matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - MatrizenMatrix existent?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrix existent?
Matrix existent? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Matrix existent?: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Mi 09.04.2014
Autor: Kegorus

Aufgabe
Gibt es eine Matrix A aus R^2x2 mit

[mm] exp(A)=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm]

Wenn es so ein A gibt, dann ist A keine Diagmatrix, da exp(A) in der Diag positive Einträge hätte.
Ich glaube nicht dass es so eine Matrix gibt, aber mir gelingt der Beweis einfach nicht..
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!

        
Bezug
Matrix existent?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:07 Do 10.04.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Gibt es eine Matrix A aus R^2x2 mit
>  
> [mm]exp(A)=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
>  Wenn es so ein A gibt,
> dann ist A keine Diagmatrix, da exp(A) in der Diag positive
> Einträge hätte.
>  Ich glaube nicht dass es so eine Matrix gibt, aber mir
> gelingt der Beweis einfach nicht..
>  Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!


Guten Morgen, Kegorus

ein kurzer Blick in []Wikipedia liefert:

Eigenschaften:

Eine Matrix hat einen Logarithmus genau dann, wenn sie invertierbar ist. Dieser Logarithmus kann eine nicht-reelle Matrix sein, selbst wenn alle Einträge in der Matrix reelle Zahlen sind. In diesem Fall ist der Logarithmus nicht eindeutig.

Berechnung des Logarithmus einer diagonalisierbaren Matrix

Im Folgenden wird eine Methode beschrieben, ln A für ein diagonalisierbare Matrix A zu berechnen:

    Ermittle die Matrix V von Eigenvektoren von A (jede Spalte von V ist ein Eigenvektor von A).
    Berechne die Inverse V−1 von V.
    Sei
    A' = [mm] V^{-1} [/mm] A [mm] V.\, [/mm]
    Dann ist A′ eine diagonale Matrix, deren diagonale Elemente Eigenwerte von A sind.
    Ersetze jedes diagonale Element von A′ durch dessen natürlichen Logarithmus um [mm] \ln [/mm] A' zu erhalten.
    Dann gilt [mm] \ln [/mm] A = V ( [mm] \ln [/mm] A' ) [mm] V^{-1}. \, [/mm]

Dass der Logarithmus von A komplex sein kann, obwohl A reell ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass eine reelle Matrix komplexe Eigenwerte haben kann (dies gilt zum Beispiel für Rotationsmatrizen). Die Nichteindeutigkeit des Logarithmus folgt aus der Nichteindeutigkeit des Logarithmus einer komplexen Zahl.


Hilft das ?

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Matrix existent?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:25 Do 10.04.2014
Autor: Kegorus

Ja das hilft mir sehr, vielen dank!
In meinem bsp hätte A logarithem von negativen zahlen in der diag
, also existiert sie nicht.

Bezug
                        
Bezug
Matrix existent?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:15 Fr 11.04.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Ja das hilft mir sehr, vielen dank!
>  In meinem bsp hätte A logarithem von negativen zahlen in
> der diag
>  , also existiert sie nicht.  


Falls du als Lösungen nur Matrizen mit reellen Werten
zulassen willst, ist dies richtig. Und wenn ich mir die
Aufgabenstellung nochmals anschaue, stand da wirklich
(mit korrigierter Schreibweise):

"Gibt es eine Matrix A aus [mm] $\IR^2\ [/mm] =\ [mm] \IR\,\times\,\IR$ [/mm]  mit $ [mm] exp(A)=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -4 } [/mm] $ ?"


Ich glaube aber nicht, dass diese Aufgabe in einem
Umfeld gestellt wurde, wo ganz grundsätzlich nur
reelle Matrizen betrachtet werden sollen.

Die gegebene Matrix M ist ganz offensichtlich invertierbar
und hat deswegen (in [mm] \IC\,\times\,\IC) [/mm] auch einen (allerdings nicht
eindeutig festlegbaren) "Logarithmus" , also eine Matrix A
mit Elementen aus [mm] \IC [/mm] , so dass  exp(A) = M .
Nun kannst du einfach zeigen, dass eine derartige
Matrix A [mm] \in \IC\,\times\,\IC [/mm] (die du nach dem Rezept
aus Wikipedia berechnen kannst)  jedenfalls nicht nur rein
reelle Komponenten haben kann und darum nicht
zu [mm] \IR\,\times\,\IR [/mm]  gehört.

Eine derartige Lösung wird wohl besser bewertet als
die gar knappe Antwort "negative Zahlen haben keinen
Logarithmus, also geht es nicht".

LG ,   Al-Chw.


Bezug
        
Bezug
Matrix existent?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:43 Do 10.04.2014
Autor: chrisno

Du solltest die Antwort von Al-Chwarizmi genau lesen. Hast Du
"Eine Matrix hat einen Logarithmus genau dann, wenn sie invertierbar ist."
registriert?

Bezug
        
Bezug
Matrix existent?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:15 So 13.04.2014
Autor: fred97


> Gibt es eine Matrix A aus R^2x2 mit

R^2x2  soll wohl [mm] \IR^{2 \times 2} [/mm]  sein, allso die Menge der reellen 2 [mm] \times [/mm] 2 -Matrizen.



>  
> [mm]exp(A)=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -4 }[/mm]
>  Wenn es so ein A gibt,
> dann ist A keine Diagmatrix, da exp(A) in der Diag positive
> Einträge hätte.
>  Ich glaube nicht dass es so eine Matrix gibt, aber mir
> gelingt der Beweis einfach nicht..
>  Wäre super wenn mir jemand helfen könnte!

Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] e^{\lambda} [/mm] ein Eigenwert von exp(A)

Das sollte schnell helfen.

FRED


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]