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Matrixmenge Gruppenbeweis: Ganzzahlige 2x2 Matrizen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:13 Sa 06.01.2018
Autor: asg

Aufgabe
a) Sei [mm] $G_1$ [/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen $A$, für welche
- ganzzahlige inverse Matrizen [mm] $A^{-1}$ [/mm] existieren und
- gilt, dass $det(A) > 0$.

Zeigen Sie, dass [mm] $G_1$ [/mm] zusammen mit der Matrix-Multiplikation eine Gruppe bildet.

b) Sei [mm] $G_2$ [/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen $A$ mit $det(A) = 1$. Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm] $G_1 [/mm] = [mm] G_2$ [/mm] gilt.


Hallo zusammen und ein frohes neues Jahr,

bei a) muss ich ja die vier Gruppen-Axiome zeigen.

1. Abgeschlossenheit:
Seien $A, B [mm] \in G_1$ [/mm] mit $A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }$ [/mm] und $B = [mm] \pmat{ e & f \\ g & h }$ [/mm]

Hier muss ich ja zeigen, $A [mm] \cdot [/mm] B$:
i. ist wieder eine ganzzahlige 2x2 Matrix.
ii. ganzzahlige inverse Matrix hat
iii. [mm] $det(A\cdot [/mm] B) [mm] \gt [/mm] 0$

i. und iii. habe ich schon, aber die ii. Bedingung fällt mir schwer.
Für die inverse Matrix soll ja allgemein gelten:
$A [mm] \cdot A^{-1} [/mm] = [mm] A^{-1} \cdot [/mm] A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm]

Konkret würde es heißen:

$(A [mm] \cdot [/mm] B) [mm] \cdot [/mm] (A [mm] \cdot B)^{-1} [/mm] = (A [mm] \cdot B)^{-1} \cdot [/mm] (A [mm] \cdot [/mm] B) = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm]

Sei (A [mm] \cdot B)^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ q & r \\ s & t } [/mm]

Nun wenn ich alles einsetze und ausmultipliziere, komme ich nicht auf [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm]

Wie könnte ich es denn zeigen?

2. Neutrales Element: das ist die Einheitsmatrix [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }$ [/mm]
3. Inverses Element: Hier habe ich dasselbe Problem wie im 1.
4. Assoziativität: das habe ich durch Einsetzen und Ausmultiplizieren hinbekommen.

bei b) widerlege ich es, indem ich eine 2x2 Matrix $A$ mit $det(A) > 1$ nehme und zeige, dass $A [mm] \in G_1$ [/mm] gilt. Gleichzeitig gilt $A [mm] \not \in G_2$ [/mm] wegen $det(A) > 1$ und somit zeige ich [mm] $G_1 \not= G_2$. [/mm]


Wären meine Lösungen richtig bzw. wie kann ich die Inverse zeigen?

Danke für jede Hilfe

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Matrixmenge Gruppenbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:53 Sa 06.01.2018
Autor: donquijote


> a) Sei [mm]G_1[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm],
> für welche
>  - ganzzahlige inverse Matrizen [mm]A^{-1}[/mm] existieren und
>  - gilt, dass [mm]det(A) > 0[/mm].
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]G_1[/mm] zusammen mit der Matrix-Multiplikation
> eine Gruppe bildet.
>  
> b) Sei [mm]G_2[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm] mit
> [mm]det(A) = 1[/mm]. Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm]G_1 = G_2[/mm]
> gilt.
>  Hallo zusammen und ein frohes neues Jahr,
>  
> bei a) muss ich ja die vier Gruppen-Axiome zeigen.
>  
> 1. Abgeschlossenheit:
> Seien [mm]A, B \in G_1[/mm] mit [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und [mm]B = \pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]
>  
> Hier muss ich ja zeigen, [mm]A \cdot B[/mm]:
>  i. ist wieder eine
> ganzzahlige 2x2 Matrix.
>  ii. ganzzahlige inverse Matrix hat
>  iii. [mm]det(A\cdot B) \gt 0[/mm]
>  
> i. und iii. habe ich schon, aber die ii. Bedingung fällt
> mir schwer.

Es ist [mm](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/mm].
Damit ist klar, wenn A und B Inverse mit ganzzahligen Koeffizienten haben, so auch AB.

>  Für die inverse Matrix soll ja allgemein gelten:
>  [mm]A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> Konkret würde es heißen:
>  
> [mm](A \cdot B) \cdot (A \cdot B)^{-1} = (A \cdot B)^{-1} \cdot (A \cdot B) = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> Sei (A [mm]\cdot B)^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ q & r \\ s & t }[/mm]
>  
> Nun wenn ich alles einsetze und ausmultipliziere, komme ich
> nicht auf [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> Wie könnte ich es denn zeigen?
>  
> 2. Neutrales Element: das ist die Einheitsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> 3. Inverses Element: Hier habe ich dasselbe Problem wie im
> 1.

