matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenstochastische ProzesseMarkov und Rückkehrzeiten
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "stochastische Prozesse" - Markov und Rückkehrzeiten
Markov und Rückkehrzeiten < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Prozesse"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Markov und Rückkehrzeiten: Rückfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:18 Do 01.02.2018
Autor: Kruemelmonster2

Aufgabe
Ich gehe grade mein Skript durch und bin auf folgenden Beweis gestoßen in dem ich bemerkt habe, dass bei mir noch einige Sachen unverstanden sind.

Lemma: Sei [mm] $y\in [/mm] S$. Dann gilt für alle [mm] $k\in \IN$: [/mm]

[mm] $\IP_{y} (R_{y}^{k+1} [/mm] < [mm] \infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k}=n) [/mm] = [mm] (\rho_{yy})^k [/mm] $


Der Beweis sieht nun folgendermaßen aus:

Wir führen den Beweis mittels vollständiger Induktion über [mm] $k\in \IN$. [/mm]
Die Aussage gilt offensichtlich für den Induktionanfang $k=1$.

Für den Induktionsschritt nehmen wir an, wir haben obiges bereits für ein [mm] $k\in \IN$ [/mm] gezeigt. Wir wollen daraus schließen, dass dies auch für $k+1$ gilt.

Sei [mm] $R_{y}((X_{R_{y}^{k}+n})_{n\in \IN_{0}})$ [/mm] die zur Markovkette [mm] $(X_{R_{y}^{k}+n})_{n\in \IN_{0}}$ [/mm] gehörige Rückkehrzeit zu $y$.

Dann gilt [mm] $R_{y}^{k+1} [/mm] = [mm] R_{y}((X_{R}_{y}^{k}+n)_{n\in \IN_{0}})$. [/mm]
Somit folgt aus der starken Markov Eigenschaft (angewandt auf die Stoppzeit [mm] $R_{y}^{k})$, [/mm] dass

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k}=n)=\IP_{y}(R_{y}((X_{R_{y}^{k}+n})_{n\in \IN_{0}}<\infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) = [mm] \IP_{y}(R_{y}<\infty)$ [/mm]      (2.5)


und somit folgt aus der Induktionsvorraussetzung:

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] )$

$= [mm] \sum_{n\in \IN} \IP_{y}(R_{y}^{k+1} [/mm] < [mm] \infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) [mm] \IP (R_{y}^{k} [/mm] = n)$

[mm] $=\sum_{n\in \IN} \IP_{y} (R_{y} <\infty [/mm] ) [mm] \cdot \IP(R_{y}^{k}=n)$ [/mm]

[mm] $=\IP_{y} (R_{y}<\infty [/mm] ) [mm] \cdot \IP_{y}(R_{y}^{k}<\infty) [/mm] $

[mm] $=\rho_{yy}\cdot (\rho_{yy})^k [/mm] $

[mm] $=(\rho_{yy})^{k+1} [/mm]

Das erste wo ich mir nicht ganz sicher bin, ist die Anwendung der starken Markoveigenschaft in der ersten Gleichung (2.5):

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k}=n)=\IP_{y}(R_{y}((X_{R_{y}^{k}+n})_{n\in \IN_{0}}<\infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) = [mm] \IP_{y}(R_{y}<\infty)$. [/mm]

Also die starke Markoveigenschaft sagt ja, dass wir die ersten n Zufallsvariablen vernachlässigen können. Deswegen fällt die Bedinung [mm] R_{y}^{k}=n [/mm] weg oder wie?

Kommen wir nun zu dem unteren:

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] )= [mm] \sum_{n\in \IN} \IP_{y}(R_{y}^{k+1} [/mm] < [mm] \infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) [mm] \IP (R_{y}^{k} [/mm] = n)$

müsste es nicht auch

[mm] $\IP_{y}(R_{y}^{k+1}<\infty [/mm] )= [mm] \sum_{n\in \IN} \IP_{y}(R_{y}^{k+1} [/mm] < [mm] \infty [/mm] | [mm] R_{y}^{k} [/mm] = n) [mm] \IP_{y} (R_{y}^{k} [/mm] = n)$

heißen oder wo ist das $y$ sonst hin gewandert?
Hier wurde doch nur der Satz der totalen Wkt. angewandt oder sehe ich das falsch?

Als nächstes wurde dann (2.5) angewandt und dann die Tatsache, dass

[mm] \sum_{n\in \IN} \IP (R_{y}^{k}=n) [/mm] = [mm] \IP(R_{y}^{k}<\infty) [/mm]

und dann die IV.

Wäre nett wenn mir jemand nen bisschen auf die Sprünge helfen könnte. Ich muss sagen, dass ich mir mit der starken MK eh noch etwas schwer tue.





        
Bezug
Markov und Rückkehrzeiten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 05.02.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Prozesse"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]