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Lipschitzstetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:25 Do 21.01.2016
Autor: Reynir

Aufgabe
Die Funktion $f : [mm] [x_1 [/mm] , [mm] x_2 [/mm] ] [mm] \times [y_1 [/mm] , [mm] y_2 [/mm] ] [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] {R}$ sei nach y differenzierbar und  [mm] $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$sei [/mm] stetig im Definitionsquader. Zeigen Sie, dass f Lipschitz–stetig in y–Richtung ist.

Hi,
ich hatte die Idee, dass ja der Differenzenquotient für [mm] $y\rightarrow y_0$ [/mm] genau das ist, was ich suche, wenn ich zeigen will, dass [mm] $|f(x,y)-f(x,y_0)\leq [/mm] L [mm] |y-y_0|$ [/mm] gilt, wobei ich als L das Maximum des Betrages von der Ableitung nach y nehmen würde, welches es als stetige Funktion auf kompaktem Definitionsbereich (bei festem x ) annimmt.
Das sähe dann in etwa so aus: [mm] $lim_{y\rightarrow y_o} \frac{f(x,y)-f(x,y_0)}{y-y_0}\leq [/mm] L $.
Meine Frage ist nun zweierlei, macht das grundlegend Sinn, weil ich bei meiner Argumentation die Schwachstelle sehe, dass ich noch nicht wirklich was zu x gesagt habe, was ja bei lipschitz nicht fest ist. Habt ihr einen Tipp, wie ich noch was zu x sagen kann?
Viele Grüße,
Reynir

        
Bezug
Lipschitzstetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 Do 21.01.2016
Autor: fred97

Den Quader nenne ich Q. $ [mm] \frac{\partial f}{\partial y} [/mm] $ ist auf Q stetig, also beschränkt. Somit ex. ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit

$ [mm] |\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}| \le [/mm] L $  für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] Q$.

Sei nun x [mm] \in [x_1,x_2] [/mm] zunächst fest. Damit definieren wir

    $g(y):=f(x,y)$ für y [mm] \in [y_1,y_2] [/mm]

g ist differenzierbar und $g'(y)= [mm] \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} [/mm] $

Somit ist

   (*)   |g'(y)| [mm] \le [/mm] L  für alle  y [mm] \in [y_1,y_2] [/mm]

Sind nun  $y , [mm] y_0 \in [y_1,y_2]$, [/mm] so ist

  [mm] f(x,y)-f(x,y_0)=g(y)-g(y_0)= g'(t)(y-y_0) [/mm] mit einem t zwischen y und [mm] y_0 [/mm]

Mittelwertsatz !

Also, mit (*)

  $| [mm] f(x,y)-f(x,y_0)|=|g'(t)|*|(y-y_0)| \le L|y-y_0|$ [/mm]

FRED

  

Bezug
                
Bezug
Lipschitzstetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:15 Fr 22.01.2016
Autor: Reynir

Danke Fred,
das hat meine Frage geklärt, insbesondere meine Frage zum dem festen x, danke für die Erklärung. :)
Viele Grüße,
Reynir

Bezug
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