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Matrizengleichung; Äqv.relat.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 Sa 04.10.2014
Autor: geigenzaehler

Aufgabe
A, B sind nxn-Matrizen ueber einem Körper K

Zeige:
Dies ist eine Äquivalenzrelation:

A~B <=> es gibt eine invertierbare nxn-Matrix  mit A=S^(-1)BS

zunächst zur nachzuweisenden Symmetrie:

Es soll gelten
A~B => B~A und B~A => A~B.

Dabei stoße ich auf folgendes Problem - unabhängig davon, ob dies der richtige Ansatz für die Aufgabe ist:

Kann ich denn durch Äqivalenzumformungen von

A=S^(-1)BS nach B=S^(-1)AS kommen?

Versuch:

A=S^(-1)BS  --- beide Seiten *S^(-1) ->

AS^(-1)=S^(-1)BSS^(-1) --- mit SS^(-1)=1 ->

AS^(-1)=S^(-1)B

Kann ich jetzt einfach mit S durchmultiplizieren und auf beiden Seiten die Matrix S dort hinschreiben, wo ich will? Es sind ja immerhin quadratische Matrizen.

etwa so:
SAS^(-1)=SS^(-1)B <=> SAS^(-1)=B  ?

        
Bezug
Matrizengleichung; Äqv.relat.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Sa 04.10.2014
Autor: andyv

Hallo


>  zunächst zur nachzuweisenden Symmetrie:
>  
> Es soll gelten
> A~B => B~A und B~A => A~B.
>  
> Dabei stoße ich auf folgendes Problem - unabhängig davon,
> ob dies der richtige Ansatz für die Aufgabe ist:
>  
> Kann ich denn durch Äqivalenzumformungen von
>
> A=S^(-1)BS nach B=S^(-1)AS kommen?

Nein, musst du aber auch nicht.

>  
> Versuch:
>  
> A=S^(-1)BS  --- beide Seiten *S^(-1) ->
>  
> AS^(-1)=S^(-1)BSS^(-1) --- mit SS^(-1)=1 ->
>  
> AS^(-1)=S^(-1)B
>  
> Kann ich jetzt einfach mit S durchmultiplizieren und auf
> beiden Seiten die Matrix S dort hinschreiben, wo ich will?
> Es sind ja immerhin quadratische Matrizen.
>  
> etwa so:
>  SAS^(-1)=SS^(-1)B <=> SAS^(-1)=B  ?

Das ist richtig, also tut die invertierbare Matrix [mm] $S':=S^{-1}$ [/mm] das nötige.

Liebe Grüße


Bezug
                
Bezug
Matrizengleichung; Äqv.relat.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Sa 04.10.2014
Autor: geigenzaehler


> > Kann ich denn durch Äqivalenzumformungen von
> >
> > A=S^(-1)BS nach B=S^(-1)AS kommen?
>  
> Nein, musst du aber auch nicht.
>  >  
> > Versuch:
>  >  
> > A=S^(-1)BS  --- beide Seiten *S^(-1) ->
>  >  
> > AS^(-1)=S^(-1)BSS^(-1) --- mit SS^(-1)=1 ->
>  >  
> > AS^(-1)=S^(-1)B
>  >  
> > Kann ich jetzt einfach mit S durchmultiplizieren und auf
> > beiden Seiten die Matrix S dort hinschreiben, wo ich will?
> > Es sind ja immerhin quadratische Matrizen.
>  >  
> > etwa so:
>  >  SAS^(-1)=SS^(-1)B <=> SAS^(-1)=B  ?

>
> Das ist richtig, also tut die invertierbare Matrix
> [mm]S':=S^{-1}[/mm] das nötige.
>  
> Liebe Grüße
>  

Hallo, danke f d Antwort.

Oben sagst Du, ich könne nicht per Äqv.umformgen nach B=... kommen.
Dann forme ich um nach B=... und Du sagst "richtig."

Sind die Umformungen nun richtig oder falsch? Dazu nochmal:

> > Kann ich jetzt einfach mit S durchmultiplizieren und auf
> > beiden Seiten die Matrix S dort hinschreiben, wo ich will?
> > Es sind ja immerhin quadratische Matrizen.

