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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Logistisches Wachstum
Logistisches Wachstum < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Logistisches Wachstum: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:59 Fr 18.04.2014
Autor: hase-hh

Aufgabe
Leiten Sie die u.g. Formel für das logistische Wachstum her.

f(t) = [mm] \bruch{a*S}{a+(S-a)*e^{-S*k*t}} [/mm]

mit

Anfangswert a = f(0)
Sättigungsgrenze  S
Sättigungsmanko   S - a

Fragen siehe unten!



Moin, Moin!

Ich stelle zunächst die Schritte, die ich gefunden habe dar, und stelle dann meine Fragen...


Teil 1 der zu beschreibenden logistischen Funktion folgt dem exponentiellen Wachstum  

und die momentane Änderungsrate bzw. die Wachstumsgeschwindigkeit ist proportional zum momentanen Bestand:

f ' (t) = k*f(t)        

Teil 2 der zu beschreibenden logistischen Funktion folgt dem begrenzten Wachstum  

und die momentane Änderungsrate bzw. die Wachstumsgeschwindigkeit ist proportional zur momentanen Sättigungsgrenze:

Anmerkung: Dabei ist das Sättigungsmanko, der Betrag, der bis zur Sättigungsgrenze noch fehlt.


f ' (t) = k*(S - f(t))


Für ein logistisches Wachstum folgt wegen der Proportionalitäten

f ' (x) = k*f(t)*(S-f(t))        


Ist es richtig, dass k in den jeweiligen Formeln einen anderen Wert hat / haben kann?

Falls nicht, müsste die logistische Funktion dann nicht mit [mm] k^2 [/mm] beginnen?




Weiter.  

f(t) = [mm] \bruch{a*S}{a+(S-a)*e^{-S*k*t}} [/mm]

Herleitung...

f ' (t) = k*f(t)*(S-f(t))


1.  Eine Stammfunktion von  [mm] \bruch{f '(t)}{f(t)} [/mm]  ist  [mm] \integral_{0}^{t}{ \bruch{f ' (z) }{f(z)} dz} [/mm]

= [ ln (f(z)) ] von null bis t  = ln(t) - ln(0)  = ln [mm] (\bruch{f(t)}{f(0)}) [/mm]

Uffz.


2. Umformung von f ' (t) = k*f(t)*(S-f(t))  nach k    

[mm] \bruch{f ' (t)}{f(t)*(S-f(t))} [/mm] = k

bzw.

[mm] f'(t)*\bruch{1}{f(t)*(S-f(t))} [/mm] = k


Jetzt folgt die Zerlegung des Bruches   [mm] \bruch{1}{f(t)*(S-f(t))} [/mm]  in Partialbrüche (das nehme ich einfach mal so hin!)

[mm] \bruch{1}{f(t)*(S-f(t))} [/mm] = [mm] \bruch{A}{f(t)} [/mm] + [mm] \bruch{B}{S-f(t)} [/mm]

...

A*S =1   und  B=A

A = B = [mm] \bruch{1}{S} [/mm]


3. Das Ergebnis wird jetzt wieder in die vollständige Gleichung eingesetzt d.h. mit Berücksichtigung von f ' (t) als Faktor...


[mm] \bruch{1}{S}*\bruch{f '(t)}{f(t)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{S}*\bruch{f ' (t)}{S-f(t)} [/mm] = k

Diese Gleichung soll nun integriert werden:

[mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{1}{S}*\bruch{f '(z)}{f(z)} dz} [/mm] +  [mm] \integral_{0}^{t}{\bruch{1}{S}*\bruch{f ' (z)}{S-f(z)} dz} [/mm] =  [mm] \integral_{0}^{t}{k dz} [/mm]

[mm] \bruch{1}{S}*[ln(f(z))] [/mm] von 0 bis t  - [mm] \bruch{1}{S}*[ln(S-f(z))] [/mm] von 0 bis t = k*t  


Den letzten Schritt habe ich nicht verstanden.

Warum ist eine Stammfunktion von [mm] \bruch{f ' (z)}{S - (f(z))} [/mm]    

ln(S-f(z))  ?   Kann mir das jemand erklären?

Und wie entsteht hier eigentlich das Minuszeichen?




Vielen Dank für eure Hilfe!









        
Bezug
Logistisches Wachstum: Zur letzten Frage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Sa 19.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo Hase,


> Den letzten Schritt habe ich nicht verstanden.
>
> Warum ist eine Stammfunktion von [mm]\bruch{f ' (z)}{S - (f(z)}[/mm]
>   
>
> ln(S-f(z))  ?   Kann mir das jemand erklären?
>
> Und wie entsteht hier eigentlich das Minuszeichen?

Das ist die Logarithmische Ableitung. Sei

      [mm] f(x):=\ln(g(x)) [/mm]

differenzierbar mit

      [mm] $g(x)>0\$ [/mm] für alle [mm] $x\in D_f$, [/mm]

dann folgt mit Hilfe der Kettenregel für die Ableitung

      [mm] f'(x)=\frac{1}{g(x)}*g'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}. [/mm]

Zur Erinnerung:

      [mm] \frac{d}{dx}(\ln(x))=\frac{1}{x}. [/mm]

Bei dir gilt:

      [mm] \frac{d}{dz}(\ln(S-f(z)))=\frac{1}{S-f(z)}*\frac{d}{dz}(S-f(z))=\frac{1}{S-f(z)}*(-f'(z))=-\frac{f'(z)}{S-f(z)}, [/mm]

sodass du eine Stammfunktion angeben kannst.


Gruß
DieAcht

Bezug
        
Bezug
Logistisches Wachstum: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:21 Mo 21.04.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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