A und [mm]A^{-1}[/mm] haben nach Voraussetzung ganzzahlige Koeffizienten. Was bedeutet das für [mm]A^{-1}[/mm] ?

>  4. Assoziativität: das habe ich durch Einsetzen und
> Ausmultiplizieren hinbekommen.

Die Matrizenmultiplikation genügt immer dem Assoziativgestz. Das muss man nicht für jede Teilmenge einzeln nachrechnen.

>  
> bei b) widerlege ich es, indem ich eine 2x2 Matrix [mm]A[/mm] mit
> [mm]det(A) > 1[/mm] nehme und zeige, dass [mm]A \in G_1[/mm] gilt.
> Gleichzeitig gilt [mm]A \not \in G_2[/mm] wegen [mm]det(A) > 1[/mm] und somit
> zeige ich [mm]G_1 \not G_2[/mm].

Wenn du ein solches A konkret angeben kannst, wäre das ok. Ich bezweifle aber, dass dir das gelingt. Was würde denn für [mm]\det A^{-1}[/mm] gelten, wenn [mm]A\in G[/mm] und det A>1 wäre?

>  
>
> Wären meine Lösungen richtig bzw. wie kann ich die
> Inverse zeigen?
>  
> Danke für jede Hilfe
>  
> Viele Grüße
>  
> Asg


Bezug
                
Bezug
Matrixmenge Gruppenbeweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Sa 06.01.2018
Autor: asg

Hallo,

danke für die schnelle Hilfe.

> > a) Sei [mm]G_1[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm],
> > für welche
>  >  - ganzzahlige inverse Matrizen [mm]A^{-1}[/mm] existieren und
>  >  - gilt, dass [mm]det(A) > 0[/mm].
>  >  
> > Zeigen Sie, dass [mm]G_1[/mm] zusammen mit der Matrix-Multiplikation
> > eine Gruppe bildet.
>  >  
> > b) Sei [mm]G_2[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm] mit
> > [mm]det(A) = 1[/mm]. Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm]G_1 = G_2[/mm]
> > gilt.

> > 1. Abgeschlossenheit:
> > Seien [mm]A, B \in G_1[/mm] mit [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und [mm]B = \pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]
> >  

> > Hier muss ich ja zeigen, [mm]A \cdot B[/mm]:
>  >  i. ist wieder eine ganzzahlige 2x2 Matrix.
>  >  ii. ganzzahlige inverse Matrix hat
>  >  iii. [mm]det(A\cdot B) \gt 0[/mm]
>  >  
> > i. und iii. habe ich schon, aber die ii. Bedingung fällt mir schwer.
>  
> Es ist [mm](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/mm].
>  Damit ist klar, wenn A und B Inverse mit ganzzahligen
> Koeffizienten haben, so auch AB.
>  

Ah! ok. Das macht natürlich die Sache einfach.
In unserem Skript steht es leider nicht als Rechenregel/Definition. Es wurde nur einmal in einem Beweis kommentarlos verwendet. Dann verwende ich es auch.

> >  Für die inverse Matrix soll ja allgemein gelten:

>  >  [mm]A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> >  

> > Konkret würde es heißen:
>  >  
> > [mm](A \cdot B) \cdot (A \cdot B)^{-1} = (A \cdot B)^{-1} \cdot (A \cdot B) = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> >  

> > Sei (A [mm]\cdot B)^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ q & r \\ s & t }[/mm]
>  >  
> > Nun wenn ich alles einsetze und ausmultipliziere, komme ich
> > nicht auf [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  >  
> > Wie könnte ich es denn zeigen?
>  >  
> > 2. Neutrales Element: das ist die Einheitsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> >  

> > 3. Inverses Element: Hier habe ich dasselbe Problem wie im
> > 1.
>  
> A und [mm]A^{-1}[/mm] haben nach Voraussetzung ganzzahlige Koeffizienten. Was bedeutet das für [mm]A^{-1}[/mm] ?

Hmm - ich weiß nicht genau, worauf du hinaus willst. [mm]A^{-1}[/mm] ist ja eine ganzzahlige 2x2 Matrix. Meinst du das?

Muss ich denn eigentlich zeigen, dass es inverse Elemente zu jedem $A$ existiert? Das ist ja per Voraussetzung gegeben, wie du es auch angemerkt hast.
D. h. 3. entfällt?!?

> >  4. Assoziativität: das habe ich durch Einsetzen und Ausmultiplizieren hinbekommen.

>  
> Die Matrizenmultiplikation genügt immer dem
> Assoziativgestz. Das muss man nicht für jede Teilmenge
> einzeln nachrechnen.

