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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf ihr Konvergenz !
A) [mm] \summe_{k=1}^{n} \wurzel{k-1} [/mm] / k²+1
Hinweis: Benutzen Sie dazu das Majorantenkriterium! |
Dies ist meine erste Aufgabe mit dem Majorantenkriterium und da ich keine Lösung habe, würde ich gerne wissen, ob meine herangehensweise bzw die Lösung richtig ist.
Zuerst habe ich den Nenner betrachtet k²+1 und gesagt
1 / k²+1 < 1/k²
Daraus habe ich gefolgert, dass
[mm] \wurzel{k-1} [/mm] / k²+1 < 1 / k²
Leider ist dem nach einer überprüfung nicht so.
Ich weiß nicht, ob man nicht einfach sagen kann
[mm] \wurzel{k-1} [/mm] / k²+1 < [mm] \wurzel{k-1} [/mm] / k²
geht das ? und wenn ja wie beweise ich es ?
ich hoffe ihr könnt mir helfen
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[https://www.gutefrage.net/frage/majorantenkriterium---so-richtig-]
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Hallo,
> Untersuchen Sie folgende Reihen auf ihr Konvergenz !
>
> A) [mm]\summe_{k=1}^{n} \wurzel{k-1}[/mm] / k²+1
Meinst du:
[mm] $\sum_{k=1}^n \bruch{\wurzel{k-1}} {k^2+1}$ [/mm] ?
(Mouse-over zeigt den Code)
Bitte bei Brüchen in der /-Notation die Klammern nicht vergessen, denn so wie es dasteht ist [mm]\wurzel{k-1}[/mm] / k²+1 [mm] =$\frac{\sqrt{k-1}}{k^2} [/mm] +1$
> Hinweis: Benutzen Sie dazu das Majorantenkriterium!
> Dies ist meine erste Aufgabe mit dem Majorantenkriterium
> und da ich keine Lösung habe, würde ich gerne wissen, ob
> meine herangehensweise bzw die Lösung richtig ist.
>
> Zuerst habe ich den Nenner betrachtet k²+1 und gesagt
>
> 1 / (k²+1 )< 1/k²
Das ist richtig.
> Daraus habe ich gefolgert, dass
Wie hast du das denn gefolgert?
> [mm]\wurzel{k-1}[/mm] /( k²+1 )< 1 / k²
Das nicht. Du musst schon auf beiden Seiten multiplizieren nicht nur einer.
> Leider ist dem nach einer überprüfung nicht so.
>
> Ich weiß nicht, ob man nicht einfach sagen kann
>
> [mm]\wurzel{k-1}[/mm] / ( k²+1) < [mm]\wurzel{k-1}[/mm] / k²
>
> geht das ? und wenn ja wie beweise ich es ?
Doch. Das ist im Gegnsatz zum vorigen richtig. Du multiplizierst die Ungleichung mit [mm] $\sqrt{k-1}$ [/mm] - ähnlich zu Gleichungen
> ich hoffe ihr könnt mir helfen
Und jetzt bleicbt dann noch die Frage welche konvergenten Majoranten du kennst, die wir hier verwenden können.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [https://www.gutefrage.net/frage/majorantenkriterium---so-richtig-]
>
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> Meinst du:
> [mm]\sum_{k=1}^n \bruch{\wurzel{k-1}} {k^2+1}[/mm] ?
Ja so meine ich das ^^
> Und jetzt bleicbt dann noch die Frage welche konvergenten
> Majoranten du kennst, die wir hier verwenden können.
Ich bin mir nicht sicher aber kann man
[mm] \bruch{\wurzel{k}} {k^2} [/mm] nehmen ?
wenn ja, wie beweise ich, das dies so ist ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Di 18.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Meinst du:
> > [mm]\sum_{k=1}^n \bruch{\wurzel{k-1}} {k^2+1}[/mm] ?
> Ja so meine ich das ^^
>
>
>
> > Und jetzt bleicbt dann noch die Frage welche konvergenten
> > Majoranten du kennst, die wir hier verwenden können.
>
> Ich bin mir nicht sicher aber kann man
>
> [mm]\bruch{\wurzel{k}} {k^2}[/mm] nehmen ?
ja, weil FÜR JEDES $k [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $\sqrt{k-1} [/mm] < [mm] \sqrt{k}$
[/mm]
und damit auch
[mm] $\sqrt{k-1}/(k^2+1) [/mm] < [mm] \sqrt{k}/(k^2+1)\,,$
[/mm]
was schlussendlich auch
[mm] $\sqrt{k-1}/(k^2+1) [/mm] < [mm] \sqrt{k}/(k^2+1) [/mm] < [mm] \sqrt{k}/k^2$
[/mm]
nach sich zieht.
