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Mathewettbewerb Übungsaufgabe: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Di 08.11.2011
Autor: Michel_

Aufgabe
[mm] F(x)=(9^x/(9^x+3)) [/mm]

Nun soll man zeigen: F(x)+F(1-x)=1

und berechnen: F((1/2011))+F((2/2011))+...+F((2010/2011))


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Also bei der a) hab ich soweit angefangen:
[mm] (9^x/9^x+3)+(9^{x-1}/9^{x-1}+3)=1 [/mm]
Hab ein wenig umgeformt, kann aber nicht behaupten, dass es mich weiterbringt. Was soll am Ende überhaupt stehen? 1=1. Oder kann es auch noch anders beweisen.

Bei der b) würde ich das Mittel ausrechnen und dann halt mal nehmen. F((1/2011))+F((2010/2011)). Das dann mal 2010Halbe. Aber das wird nicht sehr genau sein.

Bin für Lösungsansätze dankbar.


        
Bezug
Mathewettbewerb Übungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Di 08.11.2011
Autor: kamaleonti

Moin,
> [mm]F(x)=(9^x/(9^x+3))[/mm]
>  
> Nun soll man zeigen: F(x)+F(1-x)=1
>  
> und berechnen: F((1/2011))+F((2/2011))+...+F((2010/2011))
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>  Also bei der a) hab ich soweit angefangen:
>  [mm](9^x/9^x+3)+(9^{x-1}/9^{x-1}+3)=1[/mm]
>  Hab ein wenig umgeformt, kann aber nicht behaupten, dass
> es mich weiterbringt. Was soll am Ende überhaupt stehen?
> 1=1. Oder kann es auch noch anders beweisen.

Einfach Nachrechnen:

    [mm] F(x)+F(1-x)=\frac{9^x}{9^{x}+3}+\frac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}=2-\frac{3}{9^{x}+3}-\frac{3}{9^{1-x}+3}=2-\frac{3(9^{x}+3)+3(9^{1-x}+3)}{(9^{x}+3)(9^{1-x}+3)}=\ldots=1 [/mm]

>  
> Bei der b) würde ich das Mittel ausrechnen und dann halt
> mal nehmen. F((1/2011))+F((2010/2011)). Das dann mal
> 2010Halbe. Aber das wird nicht sehr genau sein.

Doch, es ist eine gute Idee immer F(i/2011) und F((2011-i)/2011) zusammenzufassen, da  F(i/2011)+F((2011-i)/2011)=1 für [mm] i=1,\ldots,1005. [/mm]

LG

Bezug
                
Bezug
Mathewettbewerb Übungsaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Di 08.11.2011
Autor: Michel_

Ich verstehe nicht so ganz, wie du umformst. Wie bekommst oben im Bruch jeweils 3 und wo komm die 2- her? Kannst du vl. mir nocheinmal einpaar zwischenschritte zeigen?

LG Michel

Bezug
                        
Bezug
Mathewettbewerb Übungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Di 08.11.2011
Autor: kamaleonti


> Ich verstehe nicht so ganz, wie du umformst. Wie bekommst
> oben im Bruch jeweils 3 und wo komm die 2- her? Kannst du
> vl. mir nocheinmal einpaar zwischenschritte zeigen?

Das folgt aus

      [mm] \frac{9^x}{9^x+3}=\frac{9^x+3-3}{9^x+3}=1-\frac{3}{9^x+3} [/mm]

und analog [mm] \frac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}=1-\frac{3}{9^{1-x}+3}. [/mm]

LG

Bezug
                                
Bezug
Mathewettbewerb Übungsaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:37 Di 08.11.2011
Autor: Michel_

Vielen Dank, jetzt versteh ich es.

Gruß Michel

Bezug
        
Bezug
Mathewettbewerb Übungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Sa 12.11.2011
Autor: Infostudent


>  Also bei der a) hab ich soweit angefangen:
>  [mm](9^x/9^x+3)+(9^{x-1}/9^{x-1}+3)=1[/mm]
>  Hab ein wenig umgeformt, kann aber nicht behaupten, dass
> es mich weiterbringt. Was soll am Ende überhaupt stehen?
> 1=1. Oder kann es auch noch anders beweisen.

Das stimmt so nicht. Wie kommst du erstens auf [mm] $9^{x-1}$? [/mm] Wenn die Aufgabenstellung stimmt, muss es jeweils [mm] $9^{1-x}$ [/mm] heißen. Des Weiteren gilt im Allgemeinen nicht $a/(b+c) = (a/b)+c$. Und zeigen sollst du das was da steht: F(x)+F(1-x)=1. Im Rahmen deiner Rechnung sollte man dann nachvollziehen können, wie sich die linke Seite schrittweise zu 1 umrechnet.
  

> Bei der b) würde ich das Mittel ausrechnen und dann halt
> mal nehmen. F((1/2011))+F((2010/2011)). Das dann mal
> 2010Halbe. Aber das wird nicht sehr genau sein.
>  
> Bin für Lösungsansätze dankbar.
>  

Dann müsstest du begründen, warum du diese Rechnung so machen darfst und es ist eine exakte Lösung gesucht. Solche mehrschrittigen Aufgabenstellungen schreien immer danach, dass man einen der ersten Teile für einen der späteren braucht. Könnte das hier auch so sein?


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