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| Aufgabe | [mm] (\Omega,F,P) [/mm] ist ein Wahrscheinlichkeitsraum und [mm] X:\Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine quadratisch-integrierbare Zufallsvariable.
a) Zeigen Sie, dass die Abschätzung für die Flanken der Verteilung von X-E(X) aus der Chebychev-Ungleichung ohne weitere Annahmen nicht verbessert werden kann
b) Sei nun [mm] Var(X)\not= [/mm] 0. Beweisen Sie die Ungleichung [mm] P(X-E(X)\ge a)\le \bruch{Var(X)}{Var(X)+a^2} [/mm] mit [mm] a\ge0 [/mm] und finden Sie ein Beispiel für X, für welches Gleichheit gilt |
Guten Morgen!
Ich habe Probleme beim Lösen der Aufgabe.
Zunächst einmal wollte ich fragen, ob quadratisch integrierbar bedeutet, dass [mm] \integral_{\Omega}{X^2 dP < \infty} [/mm] ist.
Zu a) sollen wir eine Zufallsvariable X finden, sodass bei der Chebychevungleichung Gleichheit gilt, sprich
[mm] P(|X-E(X)|\ge [/mm] c) [mm] =\bruch{Var(X)}{c^2}
[/mm]
Mir wurde gesagt, dass man immer denken soll, sprich X soll eine einfache Funktion sein. Aber irgendwie hilft mir das nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich den Term auf der linken Seite, sprich die Wahrscheinlichkeit, vereinfachen kann. Markov kann ich ja nicht anwenden, da ich ja Gleichheit brauche und keine Ungleichung. Soll ich einfach ein paar bekannte Zufallsvariablen einsetzen so wie Normalverteilung oder Gleichverteilung. X muss ja stetig sein, da die ZV integrierbar sein soll, oder?
Zu b) wurde uns gesagt, dass wir erst die Gleichheit [mm] \bruch{Var(X)}{Var(X)+a^2}=\bruch{Var(X)+(\bruch{Var(X)}{a})^2}{(a+\bruch{Var(X)}{a})^2} [/mm] zeigen sollen und dann mit diesem Term die Abschätzung beweisen sollen mit Markov.
Also die Gleichheit der terme habe ich gezeigt, indem ich einfach mit [mm] \bruch{Var(X)}{a^2}+1 [/mm] erweitert habe und dann im Nenner die binomische Formel verwendet habe.
Jedoch weiß ich nicht, wie ich nun weiter vorgehen soll. Kann mir jemand eine Idee sagen, wie ich weiter vorgehen soll und für die Gleichheit soll man ebenfalls wieder einfach denken, jedoch habe ich da ebenfalls noch keine Vorstellung, was man für X wählen soll.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 04.12.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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