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Forum "Uni-Numerik" - Maschinenzahlen
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Maschinenzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Di 05.10.2004
Autor: regine

Hallo,

eine Zahl in der Gleitpunktdarstellung sieht ja so aus:

$a = [mm] a_0.a_1 a_2 [/mm] ... [mm] a_{t-1} \cdot b^e$ [/mm]

mit Mantissenlänge $t$, Basis $b$, Exponent $e [mm] \in [e_{min}, e_{max}]$. [/mm]

Die kleinste positive Zahl ist klar. Das ist [mm] $x=b^{e_{min}}$. [/mm]

Wie kommt aber die größe Zahl zustanden? Sie lautet [mm] $y=(b-b^{1-t}) \cdot b^{e_{max}}$ [/mm]

Danke und viele Grüße,
Regine.
        
Bezug
Maschinenzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Di 05.10.2004
Autor: Marc

Hallo regine,

> eine Zahl in der Gleitpunktdarstellung sieht ja so aus:
>  
> [mm]a = a_0.a_1 a_2 ... a_{t-1} \cdot b^e[/mm]
>  
> mit Mantissenlänge [mm]t[/mm], Basis [mm]b[/mm], Exponent [mm]e \in [e_{min}, e_{max}][/mm].
>
>
> Die kleinste positive Zahl ist klar. Das ist
> [mm]x=b^{e_{min}}[/mm].
>  
> Wie kommt aber die größe Zahl zustanden? Sie lautet
> [mm]y=(b-b^{1-t}) \cdot b^{e_{max}}[/mm]

Ich hoffe, man erhält diese Zahl, wenn man sich folgendes überlegt: Die größte Zahl entsteht, wenn an jeder Stelle der Mantisse die größte Ziffer (b-1) steht und der Exponent natürlich auch maximal ist.

Überlegen wir uns doch mal den Wert der größten darstellbaren Zahl:

$(b-1).(b-1) (b-1) [mm] \ldots [/mm] (b-1) [mm] *b^{e_{max}}$ [/mm]

Die erste Ziffer hat den Wert [mm] $1=b^0$ [/mm]
Die zweite Ziffer den Wert [mm] $b^{-1}$ [/mm]
Die dritte Ziffer den Wert [mm] $b^{-2}$ [/mm]
...
Die t-te Ziffer den Wert [mm] $b^{1-t}$ [/mm]

Die obige Zahl hat also insgesamt den Wert [mm] $\left( (b-1)*b^0+(b-1)*b^{-1}+(b-1)*b^{-2}+\ldots+(b-1)*b^{1-t} \right)*b^{e_{max}}$ [/mm]

Der Rest ist nur noch Formsache (habe es gerade ausgerechnet ;-)) wenn du dazu noch Tipps benötigst, melde dich bitte wieder :-)

Viel Erfolg,
Marc
Bezug
                
Bezug
Maschinenzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Di 05.10.2004
Autor: regine

Hallo,

> Die erste Ziffer hat den Wert [mm]1=b^0[/mm]
>  Die zweite Ziffer den Wert [mm]b^{-1}[/mm]
>  Die dritte Ziffer den Wert [mm]b^{-2}[/mm]
>  ...
>  Die t-te Ziffer den Wert [mm]b^{1-t}[/mm]

Wieso lautet denn diese letzte Zahl [mm]b^{1-t}[/mm] und nicht [mm]b^{t-1}[/mm]?

> Die obige Zahl hat also insgesamt den Wert [mm]\left( (b-1)*b^0+(b-1)*b^{-1}+(b-1)*b^{-2}+\ldots+(b-1)*b^{1-t} \right)*b^{e_{max}}[/mm]

Oha, wie rechne ich denn sowas aus? :-(

Danke und viele Grüße,
Regine.
Bezug
                        
Bezug
Maschinenzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Di 05.10.2004
Autor: Marc

Hallo Regine,

> > Die erste Ziffer hat den Wert [mm]1=b^0[/mm]
>  >  Die zweite Ziffer den Wert [mm]b^{-1}[/mm]
>  >  Die dritte Ziffer den Wert [mm]b^{-2}[/mm]
>  >  ...
>  >  Die t-te Ziffer den Wert [mm]b^{1-t}[/mm]
>  Wieso lautet denn diese letzte Zahl [mm]b^{1-t}[/mm] und nicht
> [mm]b^{t-1}[/mm]?

