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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:11 Sa 05.07.2014 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | Beweise:
Sind $A$ und $B$ Sätze der Aussagenlogik, dann gilt $A [mm] \vDash [/mm] =| B$ genau dann, wenn [mm] $\vDash [/mm] A [mm] \leftrightarrow B$.
(Dashv - "=|" funktioniert nicht mit Latex)
Hallo,
Definition: Zwei Sätze $A$ und $B$ heißen genau dann logisch äquivalent ($A \vDash =| B$), wenn sich allein aus den Bedingungen der Definiton X (ist erstmal nicht so wichtig) ergibt, dass für alle Bewertungen $V$ gilt: $A$ ist genau dann wahr bzgl. $V$, wenn $B$ wahr ist bzgl. $V$.
Der Ausdruck "genau dann" bereitet mir Schwierigkeiten. Natürlich kann ich mir diesen Ausdruck auf folgenden Junktor - $\leftrightarrow$ zurückführen. Ich muss aber vorher wissen, warum ich das tun kann. Anders gesagt, es wird über die Aussagenlogik gesprochen, es werden Definitionen vorgelegt, die solche Ausdrücke enthalten, wo aber nicht gesagt würde, was diese Ausdrücke heißen. Es scheint so als wären diese Ausdrücke unabhängig von der Aussagenlogik. Man sieht aber irgendwie, dass sie einen gewissen logischen Aspekt haben.
Wenn ich das richtig sehe, habe ich einen Satz in der deutschen Sprache (Metasprache), den ich beweisen muss. Ich kann also den Ausdruck, "genau dann" als $\leftrightarrow$ betrachten und den deutschen Satz teilweise in die Objektsprache, die Aussagenlogik übersetzen. Beweisen, heißt also zeigen, dass dieser Satz logisch wahr ist. D.h. ich muss zeigen:
$\vDash (A \vDash =| B \leftrightarrow \vDash A \leftrightarrow B)$. Anders ausgedruckt, ich muss also zeigen, dass $A \vDash =| B \leftrightarrow \vDash A \leftrightarrow B$ eine Tautologie ist, d.h. ich kann eine Wahrheitstafel nutzen. Ich muss also erstmal die Frage beantworten können, wann sind 1) $A \vDash =| B$ und 2) $ \vDash A \leftrightarrow B$ wahr (bzgl. einer Bewertung $V$).
1) Ich nutze die obige Definition und stelle fest, dass $A \vDash =| B$ wahr bzgl $V$, wenn entweder beide wahr sind bzgl. $V$ oder beide falsch sind bzgl. $V$, denn nach der Definition ist: $A$ ist genau dann wahr bzgl. $V$, wenn $B$ wahr ist bzgl. $V$. Und ich betrachte den Ausdruck "genau dann" als $\leftrightarrow$ und mache eine Wahrheitstafel.
2) Hier reicht es ne Wahrheitstafel für $A \leftrightarrow B$ zu machen und man stellt fest, dass der Satz eine Tautologie ist in den selben Fällen wir bei 1).
Da 1) und 2) für die selben Bewertungen von $A$ und $B$ wahr bzw. falsch sind, heißt es für $\leftrightarrow$ der ganzen Aufgabe, dass es sich um eine Tautologie handelt.
Sind meine Überlegungen formal richtig?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 05.08.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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