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Maßerhaltende Abbildungen: Verständnisfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:03 Fr 28.04.2017
Autor: Laura22

Hallo zusammen,

ich habe eine Verständnisfrage: Angenommen ich habe eine Fläche X, z.B. die abgeschlossene Kreisscheibe (glatte 2-Mgf.), die Standardvolumenform [mm] \omega [/mm] auf der Fläche und eine den Flächeninhalt erhaltende Abbildung f:X [mm] \to [/mm] X (d.h. [mm] f^{\*}\omega=\omega). [/mm] Nun würde ich gerne beweisen, dass:

Behauptung: [mm] f^{\*}\omega=\omega [/mm] für [mm] \omega [/mm] = Standardvolumenform auf X [mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt ein positives, endliches Maß [mm] \mu [/mm] auf X, welches f erhält

Zunächst einmal:Eine maßerhaltende Abbildung f ist doch folgendermaßen definiert, oder? (jedenfalls ergibt das für mich gerade Sinn so :D)
[mm] \mu(f^{-1}(U))=\mu(U) [/mm] für jedes U der [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf X.

Eigene Idee:
Kann man sich nicht eh immer aus der Volumenform ein positives, endliches Maß durch
[mm] \mu|U [/mm] = [mm] \integral_{U} \omega [/mm] für alle Teilmengen U der [mm] \sigma-Algebra [/mm]
konstruieren? Wenn nicht, wann würde das denn nicht klappen?
Wenn man obigen Schritt machen darf, könnte man bestimmt auch sowas machen:
[mm] \mu(f^{-1}(U)) [/mm] = [mm] \integral_{f^{-1}(U)} \omega [/mm] = [mm] \integral_{U} f^{\*}\omega [/mm] = [mm] \mu(U), [/mm] weil f ja Flächeninhalt erhaltend war. Ergibt das für euch so Sinn?
Ich bedanke mich für jedes bisschen Hilfe!!!
Lg Laura

        
Bezug
Maßerhaltende Abbildungen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 30.04.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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