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Maximaler Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Sa 18.01.2014
Autor: rubi

Aufgabe
Gegeben ist das Schaubild der Funktion
[mm] f(x)=-0,1x^3-0,3x^2+0,4x+3,2 [/mm] sowie die Gerade y = -0,5x+0,5, jeweils für -3<=x<=3.
Welchen Abstand hat ein Punkt auf dem Schaubild von f(x) höchstens von der Gerade g?

Hallo zusammen,

ist folgender Lösungsweg möglich ?

Die Gerade hat die Steigung - 0,5.
Den gesuchten Punkt auf f(x) erhält man, indem man die Stelle sucht, bei der die Steigung -0,5 ist, also f'(x) = -0,5. Dies wäre für x = 1 der Fall.
Vom Punkt P(1/f(1)) kann dann ein Lot auf die Gerade aufgestellt werden und die Entfernung des Schnittpunktes S der Gerade und des Lotes vom Punkt P ist der maximale Abstand.

Danke für eure Rückmeldung.

Viele Grüße
Rubi

Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.

        
Bezug
Maximaler Abstand: Lösung unvollständig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Sa 18.01.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Gegeben ist das Schaubild der Funktion
>  [mm]f(x)=-0,1x^3-0,3x^2+0,4x+3,2[/mm] sowie die Gerade y =
> -0,5x+0,5, jeweils für -3<=x<=3.
>  Welchen Abstand hat ein Punkt auf dem Schaubild von f(x)
> höchstens von der Gerade g?
>  Hallo zusammen,
>
> ist folgender Lösungsweg möglich ?
>  
> Die Gerade hat die Steigung - 0,5.
> Den gesuchten Punkt auf f(x) erhält man, indem man die
> Stelle sucht, bei der die Steigung -0,5 ist, also f'(x) =
> -0,5. Dies wäre für x = 1 der Fall.
> Vom Punkt P(1/f(1)) kann dann ein Lot auf die Gerade
> aufgestellt werden und die Entfernung des Schnittpunktes S
> der Gerade und des Lotes vom Punkt P ist der maximale
> Abstand.
>
> Danke für eure Rückmeldung.
>  
> Viele Grüße
>  Rubi


Hallo rubi,

zwar vermute ich (nachdem ich mir die beiden Graphen
skizziert habe), dass du wohl mit deinem Ansatz den
Punkt des Graphen von f (im angegebenen Intervall
[-3 .. +3] ) findest, der den größtmöglichen Abstand
von der gegebenen Geraden besitzt.
Allerdings sind deine Überlegungen dazu keineswegs
ausreichend, insbesondere dann, wenn du dir über den
Verlauf der Graphen keinerlei weitere Gedanken gemacht
hast.

Beispielsweise gilt f'(x)=-0.5 nicht nur für einen x-Wert,
sondern auch noch für einen anderen. Außerdem könnte
ein Punkt des Graphen von f mit maximalem Abstand
von der Geraden allenfalls auch an einer Stelle liegen,
wo f'(x) nicht den Wert -0.5 hat.

Genau die Beachtung dieser Möglichkeiten werden wohl
(und hoffentlich !) bei der Bewertung deiner Lösung
ebenfalls eine ganz wichtige Rolle spielen !

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Maximaler Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:13 So 19.01.2014
Autor: rubi

Hallo Al-Chwarizmi,

vielen Dank für deine Antwort.
Dass f'(x) = -0,5 auch bei x = -3 angenommen wird, habe ich gesehen, da aber der Punkt auf der Geraden liegt, kann dies nicht der gesuchte Punkt sein (aber das muss man natürlich noch als Begründung hinschreiben).

Was mich etwas mehr verwirrt ist, dass du schreibst, dass der gesuchte Punkt auf f(x) auch ein Punkt sein kann, bei dem f'(x) nicht -0,5 sein muss.
Ist dies nur bei irgendwelchen speziellen Funktionen so, die an bestimmten Stellen z.B. nicht definiert sind oder kann das tatsächlich auch bei ganzrationalen Funktionen auftreten ?
Meine Idee war diese:
Wenn die Gerade g waagrecht wäre (also m = 0), würde der gesuchte Punkt auf f(x) dem Hochpunkt von f entsprechen, der in dem betroffenen Intervall liegt (bzw. einem Randmaximum).
Dieser Hochpunkt hat ja auch die Tangentensteigung 0.

Kann ich jetzt nicht einfach die Gerade und das Schaubild um eine bestimmte Gradzahl drehen um damit zu argumentieren, dass die Steigung der Tangente auch hier der Steigung der gegebenen Gerade entsprechen muss ?

