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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Lucas-Zahlenfolge
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Lucas-Zahlenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Mo 16.04.2007
Autor: Nicole20

Hi ihr alle!
Folgende Aufgabe bereitet mir große Probleme!!!

Eine reelle Zahlenfolge [mm] (L_{n})_{n\varepsilon\IN}, [/mm] die durch [mm] L_{1}=a, L_{2}=b [/mm] mit [mm] a,b\varepsilon\IR [/mm] und [mm] L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1} [/mm] für [mm] n\ge2 [/mm] gegeben ist, heißt Lucas-Zahlenfolge.
Zu a=1 und b=1 ist dann [mm] L_{n} [/mm] die n-te Fibonacci-Zahl [mm] F_{n}. [/mm]

1. Bestimme eine explizite Darstellung von [mm] F_{n} [/mm] für alle [mm] n\varepsilon\IN [/mm] mittels
[mm] \vektor{F_{n+1} \\ F_{n}}= \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }\vektor{F_{n} \\ F_{n-1}}, n\ge2 [/mm]

Dazu soll man die Eigenwerte der obigen Matrix betrachten.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Lucas-Zahlenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 Di 17.04.2007
Autor: wauwau

Die Eigenwerte der Matrix berechnen, das sind [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm]
Dann sind die

[mm] F_{n} [/mm] = [mm] A*\lambda_{1}^{n}+B*\lambda_{2}^{n} [/mm]

die Koeefizienten A, B können durch die Anfangswerte der Folge bestimmt werden....


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Lucas-Zahlenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 Di 17.04.2007
Autor: Nicole20

Tut mir leid, aber damit kann ich nicht wirklich was anfangen! :-(
Die Eigenwerte der Matrix zubestimmen ist ja nicht schwer. Der eigenwert ist bei mit 0, oder stimmt das nicht?

Weiter komme ich dann mit der Aufgabe trotzdem nicht!

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Lucas-Zahlenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Di 17.04.2007
Autor: wauwau

Die Eigenwerte sind aus der Gleichung [mm] det(A-\lambda*E)=0 [/mm] zu bestimmen und da komme ich auf

[mm] \bruch{1\pm\wurzel{5}}{2} [/mm]

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Lucas-Zahlenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Di 17.04.2007
Autor: Nicole20

Aber meine Determinante hat das Ergebnis 0!
Deswegen dachte ich dass der eigenwert 0 is!

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Lucas-Zahlenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Di 17.04.2007
Autor: wauwau

[mm] det(A-\lambda*E) [/mm] = det [mm] \pmat{ 1-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda } [/mm] = [mm] (1-\lambda)*(-\lambda)-1 [/mm] = 0

oder

[mm] \lambda^2-\lambda-1=0 [/mm]

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Lucas-Zahlenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Di 17.04.2007
Autor: Nicole20

Genau das habe ich auch raus, aber wie kommst du jetzt auf deinen Eigenwert?
Und dann weiß ich imernoch nicht was der Eigenwert mit der Aufgabe zu tun hat, denn ich muss ja eine explizite Darstellung von [mm] F_{n} [/mm] finden....

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Lucas-Zahlenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Di 17.04.2007
Autor: wauwau

1. die quadratische Gleichung Lösung, da bekomme ich aber sicher nicht 0 als Lösung....

und dann ist die allgemeine Lösung so wie ich in meiner ersten Antwort geschrieben habe

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Lucas-Zahlenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Di 17.04.2007
Autor: Nicole20

ok jetzt stecke ich fest:
ich habe [mm] \lambda²-\lambda=1 [/mm] richtig und dann kommt doch ne quadratische Ergänzung oder?

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Lucas-Zahlenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:24 Di 17.04.2007
Autor: angela.h.b.


> ok jetzt stecke ich fest:
>  ich habe [mm]\lambda²-\lambda=1[/mm] richtig und dann kommt doch ne
> quadratische Ergänzung oder?

Ja.

Gruß v. Angela

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Lucas-Zahlenfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Di 17.04.2007
Autor: Nicole20

kommt dann als Ergebnis [mm] \lambda=1 [/mm] oder [mm] \lambda=o [/mm] raus?

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Lucas-Zahlenfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:32 Di 17.04.2007
Autor: wauwau

vielleicht ziehst du dir das erst mal rein
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html

Bezug
                                                                                        
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Lucas-Zahlenfolge: p-q Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Di 17.04.2007
Autor: Herby

Hallo Nicole,


wende doch zum Lösen dieser quadratischen Gleichung die p-q Formel an:


[guckstduhier]  MBp-q-Formel    <-- click it



Liebe Grüße
Herby

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Lucas-Zahlenfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:00 Di 17.04.2007
Autor: Nicole20

Stimmt die pq-Formel hab ich ja ganz vergessen. danke sehr!


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