Lösung LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | Hallo,
Unterraum W von [mm] $\IQ^3$ [/mm] der durch den Vektor [mm] $\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] erzeugt wird.
Zu zeigen, dass ein LGS gibt, dass W als Lösungsmenge hat. |
Also ich weiss nicht ganz genau wie ich das machen soll...
Meine Gedanken dazu:
Da es ein [mm] $\IQ^3$ [/mm] , dann müssen die 3 Vektoren linear unabhängig sein.
Meine erste Frage,da ich das nicht so ganz verstehe:
Heisst es das [mm] $\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] als Lösungsmenge zu betrachten ist?
Sprich A*x=b wobei [mm] b=$\vektor{1\\1\\1}$?
[/mm]
Oder verstehe ich die Aufgabe ganz falsch?
Danke für die Hilfe!!!
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> Hallo,
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> Unterraum W von [mm]\IQ^3[/mm] der durch den Vektor [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm]
> erzeugt wird.
> Zu zeigen, dass ein LGS gibt, dass W als Lösungsmenge
> hat.
> Also ich weiss nicht ganz genau wie ich das machen
> soll...
> Meine Gedanken dazu:
> Da es ein [mm]\IQ^3[/mm] , dann müssen die 3 Vektoren linear
> unabhängig sein.
Hallo,
was meinst Du damit? Welche drei Vektoren?
> Meine erste Frage,da ich das nicht so ganz verstehe:
> Heisst es das [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] als Lösungsmenge zu
> betrachten ist?
[mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ist ein Vektor.
Dieser Vektor soll den Lösungsraum L des gesuchten LGS erzeugen.
Der Lösungsraum soll also aus allen Linearkombinationen von [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] bestehen.
Also soll sein [mm] L=\{t*\vektor{1\\1\\1}|t\in \IQ}.
[/mm]
In Worten: L enthält alle Vielfachen von [mm] \vektor{1\\1\\1},
[/mm]
alle Lösungen haben also die Gestalt [mm] \vektor{t\\t\\t}.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Fr 13.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> Hallo,
>
> was meinst Du damit? Welche drei Vektoren?
Hier habe ich falsch mich ausgedrückt....
Ich meinte dass in [mm] $\IQ^3$ [/mm] muss ein LGS geben, z.B
x1+x2+x3=0
Und Lösungsraum ist alle Vektoren die [mm] $\vektor{x1\\x2\\x3\\}$erfüllen.
[/mm]
Und wenn ich dich richtig verstanden habe, sind das:
[mm] =x1*$\vektor{1\\1\\1}$+x2*$\vektor{1\\1\\1}$+x3$\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
>
> [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] ist ein Vektor.
> Dieser Vektor soll den Lösungsraum L des gesuchten LGS
> erzeugen.
> Der Lösungsraum soll also aus allen Linearkombinationen
> von [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] bestehen.
>
> Also soll sein [mm]L=\{t*\vektor{1\\1\\1}|t\in \IQ}.[/mm]
> In
> Worten: L enthält alle Vielfachen von [mm]\vektor{1\\1\\1},[/mm]
>
Das verstehe ich leider nicht was du meinst?
> alle Lösungen haben also die Gestalt [mm]\vektor{t\\t\\t}.[/mm]
>
> LG Angela
>
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> Ich meinte dass in [mm]\IQ^3[/mm] muss ein LGS geben, z.B
> x1+x2+x3=0
> Und Lösungsraum ist alle Vektoren die
> [mm]\vektor{x1\\x2\\x3\\}[/mm]erfüllen.
Hallo,
es wird in der Aufgabe gefordert, daß der Lösungsraum ein Unterraum des [mm] \IQ^3 [/mm] ist.
Also haben wir es mit einem LGS mit drei Variablen zu tun.
Wenn Du das meintest, dann stimmt es.
Ich mache ein Beispiel, denn Du jast ja anscheinend "Lösungsraum" überhaupt nicht verstanden.
wir betrachten das homogene LGS
x+2y+3z=0
3x+6y+7z=0.
Wir suchen nun alle Vektoren [mm] \vektor{x\\y\\z}, [/mm] die das LGS lösen.
[mm] \vektor{18\\-9\\0} [/mm] ist eine Lösung, denn es ist
18+2*(-9)+3*0=0
3*18+6*(-9)+7*0=0.
[mm] \vektor{-10\\5\\0} [/mm] ist ebenfalls eine Lösung, überzeuge Dich selbst davon.