Ok, im Skript habe ich es auch gerade gelesen. Dann ist es noch einfacher.

> >  

> > bei b) widerlege ich es, indem ich eine 2x2 Matrix [mm]A[/mm] mit
> > [mm]det(A) > 1[/mm] nehme und zeige, dass [mm]A \in G_1[/mm] gilt.
> > Gleichzeitig gilt [mm]A \not \in G_2[/mm] wegen [mm]det(A) > 1[/mm] und somit
> > zeige ich [mm]G_1 \not= G_2[/mm].
>  
> Wenn du ein solches A konkret angeben kannst, wäre das ok.
> Ich bezweifle aber, dass dir das gelingt.

Ich könnte die einfachste Matrix dazu nehmen:

[mm]A = \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] mit [mm]A^{-1} = \pmat{ \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] und [mm]det(A) = 2[/mm].
Somit ist [mm]A \in G_1[/mm] und [mm]A \not\in G_2 \Rightarrow G_1 \not= G_2[/mm]

Oder habe ich etwas übersehen?

> Was würde denn für [mm]\det A^{-1}[/mm] gelten, wenn [mm]A\in G[/mm] und det A>1 wäre?
>  

Du meinst [mm]A\in G_1[/mm]?

Das weiß ich leider nicht. Kannst du es mir bitte sagen?

Danke nochmals

Viele Grüße

Asg

Bezug
                        
Bezug
Matrixmenge Gruppenbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Mo 08.01.2018
Autor: donquijote


> Hallo,
>  
> danke für die schnelle Hilfe.
>  
> > > a) Sei [mm]G_1[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm],
> > > für welche
>  >  >  - ganzzahlige inverse Matrizen [mm]A^{-1}[/mm] existieren
> und
>  >  >  - gilt, dass [mm]det(A) > 0[/mm].
>  >  >  
> > > Zeigen Sie, dass [mm]G_1[/mm] zusammen mit der Matrix-Multiplikation
> > > eine Gruppe bildet.
>  >  >  
> > > b) Sei [mm]G_2[/mm] die Menge aller ganzzahligen 2x2 Matrizen [mm]A[/mm] mit
> > > [mm]det(A) = 1[/mm]. Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm]G_1 = G_2[/mm]
> > > gilt.
>  
> > > 1. Abgeschlossenheit:
> > > Seien [mm]A, B \in G_1[/mm] mit [mm]A = \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und [mm]B = \pmat{ e & f \\ g & h }[/mm]
>  
> > >  

> > > Hier muss ich ja zeigen, [mm]A \cdot B[/mm]:
>  >  >  i. ist
> wieder eine ganzzahlige 2x2 Matrix.
>  >  >  ii. ganzzahlige inverse Matrix hat
>  >  >  iii. [mm]det(A\cdot B) \gt 0[/mm]
>  >  >  
> > > i. und iii. habe ich schon, aber die ii. Bedingung fällt
> mir schwer.
>  >  
> > Es ist [mm](AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/mm].
>  >  Damit ist klar, wenn A und B Inverse mit ganzzahligen
> > Koeffizienten haben, so auch AB.
>  >  
>
> Ah! ok. Das macht natürlich die Sache einfach.
>  In unserem Skript steht es leider nicht als
> Rechenregel/Definition. Es wurde nur einmal in einem Beweis
> kommentarlos verwendet. Dann verwende ich es auch.

Sollte kein Problem sein, die Gültigkeit dieser Formel lässt sich relativ leicht einsehen.

>  
> > >  Für die inverse Matrix soll ja allgemein gelten:

>  >  >  [mm]A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> > >  

> > > Konkret würde es heißen:
>  >  >  
> > > [mm](A \cdot B) \cdot (A \cdot B)^{-1} = (A \cdot B)^{-1} \cdot (A \cdot B) = \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Sei (A [mm]\cdot B)^{-1}[/mm] = [mm]\pmat{ q & r \\ s & t }[/mm]
>  >  >  
> > > Nun wenn ich alles einsetze und ausmultipliziere, komme ich
> > > nicht auf [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  >  >  
> > > Wie könnte ich es denn zeigen?
>  >  >  
> > > 2. Neutrales Element: das ist die Einheitsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > 3. Inverses Element: Hier habe ich dasselbe Problem wie im
> > > 1.
>  >  
> > A und [mm]A^{-1}[/mm] haben nach Voraussetzung ganzzahlige
> Koeffizienten. Was bedeutet das für [mm]A^{-1}[/mm] ?
>  Hmm - ich weiß nicht genau, worauf du hinaus willst.
> [mm]A^{-1}[/mm] ist ja eine ganzzahlige 2x2 Matrix. Meinst du das?

