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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Matrix definiert Skalarprodukt
Matrix definiert Skalarprodukt < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrix definiert Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Mo 18.07.2016
Autor: Fjury

Aufgabe
Weisen Sie nach, dass die Matrix :

[mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & 5 } [/mm] durch < x,y >_{A} := <Ax,y> ein Skalarprodukt auf [mm] \IR^2 [/mm] definiert.


Hi, bei dieser Frage habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen muss...

Bitte um eine einfache Instruktion, was man hier machen muss :)

LG Adrian

        
Bezug
Matrix definiert Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 Mo 18.07.2016
Autor: fred97


> Weisen Sie nach, dass die Matrix :
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] durch < x,y >_{A} := <Ax,y> ein
> Skalarprodukt auf [mm]\IR^2[/mm] definiert.
>  Hi, bei dieser Frage habe ich keine Ahnung wie ich
> vorgehen muss...
>  
> Bitte um eine einfache Instruktion, was man hier machen
> muss :)

Ich schreibe [mm] \langle *,*\rangle [/mm] statt  [mm] \langle *,*\rangle_A [/mm]

Zeige:


[mm] \langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle [/mm]


[mm] \langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle [/mm]

[mm] \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle [/mm]

[mm] \langle x,x\rangle\geq0 [/mm]


[mm] \langle x,x\rangle=0 [/mm] genau dann, wenn x=0.

FRED

>  
> LG Adrian


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Bezug
Matrix definiert Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Mo 18.07.2016
Autor: Fjury


> > Weisen Sie nach, dass die Matrix :
>  >  
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] durch < x,y >_{A} := <Ax,y> ein
> > Skalarprodukt auf [mm]\IR^2[/mm] definiert.
>  
> Ich schreibe [mm]\langle *,*\rangle[/mm] statt  [mm]\langle *,*\rangle_A[/mm]
>  
> Zeige:
>  
>
> [mm]\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle[/mm]
>  
>
> [mm]\langle x,\lambda y\rangle=\lambda\langle x,y\rangle[/mm]
>  
> [mm]\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle[/mm]
>  
> [mm]\langle x,x\rangle\geq0[/mm]
>  
>
> [mm]\langle x,x\rangle=0[/mm] genau dann, wenn x=0.
>  

Danke dir, aber

Ich kann mit dem Ergebnis nicht viel anfangen, was sagt <x,x> = 0 jetzt aus? Ist die Frage damit schon nachgewiesen?

> FRED
>  
> >  

> > LG Adrian
>  


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Matrix definiert Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:13 Mo 18.07.2016
Autor: chrisno

Fred hat Dir nicht nur eine, sondern eine Reihe von Nachweisen aufgetragen.
Du musst die Definition eines Skalarprodukts hinschreiben und dann Stück für Stück überprüfen, ob sie erfüllt ist. Also fang an: .. Ein Skalarprodukt ist ...

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Matrix definiert Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Di 19.07.2016
Autor: Fjury

Ach jetzt seh ichs erst... Die Definition des Skalarprodukts und da dann die Matrix quasi einsetzen...
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Matrix definiert Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 Di 19.07.2016
Autor: Fjury

So, also jetzt

<Ax,y> = (4x1 +x2)y1 + (x1 +5x2)y2 = 4x1y1 + x2y1 + x1y2 +5x2y2
<Ay,x> = (4y1 +y2)x1 + (y1 +5y2)x2 = 4y1x1 +y2x1 + y1x2 + 5y2x2

=> <Ax,y> = <Ay,x>

[mm] <\lambda [/mm] Ax,y> = [mm] \lambda [/mm] <Ax,y>

[mm] \lambda [/mm] (4x1 + x2) y1 + [mm] \lambda [/mm] (x1 + 5x2)y2 = [mm] \lambda [/mm] ((4x1+x2)y1 +( x1+5x2)y2)

Damit [mm] <\lambda [/mm] Ax,y> = [mm] \lambda [/mm] <Ax,y>


<A(x+z),y> = <Ax,y> + <Az,y>

(4(x1+z1)+(x2+z2))y1 + ((x1+z1)+5(x2+z2))y2
=((4x1 + x2)y1 + (x1 + 5x2)y2)+((4z1+z2)y1 +(z1+5z2)y2)

Damit <A(x+z),y> = <Ax,y> + <Az,y>


Aber bei [mm] \ge [/mm] 0 und <Ax,x> = 0 <=> x=0

weiß ich grad ned richtig weiter, wie ich das mache. Kann mir da wer unter die Arme greifen?

Gruß Adrian

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Matrix definiert Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Di 19.07.2016
Autor: Leopold_Gast

Den Index [mm]A[/mm] beim "Skalarprodukt" einfach wegzulassen, wie von fred97 vorgeschlagen, ist hier nicht ungefährlich, da die eckigen Klammern ohne Index jetzt einmal für das Standardskalarprodukt stehen, das andere Mal für das neue "Skalarprodukt", das sich ja erst noch als solches zu erweisen hat. Ich denke, fred97 hat hier nur abstrakt auf die Eigenschaften eines Skalarprodukts hingewiesen. Da durfte er den Index [mm]A[/mm] auch weglassen. Beim konkreten Nachrechnen der Eigenschaften sollte der Index [mm]A[/mm] jetzt aber geschrieben werden, um Verwechslungen mit dem Standardskalarprodukt (ohne Index) zu vermeiden.

