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Lösung reinkubischer Gleichung: Erläuterung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Mi 05.11.2014
Autor: Windbeutel

Aufgabe
Bei der reinkubischen Gleichung [mm] x^3+T=0 [/mm] mit x [mm] \in \IC [/mm] und t [mm] \in \IR [/mm]
gibt es drei Lösungen
[mm] x_{1} [/mm] = dritte [mm] \wurzel{-t} [/mm] (Sorry ich habe nicht kapiert, wie man hier dir dritte Wurzel eingibt)

[mm] x_{2}= x_{1}w_{1} [/mm]
und
[mm] x_{3}= x_{1}w_{1}, [/mm]
wobei [mm] w_{1} [/mm] der dritten einheitswurzel entspricht mit der Form
[mm] w_{1}=\bruch{1}{2}(-1+I\wurzel{3}) [/mm]

Hallo zusammen.
ich bin beim durchblättern eines Mathebuches auf die obigen Angaben gestoßen.
Die grundlegende Definition der Komlexen Zahl ist mir bekannt, dennoch kann ich der Angaben hier nicht wirklich folgen.

Die Lösung [mm] x_{1} [/mm] ist mir klar.
Wie und wiso jedoch kommt man auf die anderen beiden Lösungen.
Ich habe bereits gegoogelt, aber leider keine Erklärung und / oder Herleitung "für dummies"gefunden.
Ich würde mich sehr frreuen, wenn mir jemand dieses Geschehen genauer erläutern könnte.
Vielen Dank im voraus




        
Bezug
Lösung reinkubischer Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Mi 05.11.2014
Autor: MathePower

Hallo Windbeutel,

> Bei der reinkubischen Gleichung [mm]x^3+T=0[/mm] mit x [mm]\in \IC[/mm] und t
> [mm]\in \IR[/mm]
>  gibt es drei Lösungen
>  [mm]x_{1}[/mm] = dritte [mm]\wurzel{-t}[/mm] (Sorry ich habe nicht kapiert,
> wie man hier dir dritte Wurzel eingibt)
>  


So:

\wurzel[3]{-T}


Das sieht dann so aus: [mm]\wurzel[3]{-T}[/mm]


> [mm]x_{2}= x_{1}w_{1}[/mm]
>  und
> [mm]x_{3}= x_{1}w_{1},[/mm]
>  wobei [mm]w_{1}[/mm] der dritten einheitswurzel
> entspricht mit der Form
> [mm]w_{1}=\bruch{1}{2}(-1+I\wurzel{3})[/mm]
>  Hallo zusammen.
>  ich bin beim durchblättern eines Mathebuches auf die
> obigen Angaben gestoßen.
>  Die grundlegende Definition der Komlexen Zahl ist mir
> bekannt, dennoch kann ich der Angaben hier nicht wirklich
> folgen.
>  
> Die Lösung [mm]x_{1}[/mm] ist mir klar.
>  Wie und wiso jedoch kommt man auf die anderen beiden
> Lösungen.
> Ich habe bereits gegoogelt, aber leider keine Erklärung
> und / oder Herleitung "für dummies"gefunden.
>  Ich würde mich sehr frreuen, wenn mir jemand dieses
> Geschehen genauer erläutern könnte.


Schreibe dazu die Zahl -T in der kompelexen Exponentialform:

[mm]-T=\vmat{-T}*e^{i*\phi[/mm]

,wobei [mm]\phi \in \{0, \ \pi\}[/mm]

Dann lautet die zu lösende Glechung:

[mm]x^{3}=\vmat{-T}*e^{i*\phi[/mm]

Die Lösungen ergeben sich aufgrund
der Periodizität der kompelexen Exponentialform zu:

[mm]x_{k}=\wurzel[3]{\vmat{-T}}*e^{i*\bruch{\phi+k*2*\pi}{3}}, \ k=0,1,2[/mm]

Oder in der Form a+bi:

[mm]x_{k}=\wurzel[3]{\vmat{-T}}*\left(\ \cos\left(\bruch{\phi+k*2*\pi}{3}\right)+i*\sin\left(\bruch{\phi+k*2*\pi}{3}\right) \ \right), \ k=0,1,2[/mm]


>  Vielen Dank im voraus
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Lösung reinkubischer Gleichung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:14 Mi 05.11.2014
Autor: Windbeutel

Danke für deine Erklärung

Bezug
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