A ist die inverse Matrix zu [mm]A^{-1}[/mm].
Damit liegt  [mm]A^{-1}[/mm] nach Definition auch in  [mm]G_1[/mm], wenn A in  [mm]G_1[/mm] liegt. Da muss dann nix mehr nachgerechnet werden.

>  
> Muss ich denn eigentlich zeigen, dass es inverse Elemente
> zu jedem [mm]A[/mm] existiert? Das ist ja per Voraussetzung gegeben,
> wie du es auch angemerkt hast.
>  D. h. 3. entfällt?!?
>  
> > >  4. Assoziativität: das habe ich durch Einsetzen und

> Ausmultiplizieren hinbekommen.
>  >  
> > Die Matrizenmultiplikation genügt immer dem
> > Assoziativgestz. Das muss man nicht für jede Teilmenge
> > einzeln nachrechnen.
>  
> Ok, im Skript habe ich es auch gerade gelesen. Dann ist es
> noch einfacher.
>  
> > >  

> > > bei b) widerlege ich es, indem ich eine 2x2 Matrix [mm]A[/mm] mit
> > > [mm]det(A) > 1[/mm] nehme und zeige, dass [mm]A \in G_1[/mm] gilt.
> > > Gleichzeitig gilt [mm]A \not \in G_2[/mm] wegen [mm]det(A) > 1[/mm] und somit
> > > zeige ich [mm]G_1 \not= G_2[/mm].
>  >  
> > Wenn du ein solches A konkret angeben kannst, wäre das ok.
> > Ich bezweifle aber, dass dir das gelingt.
>  
> Ich könnte die einfachste Matrix dazu nehmen:
>  
> [mm]A = \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] mit [mm]A^{-1} = \pmat{ \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> und [mm]det(A) = 2[/mm].
>  Somit ist [mm]A \in G_1[/mm] und [mm]A \not\in G_2 \Rightarrow G_1 \not= G_2[/mm]
>  
> Oder habe ich etwas übersehen?

Ja. Zum Beispiel, dass  [mm]\frac 12[/mm] keine ganze Zahl ist und deine Matrix damit nicht in  [mm]G_1[/mm] liegt.

>  
> > Was würde denn für [mm]\det A^{-1}[/mm] gelten, wenn [mm]A\in G[/mm] und
> det A>1 wäre?
>  >  
> Du meinst [mm]A\in G_1[/mm]?
>  
> Das weiß ich leider nicht. Kannst du es mir bitte sagen?

Es ist  [mm]\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}[/mm]. Wäre  [mm]\det A>1[/mm], so wäre  [mm]\det A^{-1}[/mm] nicht ganzzahlig. Dann kann aber  [mm]A^{-1}[/mm] keine ganzzahligen Koeffizienten haben und A damit nicht in  [mm]G_1[/mm] liegen.

>  
> Danke nochmals
>  
> Viele Grüße
>  
> Asg


Bezug
                                
Bezug
Matrixmenge Gruppenbeweis: Danke! [GELÖST]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:53 Mo 08.01.2018
Autor: asg

Hallo,

> > > Wenn du ein solches A konkret angeben kannst, wäre das ok.
> > > Ich bezweifle aber, dass dir das gelingt.
>  >  
> > Ich könnte die einfachste Matrix dazu nehmen:
>  >  
> > [mm]A = \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] mit [mm]A^{-1} = \pmat{ \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> > und [mm]det(A) = 2[/mm].
>  >  Somit ist [mm]A \in G_1[/mm] und [mm]A \not\in G_2 \Rightarrow G_1 \not= G_2[/mm]
> >  

> > Oder habe ich etwas übersehen?
>  
> Ja. Zum Beispiel, dass  [mm]\frac 12[/mm] keine ganze Zahl ist und
> deine Matrix damit nicht in  [mm]G_1[/mm] liegt.
>  

Ups! Ich bin auch blind :(

> >  

> > > Was würde denn für [mm]\det A^{-1}[/mm] gelten, wenn [mm]A\in G[/mm] und
> > det A>1 wäre?
>  >  >  
> > Du meinst [mm]A\in G_1[/mm]?
>  >  
> > Das weiß ich leider nicht. Kannst du es mir bitte sagen?
>  
> Es ist  [mm]\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}[/mm]. Wäre  [mm]\det A>1[/mm], so
> wäre  [mm]\det A^{-1}[/mm] nicht ganzzahlig. Dann kann aber  [mm]A^{-1}[/mm]
> keine ganzzahligen Koeffizienten haben und A damit nicht in [mm]G_1[/mm] liegen.
>  

Ah! - das wusste ich nicht. Jetzt leuchtet es mir ein.

Dankeschön nochmals

Viele Grüße

Asg

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