Ein Tip zur Vereinfachung der Rechnungen. Das Standardskalarprodukt kann als Matrizenprodukt geschrieben werden:

[mm]\langle x,y \rangle = x^{\top} \cdot y[/mm]

Für [mm]x,y[/mm] wird dabei die Spaltenschreibweise angenommen, [mm]x^{\top}[/mm] steht für den transponierten Vektor, ist also ein Zeilenvektor. Die Regeln, die für das Addieren, Multiplizieren und Transponieren von Matrizen gelten, können jetzt eingesetzt werden, um die Rechnungen zu vereinfachen und es insbesondere zu vermeiden, alles immer bis auf die Koordinaten herunterbrechen zu müssen. (Im übrigen scheinen mir deine Koordinatenrechnungen nicht zu stimmen, ohne daß ich jetzt alles im Detail nachgerechnet hätte.)

Lange Rede, kurzer Sinn. Für

[mm]\langle x,y \rangle_A = \left( Ax \right)^{\top} y = x^{\top} A^{\top} y[/mm]

sind die Eigenschaften eines Skalarprodukts nachzuweisen. Beginnen wir mit dem Nachweis von [mm]\langle x+y,z \rangle_A = \langle x,z \rangle_A + \langle y,z \rangle_A[/mm]:

[mm]\langle x+y,z \rangle_A = (x+y)^{\top} A^{\top} z = \left( x^{\top} + y^{\top} \right) A^{\top} z = x^{\top} A^{\top} z + y^{\top} A^{\top} z = \langle x,z \rangle_A + \langle y,z \rangle_A[/mm]

Du siehst, wie einfach das wird. Nicht einmal die konkrete Bedeutung von [mm]A[/mm] war für den Nachweis vonnöten.
Oder die Symmetrie. Da wird verwendet, daß das Transponieren eines Skalars [mm]\mu[/mm] diesen nicht verändert: [mm]\mu^{\top} = \mu[/mm]. Damit kann der Nachweis folgendermaßen erbracht werden:

[mm]\langle x,y \rangle_A = \underbrace{x^{\top} A^{\top} y}_{\mu} = \left( x^{\top} A^{\top} y \right)^{\top} = y^{\top} A x = \langle y,x \rangle_A[/mm]

Jetzt zur positiven Definitheit:

[mm]\langle x,x \rangle_A = x^{\top} A^{\top} x[/mm]

Erst hier kommt es auf die konkrete Bedeutung von [mm]A[/mm] an. Da wirst du wohl um eine Koordinatenrechnung nicht herumkommen. Ich habe

[mm]\langle x,x \rangle_A = {x_1}^2 + 5x_1x_2 + 4{x_2}^2[/mm]

Und beim Nachweis der positiven Definitheit habe ich einmal [mm]x_1 = -1, \ x_2 = 1[/mm] eingesetzt ... und ein blaues Wunder erlebt ...

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Matrix definiert Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Di 19.07.2016
Autor: Fjury

Geht das auch so wie ichs gemacht habe? Das wäre super -.-

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Matrix definiert Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:47 Di 19.07.2016
Autor: chrisno

Dein Weg geht, "zu Fuß" eben.

Zu den letzten Punkten:
Du hast schon <Ax,y> = ... = 4x1y1 + x2y1 + x1y2 +5x2y2
Du brauchst <Ax,x> = ....
also ersetzt Du y1 durch x1 und y2 durch x2
Dann einmal etwas auseinandersortieren (binomische Formel) und es steht eine Summe aus Quadraten da.
Also ist <Ax,x> >= 0 und der Fall =0 tritt nur ein, wenn alle dieser Quadrate Null sind. Das passiert nur, wenn x1 = x2 = 0


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Matrix definiert Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:50 Mi 20.07.2016
Autor: Leopold_Gast

Aufgabe
Fragesteller ändert Grunddaten kommentarlos.

Das finde ich ja lustig. Auf einmal heißt die Matrix [mm]\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}[/mm]. Bisher hieß sie [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}[/mm]. Ziemlich unverschämt.

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Matrix definiert Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Mi 20.07.2016
Autor: Fjury

Wie schon erwähnt, war das ein Fehler meinerseits, dass ich einfach die Standardeinheiten benutzt habe in der Frage, allerdings die richtigen Werte schon immer in den Antworten benutzt habe...

Da jeder die anschließenden Werte benutzt hat, ist daraus ja nichts negatives erwachsen ^^

Bezug
                                                                
Bezug
Matrix definiert Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:21 Mi 20.07.2016
Autor: Leopold_Gast

Egal ist das alles keineswegs. Ich hatte zum Beispiel in meinem ersten Beitrag vermerkt, daß deine Rechnungen vermutlich falsch sind. Und ob die Bilinearform positiv definit ist oder nicht, hängt ganz von der konkreten Matrix ab. Mit der Matrix 1 2 3 4, von der ich ausgegangen war, ist die Bilinearform keineswegs positiv definit, wie ich auch im letzten Satz meines ersten Beitrags angedeutet habe.
Du hast also durch die Verwendung falscher Daten ziemlich viel Verwirrung in die Geschichte gebracht.

Bezug
                                                        
Bezug
Matrix definiert Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Mi 20.07.2016
Autor: Fjury

Hi, ja das tut mir Leid, dass ich keine Nachricht hinterlassen habe, dass ich die Werte nachträglich ändern musste.

Da ich derzeit ziemlich unter Druck stehe hab bitte das nachsehen ^^.
Hat ja auch so geklappt.

Grüße

Bezug
                                                
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Matrix definiert Skalarprodukt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 Mi 20.07.2016
Autor: Fjury

Ah stimmt, danke dir ^^. Hoffe ich bekomme das dann auch so in der klausur hin...

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