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Forum "Stetigkeit" - Lipschitz Stetigkeit
Lipschitz Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lipschitz Stetigkeit: Korrektur, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Di 16.05.2017
Autor: Austinn

Aufgabe
Überprüfe, ob [mm] f:[1,2]\to\IR, x\mapsto \bruch{x}{2}+\bruch{1}{x} [/mm] Lipschitz-stetig ist.


hallo,

[mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] L*|x-y|
[mm] |\bruch{x}{2}+\bruch{1}{x}-\bruch{y}{2}+\bruch{1}{y}|\le [/mm] L*|x-y|
[mm] \gdw |\bruch{x^{2}+2}{2x}-\bruch{y^{2}+2}{2y}|\le [/mm] L*|x-y|
[mm] \gdw |\bruch{2x(y^{2}+2)-2y(x^{2}+2)}{2x*2y}|\le [/mm] L*|x-y|
[mm] \gdw |(y^{2}+2)-(x^{2}+2)|\le [/mm] L*|x-y|
[mm] \gdw |(y-x)-(y+x)|\le [/mm] L*|x-y|
[mm] \gdw |\bruch{(y-x)-(y+x)}{|x-y|}|\le [/mm] L
[mm] \gdw |(x+y)|\le [/mm] L

Ich habe nun ein paar Fragen zur Lipschitz Stetigkeit. Meine Umformung ist wie oben aufgeführt. Wie bekomme ich nun die Lipschitzkonstante? Existiert diese in diesem Fall überhaupt? Und angenommen das Intervall würde [mm] [0,\infty) [/mm] sein. Dann würde diese Funktion nicht Lipschitz Stetigkeit sein, oder?

        
Bezug
Lipschitz Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:27 Mi 17.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  [mm]\gdw |\bruch{2x(y^{2}+2)-2y(x^{2}+2)}{2x*2y}|\le[/mm] L*|x-y|
>  [mm]\gdw |(y^{2}+2)-(x^{2}+2)|\le[/mm] L*|x-y|

wie kommst du auf diesen hanebüchenen Schritt?
Was für eine Regel willst du da angewendet haben?

>  [mm]\gdw |(y-x)-(y+x)|\le[/mm] L*|x-y|

Hier ebenso.
Der Rest ist dann Schmu…

Hattet ihr: Ist eine Funktion f differenzierbar, so ist sie Lipschitzstetig, falls $L = [mm] \sup|f'(x)| [/mm] < [mm] \infty$? [/mm]

Damit ginge es recht schnell. Falls nicht, so würde ich dir empfehlen dieses versuchte Äquivalenzumgeforme sein zu lassen, das ist nämlich in den seltensten Fällen zielführend.

Beginne mit $|f(x) - f(y)|$ und forme so lange um und schätze nach oben ab, dass du am Ende $L|x-y|$ dastehen hast.

Ich würde dabei wie folgt beginnen:
$|f(x) - f(y)| = [mm] \left|\bruch{x}{2}+\bruch{1}{x} - \bruch{y}{2} - \bruch{1}{y}\right| \le \frac{1}{2}| [/mm] x - y| + [mm] \left|\bruch{1}{x} - \bruch{1}{y}\right| \le \ldots$ [/mm]
und zwischendrin noch ausnutzen, dass $x,y [mm] \in [/mm] [1,2]$ gilt.

Gruß,
Gono

Bezug
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