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Logistisches Wachstum: Herleitung Dgl
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 Mi 09.11.2016
Autor: moerni

Aufgabe
Der Zuwachs der Population p(t) ist proportional zur Größe der Population und zum verbleibenden Platz.

Hallo,

Ich verstehe die Herleitung der Differentialgleichung zum logistischen Wachstum nicht ganz. Die Beschreibung oben interpretiere ich so:

(1) p'(t) ~ p(t) , dh p'(t) = a*p(t)
und
(2) p'(t) ~ K-p(t) , dh p'(t) = b*(K-p(t))

Das würde bedeuten, dass p sowohl exponentiell als auch beschränkt wächst. Durch umformen von (1) und (2) komme ich darauf, dass
p(t) = (bK)/(a+b), dh. p ist konstant.

Die richtige Dgl ist
p'(t) = c*p(t)*(K-p(t))

Warum darf ich da einfach p(t) mit K-p(t) multiplizieren? Wäre es nicht verständlicher zu formulieren (?):
"Der Zuwachs der Population ist proportional zum Produkt aus Größe der Population und verbleibendem Platz"
Aber auch hier verstehe ich nicht, warum wir das Produkt aus Größe der Population und verbleibendem Platz betrachten.

Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar
moerni


        
Bezug
Logistisches Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mi 09.11.2016
Autor: Omega91

Hallo,


*reinmultipliziert* wird $(K-p(t))$ deswegen,da, sofern kein Platz mehr vorhanden ist, kein Wachstum mehr stattfinden kann.

Bei deiner *Formel* gibt es keinde Dynamik mehr -- es ist aber klar, dass Wachstum und vorhandener Platz sich sehrwohl beeinflussen.


hilft dir das?



Lg

Bezug
        
Bezug
Logistisches Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Mi 09.11.2016
Autor: chrisno


> Der Zuwachs der Population p(t) ist proportional zur
> Größe der Population und zum verbleibenden Platz.
>  Hallo,
>  
> Ich verstehe die Herleitung der Differentialgleichung zum
> logistischen Wachstum nicht ganz. Die Beschreibung oben
> interpretiere ich so:
>  
> (1) p'(t) ~ p(t) , dh p'(t) = a*p(t)
>  und
> (2) p'(t) ~ K-p(t) , dh p'(t) = b*(K-p(t))

In der Tat ist die Formulierung der Beziehungen nicht eindeutig. Allerdings siehst DU selbst, dass Deine Interpretation zu nichts brauchbarem führt.

> ....
> Die richtige Dgl ist
>  p'(t) = c*p(t)*(K-p(t))
>  
> Warum darf ich da einfach p(t) mit K-p(t) multiplizieren?

s.u.

> Wäre es nicht verständlicher zu formulieren (?):
>  "Der Zuwachs der Population ist proportional zum Produkt
> aus Größe der Population und verbleibendem Platz"

Klar, das ist genauer.

>  Aber auch hier verstehe ich nicht, warum wir das Produkt
> aus Größe der Population und verbleibendem Platz
> betrachten.

Das Ziel ist, ein bestimmte Situation durch ein mathematisches Modell zu beschreiben. Mit entsprechender Begründung darf man erst einmal alles. In der Anwendung wird sich zeigen, ob das Modell etwas taugt. So ist Deine obige Interpretation schon als unbrauchbar verworfen, obwohl der Ansatz ja zum Text, also der Idee, wie sich was auswirken soll, passt. Für das Produkt spricht, dass es die Grenzsituationen besser darstellt. Wenn das Platz nahezu verbraucht ist, dann soll dieser Effekt dominieren und das kann er im Produkt, indem dieser Faktor gegen Null geht.