Man kann ausrechnen, daß alle Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{x\\y\\z}=t*\vektor{2\\-1\\0} [/mm] Lösungen des LGS sind.
Der Lösungsraum meines LGS wird aufgespannt von [mm] \vektor{2\\-1\\0}.
[/mm]
Es ist
[mm] L=\{t*\vektor{2\\-1\\0}| t\in \IQ\}.
[/mm]
Das LGS kann man auch mithilfe einer Matrix schreiben, dann haben wir
[mm] \pmat{1&2&3\\3&6&7}*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0}.
[/mm]
Den Lösungsraum bestimmt man am besten, indem man die Koeffizientenmatrix auf ZSF bringt - ich habe Dir schonmal vorgemacht, wie es geht, und Du kannst mal ganz für Dich versuchen, ob Du dieser Methode zum selben Ergebnis kommst.
Man muß das können!
> > [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] ist ein Vektor.
> > Dieser Vektor soll den Lösungsraum L des gesuchten LGS
> > erzeugen.
> > Der Lösungsraum soll also aus allen
> Linearkombinationen
> > von [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] bestehen.
> >
> > Also soll sein [mm]L=\{t*\vektor{1\\1\\1}|t\in \IQ}.[/mm]
> > In
> > Worten: L enthält alle Vielfachen von [mm]\vektor{1\\1\\1},[/mm]
> >
>
> Das verstehe ich leider nicht was du meinst?
Du suchst ein LGS in drei Variablen, für welches alle Vektoren [mm] \vektor{x\\y\\z}=t*\vektor{1\\1\\1} [/mm] Lösungen sind,
welches also für jedes [mm] t\in \IQ [/mm] von x=t, y=t, z=t gelöst wird, und welches keine anderen Lösungen hat.
Ein paar Sachen über LGS solltest Du hier wissen.
1.
Ist der Lösungsraum ist ein UVR, so ist das LGS homogen.
2.
Ist der Lösungsraum eine Teilmenge des [mm] \IQ^n, [/mm] so hat das LGS n Variablen, die Koeffizientenmatrix also n Spalten
3.
Hat der Lösungsraum die Dimension k, so hat die Koeffizientenmatrix den Rang m=n-k.
Das System besteht also aus mindestens m Gleichungen.
Mit diesen Infos könntest Du nun mal versuchen, ein passendes LGS zu basteln.
Ich würde das so machen, daß ich mit eine ZSF baue, die den gesuchten Lösungsraum hat.
Damit hast Du ja Dein LGS dann eigentlich schon.
Versuch mal.
Zusätzlich noch ein paar Sachen zur Lösbarkeit von LGS, die zur Grundausstattung gehören:
wir betrachten das LGS Ax=b, die erweiterte Koeffizientenmatrix ist (A|b).
a.
Nur, wenn rang(A|b)=rang(A), dann ist das System lösbar.
b.
rang A=Anzahl der Spalten ==> System ist eindeutig lösbar
c.
rang A<Anzahl der Spalten ==> System hat unendlich viele Lösungen
d.
Dimension des Lösungsraumes= Anzahl der Spalten - Rang.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:45 So 15.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo Angela,
Erstmal Vielen Dank!!!
> es wird in der Aufgabe gefordert, daß der Lösungsraum ein
> Unterraum des [mm]\IQ^3[/mm] ist.
> Also haben wir es mit einem LGS mit drei Variablen zu tun.
> Wenn Du das meintest, dann stimmt es.
>
> Ich mache ein Beispiel, denn Du jast ja anscheinend
> "Lösungsraum" überhaupt nicht verstanden.
>
> wir betrachten das homogene LGS
>
> x+2y+3z=0
> 3x+6y+7z=0.
>
> Wir suchen nun alle Vektoren [mm]\vektor{x\\y\\z},[/mm] die das LGS
> lösen.
>
> [mm]\vektor{18\\-9\\0}[/mm] ist eine Lösung, denn es ist
>
> 18+2*(-9)+3*0=0
> 3*18+6*(-9)+7*0=0.
>
> [mm]\vektor{-10\\5\\0}[/mm] ist ebenfalls eine Lösung, überzeuge
> Dich selbst davon.
>
> Man kann ausrechnen, daß alle Vektoren der Gestalt
> [mm]\vektor{x\\y\\z}=t*\vektor{2\\-1\\0}[/mm] Lösungen des LGS
> sind.
