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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Lösung von y''+9y=0
Lösung von y''+9y=0 < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lösung von y''+9y=0: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Di 05.02.2013
Autor: den1001

Aufgabe
Geben Sie die Lösung der folgenden DGL an: y''+9y=0

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Die Lösung der DGL ist laut WolframAlpha:

[mm] y(x)=c_1*cos(3x)+c_2*sin(3x) [/mm]

Darauf komme ich leider nicht.

Ich habe zunächst das charakteristische Polynom gelöst:

[mm] \lambda^2+9*\lambda=0 [/mm]

[mm] \lambda_1 [/mm] = 3i und [mm] \lambda_2 [/mm] = -3i

Dann sollte die Lösung doch eigtl. sein:

y(x) = [mm] c_1 [/mm] * [mm] e^{\lambda_1*x} [/mm] + [mm] c_2 [/mm] * [mm] e^{\lambda_2*x} [/mm]

= [mm] c_1 [/mm] * e^(3i*x) + [mm] c_2 [/mm] * e^(-3i*x)

= [mm] c_1 [/mm] * (cos(3x) + i * sin(3x)) + [mm] c_2 [/mm] * (cos(3x) - i * sin(3x))

Davon der Realteil ist aber:

y(x) = [mm] c_1 [/mm] * cos(3x) + [mm] c_2 [/mm] * cos(3x)

und das entspricht nicht der Lösung von WolframAlpha.

Kann mir da jemand helfen?

        
Bezug
Lösung von y''+9y=0: Charakteristisches Polynom
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:44 Di 05.02.2013
Autor: CJcom


> Geben Sie die Lösung der folgenden DGL an: y''+9y=0
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Die Lösung der DGL ist laut WolframAlpha:
>  
> [mm]y(x)=c_1*cos(3x)+c_2*sin(3x)[/mm]
>  
> Darauf komme ich leider nicht.
>  
> Ich habe zunächst das charakteristische Polynom gelöst:
>  
> [mm]\lambda^2+9*\lambda=0[/mm]
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] = 3i und [mm]\lambda_2[/mm] = -3i

Sicher? Du kannst auch ein [mm] \lambda [/mm] ausklammern, dann hast du:

[mm]\lambda*(\lambda+9)=0[/mm]

und dann siehst du, dass deine Lösungen nicht stimmen können. Versuch es mal mit den neuen, richtigen Werten für [mm] \lamda [/mm] und schau, ob dann das gleiche herauskommt wie bei Wolfram Alpha

>  
> Dann sollte die Lösung doch eigtl. sein:
>  
> y(x) = [mm]c_1[/mm] * [mm]e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]c_2[/mm] * [mm]e^{\lambda_2*x}[/mm]
>  
> = [mm]c_1[/mm] * e^(3i*x) + [mm]c_2[/mm] * e^(-3i*x)
>  
> = [mm]c_1[/mm] * (cos(3x) + i * sin(3x)) + [mm]c_2[/mm] * (cos(3x) - i *
> sin(3x))
>  
> Davon der Realteil ist aber:
>  
> y(x) = [mm]c_1[/mm] * cos(3x) + [mm]c_2[/mm] * cos(3x)
>  
> und das entspricht nicht der Lösung von WolframAlpha.
>  
> Kann mir da jemand helfen?

Gruß

CJcom


Bezug
                
Bezug
Lösung von y''+9y=0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Di 05.02.2013
Autor: den1001

Gut, nun habe ich die folgenden Lösungen für das charakteristische Polynom:

[mm] \lambda_1 [/mm] = 0 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -9

Aber wie komme ich von hier aus nun zu sin(x) bzw. cos(x)?Ich dachte, dass das nur bei komplexen Nullstellen des Polynoms geht.

Ich hätte jetzt als Lösung angegeben:

y(x) = [mm] c_1 [/mm] * e^(0*x) + [mm] c_2 [/mm] * e^(-9*x) = [mm] c_1 [/mm] + [mm] c_2 [/mm] * e^(-9x)

Bezug
                
Bezug
Lösung von y''+9y=0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Di 05.02.2013
Autor: CJcom

Sorry, dein charakteristisches Polynom sollte schon

[mm] \lamda^2+9 [/mm] = 0

heißen. Hab ich in der Eile übersehen.

Andersrum, wenn du von der Lösung von Wolfram Alpha ausgehst:

[mm] c_1*cos(3x)+c_2*sin(3x)=c_1*\bruch{1}{2}*(e^{3ix}+e^{-3ix})+c_2*\bruch{1}{2i}*(e^{3ix}-e^{-3ix})=(\bruch{1}{2}*c_1+\bruch{1}{2i}*c_2)*e^{3ix}+(\bruch{1}{2}*c_1-\bruch{1}{2i}*c_2)*e^{-3ix}. [/mm]

Die Konstanten sind also einfach anders gewählt.
Der Imaginärteil ist bei deiner Lösung nicht zu verachten.

Bezug
                        
Bezug
Lösung von y''+9y=0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:07 Di 05.02.2013
Autor: CJcom

Andersherum lässt sich deine Lösung auch Umformen, dass sie so aussieht, wie die von Wolfram Alpha:

[mm] c_1*e^{3ix}+c_2*e^{-3ix}=c_1*(cos(3x)+i*sin(3x))+c_2*(cos(3x)-i*sin(3x))=(c_1+c_2)*cos(3x)+i(c_1-c_2)sin(3x)=c_3*cos(3x)+c_4*sin(3x). [/mm]

Wobei [mm] c_3 [/mm] := [mm] c_1+c_2 [/mm] und [mm] c_4 [/mm] := [mm] i(c_1-c_2) [/mm] definiert sind ;)

Gruß

CJcom



Bezug
                        
Bezug
Lösung von y''+9y=0: Gelöst
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:14 Di 05.02.2013
Autor: den1001

Oh mann, da wäre ich glaub ich nie drauf gekommen. Vielen Dank für die Hilfe :)

Bezug
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