Bezug
        
Bezug
Logistisches Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Mi 09.11.2016
Autor: HJKweseleit


> Der Zuwachs der Population p(t) ist proportional zur
> Größe der Population und zum verbleibenden Platz.
>  Hallo,
>  
> Ich verstehe die Herleitung der Differentialgleichung zum
> logistischen Wachstum nicht ganz. Die Beschreibung oben
> interpretiere ich so:
>  
> (1) p'(t) ~ p(t) , dh p'(t) = a*p(t)
>  und
> (2) p'(t) ~ K-p(t) , dh p'(t) = b*(K-p(t))

(1) gilt, falls der verbleibende Restplatz sich nicht ändert. Dann ist p'(t) = a*p(t), wobei aber in a die Restplatzgröße versteckt ist. Bei einer anderen Restplatzgröße wäre also das a ein anderes.

(2) gilt, falls sich die Populationsgröße "nicht" ändert. Das sieht zunächst unsinnig aus, denn dann wäre ja p'(t)=0.
Genauer bedeutet dies: Wenn bei verschiedenen Platzgrößen K und verschiedenen Populationsgrößen p(t) zu einer bestimmten Zeit t der Restplatz K-p(t) gleich groß ist, dann ändert sich p proportional zu diesem Rest, wobei im Fakltor b dann aber die momentane Populationsgröße enthalten ist. Erkläre ich unten nochmals genauer.

Somit ist in a der Faktor (K-p(t)) bzw. in b der Faktor p(t) enthalten, macht zusammen p(t)*(K-p(t)).

Besser erklärt am Beispiel "Ausbreitung einer Seuche":

In einem Ort wohnen K Personen, die sich alle ähnlich verhalten. Davon sind p krank und können nur noch diejenigen anstecken, die noch nicht krank sind. Für eine bestimmte Zeit am Tag (z.B. durchschnittlich 2 Stunden) befinden sie sich im Kontakt mit anderen (Geschäft, Arbeitsplatz, Straße, ...), wo sie andere bzw. sich anstecken könnten. Bei jedem Kontakt Kranker-Gesunder kommt es mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zu einer Ansteckung.

(1) Wenn doppelt so viele Personen angesteckt sind wie zuvor, hat jeder Gesunde doppelt so viele gefährliche Kontakte wie bisher, seine Ansteckungsgefahr ist somit doppelt so hoch wie bisher (Zunahme für einen(!) Gesunden prop. zu p(t)).  

(2) Wenn es nur noch halb so viele Gesunde gibt wie zuvor, können sich auch nur halb so viele einzelne nun anstecken (Zunahme aller Kranken prop. K-p(t)).

Zahlenbeispiel:

Von 1000 Einwohnern eines Ortes kommt jeden Tag (durchschnittlich) jeder mit 100 anderen (fester Wert) in Kontakt. Die entsprechende Krankheit überträgt sich dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 Prozent.

Wenn 100 Leute = 10 % infiziert sind gilt:

Von den 900 Gesunden trifft jeder auf 100 Leute (fester Wert), die zu 10% infiziert sind, also auf 10 infizierte. Das macht 900*10 = 9000 gefährliche Kontakte, die zu 1% Ansteckungen führen, also zu 90 neuen Kranken.

Sind dann z.B. 600 Leute = 60 % infiziert, so gilt:

Von den 400 Gesunden trifft jeder auf 100 Leute (fester Wert), die zu 60% infiziert sind, also auf 60 infizierte. Das macht 400*60 = 24000 gefährliche Kontakte, die zu 1% Ansteckungen führen, also zu 240 neuen Kranken.

Sind später z.B. 900 Leute = 90 % infiziert, so gilt:

Von den 100 Gesunden trifft jeder auf 100 Leute (fester Wert), die zu 90% infiziert sind, also auf 90 infizierte. Das macht 100*90 = 9000 gefährliche Kontakte, die zu 1% Ansteckungen führen, also zu 90 neuen Kranken.


Du siehst, dass die  Zunahme proportional zum Produkt aus noch Gesunden und schon Infizierten ist.

Gerüchte sind ein noch besseres Beispiel. Bei einer Krankheit klingt nämlich die Ansteckungsgefahr, die von einem Kranken ausgeht, mit der Zeit wieder ab, falls die Krankheit heilbar ist (Grippe) und nicht ansteckend bleibt (Lepra). Ein Gerücht ist nicht mehr "ansteckend" für den, der es kennt, kann aber von diesem beliebig lange weiter erzählt werden.




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