> Der Lösungsraum meines LGS wird aufgespannt von
> [mm]\vektor{2\\-1\\0}.[/mm]
> Es ist
> [mm]L=\{t*\vektor{2\\-1\\0}| t\in \IQ\}.[/mm]
>
> Das LGS kann man auch mithilfe einer Matrix schreiben, dann
> haben wir
>
> [mm]\pmat{1&2&3\\3&6&7}*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{0\\0}.[/mm]
>
> Den Lösungsraum bestimmt man am besten, indem man die
> Koeffizientenmatrix auf ZSF bringt - ich habe Dir schonmal
> vorgemacht, wie es geht, und Du kannst mal ganz für Dich
> versuchen, ob Du dieser Methode zum selben Ergebnis
> kommst.
> Man muß das können!
ich habe hier anderes Ergebnis und zwar [mm] $\vektor{-2\\1\\0}$
[/mm]
Da wenn ich die Matrix in ZSF bringe [mm] $\pmat{1&2&3\\0&0&1}$
[/mm]
Dann setze ich für y=t.
Also wird x=-2t Ist das so?
Dann gehts weiter
>Ist der Lösungsraum ist ein UVR, so ist das LGS homogen.
Es ist ein UVR d.h das LGS muss homogen sein.
>Ist der Lösungsraum eine Teilmenge des so hat das LGS n Variablen, die Koeffizientenmatrix also n Spalten
Das ist was mich durcheinander bringt....
Der Lösungsraum ist eine Teilmenge, dann muss LGS 3- Variablen haben.. also 3 Spalten
>Hat der Lösungsraum die Dimension k, so hat die Koeffizientenmatrix den Rang m=n-k.
Das System besteht also aus mindestens m Gleichungen.
Dimension des Lösungsraumes= Anzahl der Spalten - Rang.
Dim des L=3-Rang.
>Du suchst ein LGS in drei Variablen, für welches alle Vektoren [mm] $\vektor{x\\y\\z}=t\cdot{}\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
so, das heisst ich kann verschiedene LGS nehmen die diese Bedienung erfüllen:
z.B
-24x+5y+19z=0
Oder
-7x+4y+3z=0
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> > wir betrachten das homogene LGS
> >
> > x+2y+3z=0
> > 3x+6y+7z=0.
Hallo,
ja, Dein Ergebnis ist auch richtig. Dein Vektor erzeugt denselben Raum wie meiner,
und auch [mm] \vektor{-\bruch{1}{13}\\\bruch{1}{26}\\0} [/mm] täte das.
Jetzt zu Deiner eigentlichen Aufgabe:
> >Ist der Lösungsraum ist ein UVR, so ist das LGS homogen.
> Es ist ein UVR d.h das LGS muss homogen sein.
Ja.
>
> >Ist der Lösungsraum eine Teilmenge des so hat das LGS n
> Variablen, die Koeffizientenmatrix also n Spalten
> Das ist was mich durcheinander bringt....
> Der Lösungsraum ist eine Teilmenge
des [mm] \IQ^3
[/mm]
> , dann muss LGS 3-
> Variablen haben.. also 3 Spalten
Ja, 3 Spalten für die Koeffizientenmatrix.
>
>
> >Hat der Lösungsraum die Dimension k, so hat die
> Koeffizientenmatrix den Rang m=n-k.
> Das System besteht also aus mindestens m Gleichungen.
> Dimension des Lösungsraumes= Anzahl der Spalten - Rang.
> Dim des L=3-Rang.
Ja. Und da Du weißt, daß Dein Lösungsraum die Dim 1 hat, weißt Du auch, daß die Koeffizientenmatrix den Rang 2 haben muß.
>
>
> >Du suchst ein LGS in drei Variablen, für welches alle
> Vektoren [mm]\vektor{x\\y\\z}=t\cdot{}\vektor{1\\1\\1}[/mm]
>
> so, das heisst ich kann verschiedene LGS nehmen
Ja.
> die diese
> Bedienung erfüllen:
> z.B
>
> -24x+5y+19z=0
> Oder
> -7x+4y+3z=0
Nicht "oder". Sondern:
-24x+5y+19z=0
-7x+4y+3z=0
ist ein homogenes LGS, welches den geforderten Lösungsraum hat.
(Ein Gleichungssystem besteht aus Gleichungen.)
Das System
x+0y-z=0
0x+y-z=0
ist auch so eins,
aber auch
-24x+5y+19z=0
-7x+4y+3z=0
x+y-2z=0
x-y=0
-29x+9y+20z=0
LG Angela
>
>
>
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Mo 16.06.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Vielen Dank, wie immer für eine SUPER Erklärung!!!
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