$. [/mm]

>  
>
> b) Es seien x,y [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty).[/mm]
>  
> Es ergibt sich analog zu a) |f(x) - f(y)| [mm]\le max(C_{1}, C_{2})[/mm]
> |x-y|
>  
>
> c) Sei nun x [mm]\in (-\infty,[/mm] 0] und y [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty).[/mm] Dann
> gilt y [mm]\ge[/mm] x für alle x und y.
>  
> Es ist gemäß der Dreiecksungleichung und Voraussetzung
> |f(x) - f(y)| = [mm]|f_{1}(x)[/mm] - [mm]f_{2}(y)| \le |f_{1}(x)[/mm] -
> [mm]f_{1}(0)|[/mm] + [mm]|f_{1}(0)[/mm] - [mm]f_{2}(y)|[/mm] = [mm]|f_{1}(x)[/mm] - [mm]f_{1}(0)|[/mm] +
> [mm]|f_{2}(0)[/mm] - [mm]f_{2}(y)| \le C_{1}[/mm] |x-0| + [mm]C_{2}|0-y|[/mm]
>  [mm]\le max(C_{1}, C_{2})[/mm] |x| + [mm]max(C_{1}, C_{2})[/mm] * |-y| =
> [mm]max(C_{1}, C_{2})[/mm] |x| + [mm]max(C_{1}, C_{2})[/mm] * |y| =
> [mm]max(C_{1}, C_{2})[/mm] (|x| + |y|).

Auf den Trick mit der Nullergänzung bin ich nicht gekommen...
Zumal ich auch nicht gesehen hätte, dass |x| + |y| = |x - y| entspricht.

>  
> Mit x [mm]\le[/mm] 0 und y [mm]\ge[/mm] 0 ergibt sich weiter:
>  
> |x| + |y| = -x + y
>  
> und wegen y [mm]\ge[/mm] x ist
>  
> -x + y = |x-y|, denn es folgt aus y [mm]\ge[/mm] x => x-y [mm]\le[/mm] 0 und
> somit |x-y| = -(x-y) = -x + y.
>  
> Es ergibt sich wie gewünscht: |f(x) - f(y)| [mm]\le max(C_{1}, C_{2})[/mm]
> (|x| + |y|) = [mm]max(C_{1}, C_{2})[/mm] (|x-y|).
>  
>
> d) Ist y [mm]\in (-\infty,[/mm] 0] und x [mm]\in[/mm] [0, [mm]\infty),[/mm] so
> verfährt man analog.
>  
>
>
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                        
Bezug
Lipschitz-Stetigkeit zeigen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:21 Sa 15/07/2017
Author: X3nion


> Kleine Anmerkung: $ [mm] C_2 [/mm] $ so zu setzen darf man nicht, da $ [mm] C_2 [/mm] $ ja schon
> gegeben ist. Dies ist aber nicht weiter schlimm, da das Folgende direkt aus
> obiger Ungleichung folgt.

> und somit
>  
> |f(x) - f(y)| $ [mm] \le max(C_{1}, C_{2}) [/mm] $ |x-y|

> Dies kann man direkt aus |f(x) - f(y)| = $ [mm] |f_{1}(x) [/mm] $ - $ [mm] f_{1}(y)| \le C_{1}|x-y| [/mm] $
> folgern, denn es gilt ja $ [mm] C_1 \le max(C_1, C_2) [/mm] $.

Klar, jetzt im Nachhinein ergibt das auch Sinn. Im Teil c) hatte ich ja direkt [mm] C_{1} \le [/mm] max [mm] (C_{1}, C_{2}) [/mm] und analog [mm] C_{2} \le max(C_{1}, C_{2}) [/mm] gefolgert.


Und zu der Gleichung |x| + |y| = -x + y = |x-y|

Diese gilt eben nur wegen x [mm] \le [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] 0 und y [mm] \ge [/mm] x.

Denn gemäß Dreiecksungleichung gilt für alle x,y [mm] \in \IR: [/mm]

|x-y| [mm] \le [/mm] |x| + |y|

Und in diesem Fall hat man eben die Gleichheit.



Bezug
                        
Bezug
Lipschitz-Stetigkeit zeigen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:59 Sa 15/07/2017
Author: Die_Suedkurve

Das Problem ist gelöst.
Danke für die Hilfe. :)

Viele Grüße
Die_Suedkurve

Bezug
                        
Bezug
Lipschitz-Stetigkeit zeigen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:20 So 23/07/2017
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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