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Forum "Folgen und Reihen" - Mac Laurinsche Reihe
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Mac Laurinsche Reihe: Summenzeichen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:44 Di 29.12.2015
Autor: sonic5000

Aufgabe
Bestimmen Sie die Mac Laurinsche Reihe der Funktion f(x)=cosh x:

a) auf direktem Wege nach der Mac Laurinschen Reihe.

b) aus den Potenzreihenentwicklungen von [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] unter der Berücksichtigung der Definitionsformel cosh [mm] x=\br{1}{2}*(e^x+e^{-x}) [/mm]

Hallo,

a) habe ich soweit verstanden... Bei b) habe ich folgendes:

[mm] f(x)=e^x=1+\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}+\br{x^3}{3!}+...=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!} [/mm]

[mm] f(x)=e^{-x}=1-\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}-\br{x^3}{3!}+...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{x^n}{n!} [/mm]

Im Lösungsbuch steht nun folgendes:

[mm] \br{1}{2}*[(1+\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}+\br{x^3}{3!}+\br{x^4}{4!})+(1-\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}-\br{x^3}{3!}+\br{x^4}{4!})]=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n}}{(2n)!} [/mm]

Das habe ich auch verstanden...

Meine Frage: Kann ich auch mit den Summen weiterrechnen wie folgt:

[mm] f(x)=\br{1}{2}*[(\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!})+(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{x^n}{n!})]=\br{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!}+(-1)^n\br{x^n}{n!}=\br{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n+((-1)^n*x^n)}{n!} [/mm]

Hier weiss ich nicht weiter... Darf ich das so rechnen?

        
Bezug
Mac Laurinsche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:44 Di 29.12.2015
Autor: fred97


> Bestimmen Sie die Mac Laurinsche Reihe der Funktion
> f(x)=cosh x:
>  
> a) auf direktem Wege nach der Mac Laurinschen Reihe.
>  
> b) aus den Potenzreihenentwicklungen von [mm]e^x[/mm] und [mm]e^{-x}[/mm]
> unter der Berücksichtigung der Definitionsformel cosh
> [mm]x=\br{1}{2}*(e^x+e^{-x})[/mm]
>  Hallo,
>  
> a) habe ich soweit verstanden... Bei b) habe ich
> folgendes:
>  
> [mm]f(x)=e^x=1+\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}+\br{x^3}{3!}+...=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!}[/mm]
>  
> [mm]f(x)=e^{-x}=1-\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}-\br{x^3}{3!}+...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{x^n}{n!}[/mm]
>  
> Im Lösungsbuch steht nun folgendes:
>  
> [mm]\br{1}{2}*[(1+\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}+\br{x^3}{3!}+\br{x^4}{4!})+(1-\br{x^1}{1!}+\br{x^2}{2!}-\br{x^3}{3!}+\br{x^4}{4!})]=\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>  
> Das habe ich auch verstanden...
>  
> Meine Frage: Kann ich auch mit den Summen weiterrechnen wie
> folgt:
>  
> [mm]f(x)=\br{1}{2}*[(\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!})+(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{x^n}{n!})]=\br{1}{2}*\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n}{n!}+(-1)^n\br{x^n}{n!}=\br{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n+((-1)^n*x^n)}{n!}[/mm]
>  
> Hier weiss ich nicht weiter... Darf ich das so rechnen?

Ja.
Tipp: es ist

  [mm] (-1)^n=1, [/mm] falls n gerade ist und  =-1, falls n ungerade ist

Fred


Bezug
                
Bezug
Mac Laurinsche Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:02 Di 29.12.2015
Autor: sonic5000

O.K. Es gilt also:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n}}{(2n)!}=\br{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n+((-1)^n*x^n)}{n!} [/mm]

Kann ich das auch berechnen oder ist das eher Erfahrung und Intuition?



Bezug
                        
Bezug
Mac Laurinsche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Di 29.12.2015
Autor: leduart

Hallo
du musst doch nur für [mm] (-1)^n) [/mm] gerade und ungerade Zahlen einsetzen, das hat nichts mir Intuition zu tun.
Grus leduart

Bezug
                        
Bezug
Mac Laurinsche Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Di 29.12.2015
Autor: fred97


> O.K. Es gilt also:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^{2n}}{(2n)!}=\br{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}\br{x^n+((-1)^n*x^n)}{n!}[/mm]
>  
> Kann ich das auch berechnen oder ist das eher Erfahrung und
> Intuition?


Nein, das ist Gestank !

Ich glaube nichts stinkt mehr nach "Fallunterscheidung" als [mm] (-1)^n [/mm]

FRED


>  
>  


Bezug
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