Bezug
                        
Bezug
Matrizengleichung; Äqv.relat.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Sa 04.10.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Es ist alles in Ordnung. Du hast nur deinen Überblick verloren.
Du hast am Anfang gesagt, dass du folgendes zeigen willst:

      [mm] $A=S^{-1}BS\Longrightarrow \red{B=S^{-1}AS}$. [/mm]

Dann hast du es aber richtig gemacht und folgendes gezeigt:

      [mm] A=S^{-1}BS\Longrightarrow \green{B=SAS^{-1}}$. [/mm]

Ich hoffe, dass du nun den Unterschied merkst. ;-)


Gruß
DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Matrizengleichung; Äqv.relat.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:59 Sa 04.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
>
> Es ist alles in Ordnung. Du hast nur deinen Überblick
> verloren.
>  Du hast am Anfang gesagt, dass du folgendes zeigen
> willst:
>  
> [mm]A=S^{-1}BS\Longrightarrow \red{B=S^{-1}AS}[/mm].
>  
> Dann hast du es aber richtig gemacht und folgendes
> gezeigt:
>  
> [mm]A=S^{-1}BS\Longrightarrow \green{B=SAS^{-1}}$.[/mm]
>  
> Ich hoffe, dass du nun den Unterschied merkst. ;-)

und ich ergänze auch hier nochmal:
Um $B [mm] \sim [/mm] A$ zu beweisen, ist es hinreichend zu zeigen: Es existiert eine invertierbare
Matrix $T [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] mit

    [mm] $B=T^{-1}*A*\blue{T}\,.$ [/mm]

Oben steht nun, dass wir aus $A [mm] \sim [/mm] B$ folgern können, dass sich [mm] $B\,$ [/mm] schreiben
läßt als

    [mm] $B={(S^{-1})}^{-1}*A*(\blue{S^{-1}})\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Matrizengleichung; Äqv.relat.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Sa 04.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> A, B sind nxn-Matrizen ueber einem Körper K
>  
> Zeige:
>  Dies ist eine Äquivalenzrelation:
>  
> A~B <=> es gibt eine invertierbare nxn-Matrix  mit
> A=S^(-1)BS
>  zunächst zur nachzuweisenden Symmetrie:
>  
> Es soll gelten
> A~B => B~A und B~A => A~B.

das ist zwar korrekt, aber

    $A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $B [mm] \sim [/mm] A$

würde vollkommen ausreichen - denn wenn das bewiesen ist, ist auch

    $B [mm] \sim [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A [mm] \sim [/mm] B$

bewiesen, da man dafür dort nur die Rollen von [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm]
gegeneinander vertauschen muss.

Und der Beweis zu $A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $B [mm] \sim [/mm] A$ geht etwa wie folgt:

    $A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\Rightarrow$ $A=S^{-1}BS$ [/mm] mit einer invertierbaren Matrix $S [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm]

Mit

    [mm] $T:=S^{-1} \in K^{n \times n}$ [/mm]

ist [mm] $T\,$ [/mm] invertierbar und wegen

    [mm] $A=S^{-1}BS$ $\Rightarrow$ $SA=BS\,$ $\Rightarrow$ $SAS^{-1}=B$ [/mm]

    [mm] $\Rightarrow$ $B=T^{-1}AT$ [/mm] (beachte [mm] $S=T^{-1}$) [/mm]

folgt $B [mm] \sim A\,.$ [/mm]

Das war ja auch Deine Erkenntnis. Beachte übrigens:

    $A [mm] \sim [/mm] B$ [mm] $\gdw$ $\exists$ [/mm] invertierbare Matrix $S [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] mit [mm] $B=S^{-1}AS\,.$ [/mm]

Man könnte hier diese Matrix [mm] $S\,$ [/mm] als [mm] $S_{(A,B)}$ [/mm] schreiben (der Index ist
extra ein Paar [mm] $(A,B)\,,$ [/mm] weil dann i.a. $(A,B) [mm] \not=(B,A)\,$). [/mm]

Das bedeutet:
    $B [mm] \sim [/mm] A$ [mm] $\gdw$ $\exists$ [/mm] invertierbare Matrix $T [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] mit [mm] $A=T^{-1}BT\,.$ [/mm]

Kurzgesatz:

I.a. wird

    [mm] $S_{(A,B)} \not= S_{(B,A)}$ [/mm]

sein, oder noch besser gesagt: Es gibt keine Forderung der Art

    [mm] $S_{(A,B)} [/mm] = [mm] S_{(B,A)}\,.$ [/mm]

(Deswegen habe ich oben [mm] $S=S_{(A,B)}$ [/mm] und [mm] $T=S_{(B,A)}$ [/mm] geschrieben!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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