> wenn ja, wie beweise ich, das dies so ist ?
S.o. Du hättest es aber auch so angehen können: Für $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $\sqrt{k-1}/(k^2+1) [/mm] < [mm] \sqrt{k}/k^2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $k^2\sqrt{k-1} [/mm] < [mm] (k^2+1) \sqrt{k}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $k^2 \sqrt{k-1} [/mm] < [mm] k^2 \sqrt{k}+\sqrt{k}\,.$
[/mm]
Weil wir bei den [mm] $\iff$ [/mm] insbesondere [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] immer benutzen dürfen, folgt
dann die Behauptung, wenn wir
[mm] $k^2 \sqrt{k-1} [/mm] < [mm] k^2 \sqrt{k}+\sqrt{k}$
[/mm]
begründen können. Frage an Dich: Das ist doch ziemlich trivial, dass
letzteres gilt, oder? Kannst Du das mal begründen? (Wenn man will,
kann man auch alles auf die rechte Seite bringen und muss dann zeigen,
dass diese in der Tat für jedes [mm] $k\,$ [/mm] [echt] positiv ist!)
Zurück zur Aufgabe: Wichtig ist noch, dass Du weißt, dass
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{\sqrt{k}}{k^2}=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2}}$
[/mm]
konvergiert - dies gilt etwa wegen des Cauchyschen Verdichtungssatz
bzw.
![[]](/images/popup.gif) Beispiel 6.9.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzender Tipp:
[mm] \wurzel{k-1}< \wurzel{k}
[/mm]
FRED
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> Ergänzender Tipp:
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> [mm]\wurzel{k-1}< \wurzel{k}[/mm]
>
> FRED
Ah sehr gut da lag also mein Fehler !
Also ist meine Majorante:
[mm] \wurzel{k}/k^2 [/mm] richtig ?
und wie beweise ich das jetzt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Ergänzender Tipp:
> >
> > [mm]\wurzel{k-1}< \wurzel{k}[/mm]
> >
> > FRED
>
> Ah sehr gut da lag also mein Fehler !
>
> Also ist meine Majorante:
>
> [mm]\wurzel{k}/k^2[/mm] richtig ?
Nein, die Reihe
$ [mm] \sum_{k=1}^\infty \wurzel{k}/k^2 [/mm] $
ist eine konvergente Majorante
>
> und wie beweise ich das jetzt ?
Ihr hattet sicher, dass $ [mm] \sum_{k=1}^\infty\bruch{1}{k^q} [/mm] $ konvergiert, falls q>1 ist.
FRED
>
>
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> > und wie beweise ich das jetzt ?
>
> Ihr hattet sicher, dass [mm]\sum_{k=1}^\infty\bruch{1}{k^q}[/mm]
> konvergiert, falls q>1 ist.
>
> FRED
> >
> >
>
Ja das ist ja auch logisch ^^
Aber ich meinte wie ich jetzt beweisen kann, dass diese Majorante wirklich für jedes k größer ist ?
Rein von der Logik her würde es ja reichen zu sagen, dass der Zähler der Majorante größer und der Nenner kleiner ist, was immer ein größeres Ergebnis bedeutet.
Aber ich kann mir vorstellen, dass es dafür auch ein Verfahren gibt, welches man bspw auch in der Klausur verwenden muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > und wie beweise ich das jetzt ?
> >
> > Ihr hattet sicher, dass [mm]\sum_{k=1}^\infty\bruch{1}{k^q}[/mm]
> > konvergiert, falls q>1 ist.
> >
> > FRED
> > >
> > >
> >
>
> Ja das ist ja auch logisch ^^
Was soll das denn bedeuten ?????
Hattet Ihr obiges oder nicht ?
> Aber ich meinte wie ich jetzt beweisen kann, dass diese
> Majorante wirklich für jedes k größer ist ?
> Rein von der Logik her
Von was sonst ? Vom Wetter im November ?
> würde es ja reichen zu sagen, dass
> der Zähler der Majorante größer und der Nenner kleiner
> ist, was immer ein größeres Ergebnis bedeutet.
Ja, genau so begründet man das. Sind a,b,c und d Zahlen > 0 mit a [mm] \le [/mm] c und b [mm] \ge [/mm] d, so gilt
[mm] \bruch{a}{b} \le \bruch{c}{d}
[/mm]
Das ist Folklore !
FRED
> Aber ich kann mir vorstellen, dass es dafür auch ein
> Verfahren gibt, welches man bspw auch in der Klausur
> verwenden muss.
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