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Maß: Idee:)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Fr 03.11.2017
Autor: Son

Aufgabe
Sei f : Ω → Ω′ eine Abbildung zwischen zwei metrischen Räumen (Ω, d) und (Ω′, d′). Man kann zeigen: Wenn f stetig ist, dann ist f automatisch (Ω,Ω′)-messbar . Dies ist für Teilaufgabe (b) der folgenden Aufgabe sehr hilfreich.

a) Geben Sie einen vollständigen Maßraum an, in dem ∅ die einzige Nullmenge ist.
b) Sei M ⊆ [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie: Wenn M × {0} ∈ [mm] B(\IR^2) [/mm] gilt, dann gilt M ∈ [mm] B(\IR). [/mm]
c) Sei M ⊆ [mm] \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass M ×{0} ∈ [mm] L(\IR^2) [/mm] ist und dass λ2(M ×{0}) = 0 gilt (wobei λ2 : [mm] L(\IR^2) [/mm] → [0, ∞] das Lebesgue-Maß bezeichnet).

Könntet ihr mir bitte zu den Aufgaben b) und c) ein paar Ansätze sagen?
und ich hab zu der a) eine Frage: wäre diese Antwort auf die Frage richtig?: Maßraum: [mm] (omega,\mathcal{A},\mu) [/mm] mit omega={0,1}, [mm] \mathcal{A}={\emptyset,omega} [/mm] und [mm] \mu(\emptyset)=0. [/mm]
Danke im Voraus;)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:29 Sa 04.11.2017
Autor: fred97


> Sei f : Ω → Ω′ eine Abbildung zwischen zwei
> metrischen Räumen (Ω, d) und (Ω′, d′). Man kann
> zeigen: Wenn f stetig ist, dann ist f automatisch
> (Ω,Ω′)-messbar . Dies ist für Teilaufgabe (b) der
> folgenden Aufgabe sehr hilfreich.
>  
> a) Geben Sie einen vollständigen Maßraum an, in dem ∅
> die einzige Nullmenge ist.
> b) Sei M ⊆ [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie: Wenn M × {0} ∈ [mm]B(\IR^2)[/mm]
> gilt, dann gilt M ∈ [mm]B(\IR).[/mm]
> c) Sei M ⊆ [mm]\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass M ×{0} ∈ [mm]L(\IR^2)[/mm] ist
> und dass λ2(M ×{0}) = 0 gilt (wobei λ2 : [mm]L(\IR^2)[/mm] →
> [0, ∞] das Lebesgue-Maß bezeichnet).
>  Könntet ihr mir bitte zu den Aufgaben b) und c) ein paar
> Ansätze sagen?
> und ich hab zu der a) eine Frage: wäre diese Antwort auf
> die Frage richtig?: Maßraum: [mm](omega,\mathcal{A},\mu)[/mm] mit
> omega={0,1}, [mm]\mathcal{A}={\emptyset,omega}[/mm] und
> [mm]\mu(\emptyset)=0.[/mm]
>  Danke im Voraus;)

Zu b): Definiere [mm] $f:\IR \to \IR^2$ [/mm] durch f(x)=(x,0).  f ist stetig und somit [mm] (B(\IR),B(\IR^2))- [/mm] messbar.

Ist also M × {0} ∈ $ [mm] B(\IR^2) [/mm] $ , so ist [mm] f^{-1}( [/mm] M × {0}) [mm] \in [/mm] B( [mm] \IR). [/mm]

Berechne mal  [mm] f^{-1}( [/mm] M × {0})

Ansatz zu c). Zeige zunächst, dass [mm] \IR \times \{0\} \in B(\IR^2) [/mm] ist und dass [mm] \lambda_2( \IR \times \{0\})=0 [/mm] ist.

Da der Maßraum ( [mm] \IR^2, L(\IR^2), \lambda_2) [/mm] vollständig ist, folgt das Gewünschte.


>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Sa 04.11.2017
Autor: Son

OKay danke!! hat mir sehr geholfen:)))
Ich wollte noch fragen, ob die Menge [mm] \IR [/mm] x{0} eine abzählbare Menge ist... Weil [mm] \IR [/mm] ja eigentlich überabzählbar ist. Also es gibt da einen Satz aus der Vorlesung dass wenn eine menge albzählbar ist, dass dann [mm] \lambda(Menge)=0 [/mm] ist.

Bezug
                        
Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Sa 04.11.2017
Autor: fred97


> OKay danke!! hat mir sehr geholfen:)))
>  Ich wollte noch fragen, ob die Menge [mm]\IR[/mm] x{0} eine
> abzählbare Menge ist...


Nein, natürlich nicht,  die Antwort gibst du ja selbst :


> Weil [mm]\IR[/mm] ja eigentlich
> überabzählbar ist.


> Also es gibt da einen Satz aus der
> Vorlesung dass wenn eine menge albzählbar ist, dass dann
> [mm]\lambda(Menge)=0[/mm] ist.

Nicht alles ist umkehrbar: wenn es regnet ist der Rasen in unserem Garten nass.
Neulich war ein Stück des Rasens nass, geregnet hat es aber nicht. Unser Hund hat ins Gras gepisst!




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Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Sa 04.11.2017
Autor: Son

[mm] \lambda^2(\IR\times{0})=\lambda(\IR)* \lambda({0})=\infty [/mm] *0=0.
Geht das?

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Bezug
Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Sa 04.11.2017
Autor: fred97


> [mm]\lambda^2(\IR\times{0})=\lambda(\IR)* \lambda({0})=\infty[/mm]
> *0=0.
>  Geht das?

Wenn ihr Produktmaße schon hattet ja, wenn nicht,musst du dir etwas anderes einfallen lassen


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Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Sa 04.11.2017
Autor: Son

Nein, Produktmaß hatten wir noch nicht... Wie könnte ich es noch zeigen?

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Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:37 Sa 04.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sei [mm] $A_n [/mm] = [-n,n]$, dann ist offensichtlich [mm] $\IR [/mm] = [mm] \bigcup_{n\in \IN} A_n$ [/mm] und [mm] $(A_n)$ [/mm] ist eine monoton wachsende Mengenfolge.

Dann ist aber auch [mm] $A_n \times \{0\}$… [/mm] mach mal alleine weiter.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
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Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:36 Mo 06.11.2017
Autor: Son

Ok danke an allen!! Hat mir sehr geholfen!!

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