Falls dem nicht so ist, wäre es schön, wenn ich hierzu ein einfaches Gegenbeispiel haben könnte, damit ich verstehe, dass diese Logik falsch ist.

Viele Grüße
Rubi

Bezug
                        
Bezug
Maximaler Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:51 So 19.01.2014
Autor: reverend

Hallo rubi,

Du gehst zu Unrecht davon aus, dass man nur Maxima oder Minima betrachten muss.

> Dass f'(x) = -0,5 auch bei x = -3 angenommen wird, habe ich
> gesehen, da aber der Punkt auf der Geraden liegt, kann dies
> nicht der gesuchte Punkt sein (aber das muss man natürlich
> noch als Begründung hinschreiben).

Stimmt.

> Was mich etwas mehr verwirrt ist, dass du schreibst, dass
> der gesuchte Punkt auf f(x) auch ein Punkt sein kann, bei
> dem f'(x) nicht -0,5 sein muss.
> Ist dies nur bei irgendwelchen speziellen Funktionen so,
> die an bestimmten Stellen z.B. nicht definiert sind oder
> kann das tatsächlich auch bei ganzrationalen Funktionen
> auftreten ?

Ja, das kann und tut es.

>  Meine Idee war diese:
> Wenn die Gerade g waagrecht wäre (also m = 0), würde der
> gesuchte Punkt auf f(x) dem Hochpunkt von f entsprechen,
> der in dem betroffenen Intervall liegt (bzw. einem
> Randmaximum).

Wenn ein Intervall gegeben wäre, dann wäre diese Interpretation richtig, sofern das Intervall kompakt ist und die Funktion auf dem ganzen Intervall stetig ist.

> Dieser Hochpunkt hat ja auch die Tangentensteigung 0.

Und die Randmaxima oder -minima?

> Kann ich jetzt nicht einfach die Gerade und das Schaubild
> um eine bestimmte Gradzahl drehen um damit zu
> argumentieren, dass die Steigung der Tangente auch hier der
> Steigung der gegebenen Gerade entsprechen muss ?
>
> Falls dem nicht so ist, wäre es schön, wenn ich hierzu
> ein einfaches Gegenbeispiel haben könnte, damit ich
> verstehe, dass diese Logik falsch ist.

Ok.
Nehmen wir die Funktion [mm] f(x)=x^3-3x+5 [/mm] und die Gerade y=3.

f(x) hat ein Maximum bei [mm] x_M=-1 [/mm] und ein Minimum bei [mm] x_m=+1. [/mm] Dazu gehören die Punkte (-1;7) und (1;3), wovon also einer auf der Geraden liegt, der andere ist 4 LE von der Geraden entfernt. Damit könnte man eine Lösung z.B. im Intervall [-2;2] begründen. Allerdings ist der Funktionswert am rechten Rand des Intervalls auch 7 - es gibt also zwei Punkte, die 4 LE von der Geraden entfernt liegen.

Jetzt nimm aber mal das Intervall [-4;+4]. Und dann [mm] [-\infty;+\infty], [/mm] also ganz [mm] \IR. [/mm]
Klickts?

Grüße
reverend

Bezug
        
Bezug
Maximaler Abstand: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 So 19.01.2014
Autor: rubi

Hallo zusammen,

in der Aufgabenstellung ist doch aber vorgegeben, dass -3 <=x <=3 gegeben ist, also ein kompaktes Intervall, auf dem f stetig ist.

Insofern gebe ich euch recht, dass man noch die Randfälle x = -3 und x =3 auf mögliche Randmaxima separat prüfen muss, aber ansonsten erkenne ich an meiner Argumentation keine Fehler.

Oder ?

Viele Grüße
Rubi


Bezug
                
Bezug
Maximaler Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 So 19.01.2014
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> in der Aufgabenstellung ist doch aber vorgegeben, dass -3
> <=x <=3 gegeben ist, also ein kompaktes Intervall, auf dem
> f stetig ist.

Oh. Das habe ich geflissentlich überlesen. Pardon.

> Insofern gebe ich euch recht, dass man noch die Randfälle
> x = -3 und x =3 auf mögliche Randmaxima separat prüfen
> muss, aber ansonsten erkenne ich an meiner Argumentation
> keine Fehler.

Dem muss ich weitestgehend zustimmen, außer dass eben am Rand die Bedingung f'(x)=-0,5 nicht zutreffen muss.

Grüße
reverend


Bezug
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