matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenkomplexe ZahlenLösung der Gleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "komplexe Zahlen" - Lösung der Gleichung
Lösung der Gleichung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Lösung der Gleichung: Rückfrage, Idee, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 So 15.01.2017
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme alle z [mm] \in \IC, [/mm] für die

[mm] z^{3} [/mm] = 8i

gilt und gebe für die Lösung jeweils Real- und Imaginärteil an

Hallo,

ich möchte hier einmal mein Vorgehen vorstellen!

[mm] z^{3} [/mm] = 8i

Zur Lösung der Aufgabe habe ich die "Moivre-Formel" verwendet:

$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $

mit $ z \ = \ [mm] x+i\cdot{}y [/mm] $, $ |z|\ =\ r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ sowie $ [mm] \tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x} [/mm] $

--------------------------

$ |z|\ =\ r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] $ = [mm] \wurzel[3]{0^2+8^2} [/mm] = 4

$ [mm] \tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x} [/mm] $ = [mm] \tan(\varphi) [/mm] = [mm] \bruch{8}{0} [/mm] = 0

[mm] \varphi=\arctan(0)= [/mm] 0

$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad [/mm] k \ = \ 0 \ ... \ (n-1) $

Ich komme dann auf folgende Ergebnisse:

[mm] z_{1} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4} [/mm]

[mm] z_{2} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm]

[mm] z_{3} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i) [/mm]

Stimmt das so?

Vielen Dank! :)

        
Bezug
Lösung der Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 So 15.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme alle z [mm]\in \IC,[/mm] für die

>

> [mm]z^{3}[/mm] = 8i

>

> gilt und gebe für die Lösung jeweils Real- und
> Imaginärteil an
> Hallo,

>

> ich möchte hier einmal mein Vorgehen vorstellen!

>

> [mm]z^{3}[/mm] = 8i

>

> Zur Lösung der Aufgabe habe ich die "Moivre-Formel"
> verwendet:

>

> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]

>

> mit [mm]z \ = \ x+i\cdot{}y [/mm], [mm]|z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> sowie [mm]\tan(\varphi) \ = \ \bruch{y}{x}[/mm]

>

> --------------------------

>

> [mm]|z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{0^2+8^2}[/mm] = 4

>

Nein, wieso soll da 4 herauskommen? Das ist r=8, siehe unten.

> [mm]\tan(\varphi) \ = \ \bruch{y}{x}[/mm] = [mm]\tan(\varphi)[/mm] =
> [mm]\bruch{8}{0}[/mm] = 0

>

> [mm]\varphi=\arctan(0)=[/mm] 0

???

>

> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\cdot{}i\right]\quad \text{mit}\quad k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)[/mm]

>

> Ich komme dann auf folgende Ergebnisse:

>

> [mm]z_{1}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{4}[/mm]

>

> [mm]z_{2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]

>

> [mm]z_{3}[/mm] =
> [mm]\wurzel[3]{4}(-\bruch{1}{2}-\bruch{\wurzel{3}}{2}i)[/mm]

>

> Stimmt das so?

>

Nein. Schon [mm] z_1 [/mm] ist falsch, denn es ist

[mm] \sqrt[3]{8}=2[/mm]
 
Weiter ist schlicht und ergreifend

[mm] \varphi=\frac{\pi}{2}[/mm]

also liegt (wenn man die übliche Nummerierung der Moivre-Formel zugrunde legt) [mm] z_1 [/mm] sicherlich auf keiner der Achsen, sondern es ist

[mm]z_1= \sqrt[3]{8}*\left ( cos\left ( \frac{\pi}{6}\right)-i*sin\left ( \frac{\pi}{6} \right ) \right )=2*\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}- \frac{i}{2} \right )[/mm]

Rechne damit die beiden anderen Lösungen nochmal nach.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Lösung der Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:57 So 29.01.2017
Autor: Dom_89

Hallo,

danke für die Antwort!

Ich verstehe nicht, warum r=8 ist, wenn doch eigentlich gilt $ |z|\ =\ r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] $

Vielleicht kannst du das nochmal genauer erklären?!

Vielen Dank ;)

Bezug
                        
Bezug
Lösung der Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 So 29.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> danke für die Antwort!

>

> Ich verstehe nicht, warum r=8 ist, wenn doch eigentlich
> gilt [mm]|z|\ =\ r \ = \ \wurzel{x^2+y^2}[/mm]

>

> Vielleicht kannst du das nochmal genauer erklären?!

Also deine Version ist völlig falsch. Ich muss gestehen, dass ich ebenfalls geschlampt habe. Nennen wir R den Betrag der Zahl [mm] z^3, [/mm] so ist

[mm] R=\left|0+8i\right|=\sqrt{0^2+8^2}=8 [/mm]

Und für den Radius der Lösungen deiner Gleichung gilt dann natürlich

[mm] r=\wurzel[3]{R}=\wurzel[3]{8}=2 [/mm]

So klarer?


Gruß, Diophant

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 33m 7. Schreim
USons/Quasireguläre Hexagone
Status vor 3h 16m 10. Tipsi
IntTheo/Flächenmaß berechnen
Status vor 4h 31m 2. matux MR Agent
Algebra/Dimension berechnen
Status vor 5h 10m 1. Franzi17
UAlgGRK/Gruppe, Ordnung p^2
Status vor 5h 15m 5. MRsense
SFolgen/Grenzwert einer Reihe
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]