Darum! :-)

Nein, ich habe mir ja die ersten drei Ziffern angesehen,und mir überlegt, was das Bildungsgesetz für den Exponenten ist:
1. Ziffer [mm] $\rightarrow$ [/mm] Exponent 0 = 1-1
2. Ziffer [mm] $\rightarrow$ [/mm] Exponent -1 = 1-2
3. Ziffer [mm] $\rightarrow$ [/mm] Exponent -2 = 1-3

t. Ziffer [mm] $\rightarrow$ [/mm] Exponent -2 = 1-t

> > Die obige Zahl hat also insgesamt den Wert [mm]\left( (b-1)*b^0+(b-1)*b^{-1}+(b-1)*b^{-2}+\ldots+(b-1)*b^{1-t} \right)*b^{e_{max}}[/mm]
>  
> Oha, wie rechne ich denn sowas aus? :-(

Das ist ganz einfach, wenn du die Regelmäßigkeiten in diesem Term erkennst.

In jedem Summanden kommt b-1 vor [mm] $\Rightarrow$ [/mm] b-1 ausklammern:

[mm]=(b-1)*\left(b^0+b^{-1}+b^{-2}+\ldots+b^{1-t} \right)*b^{e_{max}}[/mm]

Nun haben wir eine Summe von Potenzen mit absteigendem Exponenten und gleicher Basis [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Auf die (endliche) geometrische Reihe zurückführen:

[mm]=(b-1)*\blue{b^{1-t}}*\left(\blue{b^{t-1}}*b^0+\blue{b^{t-1}}*b^{-1}+\blue{b^{t-1}}*b^{-2}+\ldots+\blue{b^{t-1}}*b^{1-t} \right)*b^{e_{max}}[/mm]

[mm]=(b-1)*b^{1-t}*\left(b^{t-1}+b^{t-2}+b^{t-3}+\ldots+b^{0} \right)*b^{e_{max}}[/mm]

Nun ist [mm] $b^{t-1}+b^{t-2}+b^{t-3}+\ldots+b^{0}=\bruch{1-b^t}{1-b}$ [/mm] (das ist die endliche geometrische Summe) und das Endergebnis folgt.

Den letzten Schritt überlasse ich dir :-)

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                
Bezug
Maschinenzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:05 Mi 06.10.2004
Autor: regine


> Hallo Regine,
>  
>  1. Ziffer [mm]\rightarrow[/mm] Exponent 0 = 1-1
>  2. Ziffer [mm]\rightarrow[/mm] Exponent -1 = 1-2
>  3. Ziffer [mm]\rightarrow[/mm] Exponent -2 = 1-3
>  
> t. Ziffer [mm]\rightarrow[/mm] Exponent -2 = 1-t

Ok, so habe ich da gar nicht drüber nachgedacht. Ich hatte nur gedacht, daß die Mantisse ja die Länge $t$ hat und ich bis $t-1$ gehe. Und mich dann natürlich über die umgedrehte Reihenfolge gewundert.

> Nun ist [mm]b^{t-1}+b^{t-2}+b^{t-3}+\ldots+b^{0}=\bruch{1-b^t}{1-b}[/mm]
> (das ist die endliche geometrische Summe) und das Endergebnis folgt.
>  
> Den letzten Schritt überlasse ich dir :-)

Das ist ja nicht mehr schwer. :-)

Ich habe also [mm] $(b-1)*b^{1-t}*\bruch{1-b^t}{1-b}*b^{e_{max}}$. [/mm] Da kann ich ein wenig kürzen und komme dann auf [mm] $-b^{1-t}*(1-b^t)*b^{e_{max}}=(-b^{1-t}+b^{1-t}*b^t)*b^{e_{max}}$. [/mm]

Und dann komme ich endlich zum gesuchten Ergebnis: [mm] $(b-b^{1-t})*b^{e_{max}}$. [/mm]

Ich bedanke mich recht herzlich!!

Viele Grüße,
Regine.
Bezug
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