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Forum "stochastische Prozesse" - Lokalisation vom Ito Integral
Lokalisation vom Ito Integral < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lokalisation vom Ito Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Sa 04.04.2015
Autor: nbt

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hi,
ich hab eine Frage zur Motivation vom Ito Integral der Form
$\int_0^T f(B_t)dB_t$
wobei $f$ stetig und $B_t:\Omega\to\mathbb{R}$ eine standard Brownsche Bewegung seien.
Bislang kenn ich als Definitionsbereich des Ito Integrals $I:L^2(dP\times dt)\to L^2(dP)$ nur messbare, adaptierte Funktionen
$\mathcal{H}^2:=\{f:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}}|\ f\in\mathcal{F}_T\times\mathcal{B}([0,T]), \forall t\in[0,T]: f_t\in\mathcal{F}_t, f\in L^2(dP\times dt)\}$
wobei $(\mathcal{F}_t)_t$ die Brownsche Filtration bezeichnet.
Damit wir also das Ito Integral von $f(B_t)$ existiert, muss gelten
$E\left[\int_0^T f^2(\omega,t)dt\right]<\infty$  $(1)$
Jetzt schreibt der Autor des Buches, das ich zum Thema lese (Stochastic Calculus and Financial Applications von J.M. Steele), dass die Bedingung $(1)$ zB für die Funktion $f(\omega,t)=\exp(B_t^2(\omega))$ verletzt ist.

Warum ist das so?

Vielen Dank für die Hilfe

        
Bezug
Lokalisation vom Ito Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:29 Sa 04.04.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Jetzt schreibt der Autor des Buches, das ich zum Thema lese (Stochastic Calculus and Financial Applications von J.M. Steele),

meiner Meinung nach ein sehr gutes Buch zu dem Thema. Insbesonderen die kleinen netten Anekdoten von ihm :-)

> dass die Bedingung [mm](1)[/mm] zB für die Funktion
> [mm]f(\omega,t)=\exp(B_t^2(\omega))[/mm] verletzt ist.
>  
> Warum ist das so?

Auf welcher Seite?
edit: Hab es gefunden, allerdings schreibt er bei mir $f(x) = [mm] \exp(x^4)$. [/mm]
Aber auch damit sollte es funktionieren...

Ich glaube, das schreibt er nicht. Das stimmt nämlich nicht....
Aber berechne es doch mal!

edit2: Ah mir fällt da was ein. Ich glaube der Steele lässt auch [mm] $T=\infty$ [/mm] zu und dann geht es natürlich kaputt.

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Lokalisation vom Ito Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Sa 04.04.2015
Autor: nbt

Ah ok, ja mit [mm] $T\to\infty$ [/mm] leuchtet es ein, danke!

Bezug
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