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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Maximales Ideal bestimmen
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Maximales Ideal bestimmen: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Do 02.02.2017
Autor: Keinstein

Aufgabe
Bestimmen Sie die maximalen Ideale des folgenden Ringes: (Hinweis: R[X] ist ein Hauptidealring)
(a) R[X]/(X2);
(b) R[X]/(X2 −3X + 2);
(c) R[X]/(X2 + X + 1).

Kann mir jemand erklären wie man maximale Ideale bestimmt?
Ich weiß das I⊂R ein maximales Ideal in R ist, wenn für alle J⊂R Ideal und I⊂J gilt: J=R oder J=I.
Allerdins habe ich keinerlei Vorstellung wie ich hier vorgehen muss. Wenn mir jemand helfen kann, wäre ich sehr dankbar.


        
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Fr 03.02.2017
Autor: hippias

So geht's los: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Idealen der Ringe [mm] $\IR[X]$ [/mm] und [mm] $\IR[X]/(f)$, [/mm] wobei [mm] $f\in \IR[X]$ [/mm] ein Polynom ist?

Ich kann Dir sehr ans Herz legen Dich in Latex zu benutzen, damit Deine Texte leichter lesbar sind.


Bezug
                
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Fr 03.02.2017
Autor: Keinstein


> So geht's los: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den
> Idealen der Ringe [mm]\IR[X][/mm] und [mm]\IR[X]/(f)[/mm], wobei [mm]f\in \IR[X][/mm]
> ein Polynom ist?

Ich weiß leider nicht genau worauf du hinaus willst.
Ich weiß, dass [mm] \IR[x]/f(x) [/mm] die Menge aller Linksnebenklassen von f(x) in [mm] \IR[x] [/mm] ist und das für [mm] I\subseteq\IR [/mm] ein Ideal [mm] \IR[x]/I [/mm] ein Körper ist. Eigentlich müsste doch auch [mm] \delta:\IR[x]\to\IR[x]/I [/mm] ein Ringhomomorphismus sein und [mm] ker(\delta) [/mm] ein Ideal?
und aus [mm] I\subseteq J\subseteq \IR[x]\Rightarrow J/I\subseteq\IR[x]/I [/mm] ein Ideal.

> Ich kann Dir sehr ans Herz legen Dich in Latex zu benutzen,
> damit Deine Texte leichter lesbar sind.
>    

Wie mache ich das denn mit dem Latex?
Oder ist der neue Text in Ordnung?  


Bezug
                        
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Fr 03.02.2017
Autor: hippias


> > So geht's los: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den
> > Idealen der Ringe [mm]\IR[X][/mm] und [mm]\IR[X]/(f)[/mm], wobei [mm]f\in \IR[X][/mm]
> > ein Polynom ist?
>  
> Ich weiß leider nicht genau worauf du hinaus willst.
> Ich weiß, dass [mm]\IR[x]/f(x)[/mm] die Menge aller
> Linksnebenklassen von f(x) in [mm]\IR[x][/mm] ist und das für
> [mm]I\subseteq\IR[/mm] ein Ideal [mm]\IR[x]/I[/mm] ein Körper ist.
> Eigentlich müsste doch auch [mm]\delta:\IR[x]\to\IR[x]/I[/mm] ein
> Ringhomomorphismus sein und [mm]ker(\delta)[/mm] ein Ideal?

Ich will diesen Faden nicht ausfransen lassen, daher will ich nicht nicht soviel zu dem obigen sagen, nur soviel, dass viel Unsinn dabei ist. Arbeite die Vorlesung auf!


>  und aus [mm]I\subseteq J\subseteq \IR[x]\Rightarrow J/I\subseteq\IR[x]/I[/mm]
> ein Ideal.

Das ist der Zusammenhang - um es nocheinmal zu sagen -  zwischen den Idealen von [mm] $\IR[X]$ [/mm] und [mm] $\IR[X]/I$. [/mm] Zu jedem Ideal $L$ von [mm] $\IR[X]/I$ [/mm] gibt es genau ein Ideal $J$ von [mm] $\IR[X]$, [/mm] welches $I$ enthält und für das $J/I= L$ gilt.

Informell: [mm] $\{\text{$L$ Ideal von $\IR[X]/I$}\}\iff \{\text{$J$ Ideal von $\IR[X]$, das $I$ enthält}\} [/mm]

Diese, oder eine ähnliche Aussage müsste in Deiner Vorlesung erwähnt worden sein. Wenn nicht, dann versuche es beweisen oder suche einen Beweis dafür in einem Lehrbuch.

Mit der Bezeichnung von eben mache Dir nun klar: $L$ ist genau dann ein maximales Ideal von [mm] $\IR[X]/I$, [/mm] wenn das zugehörige $J$ ein maximales Ideal von [mm] $\IR[X]$ [/mm] ist.

Das bedeutet, dass es genügt, die maximalen Idealen von [mm] $\IR[X]$ [/mm] zu bestimmen, die $I$ enthalten; denn diese liefern uns durch Faktorisierung nach $I$ genau die maximalen in [mm] $\IR[X]/I$. [/mm]
Und die Bestimmung der maximalen Ideale in [mm] $\IR[X]$ [/mm] ist verhältnismässig einfacher, aufgrund der besonderen Eigenschaften des Rings.

Finde in der Vorlesung, welche Besonderheit für die Ideale des Polynomrings gilt. Suche auch, unter welchen Voraussetzungen diese besonderen Ideal maximal sind.

Dann geht's weiter.


>  > Ich kann Dir sehr ans Herz legen Dich in Latex zu

> benutzen,
> > damit Deine Texte leichter lesbar sind.
>  >    
> Wie mache ich das denn mit dem Latex?
>  Oder ist der neue Text in Ordnung?  
>  


Bezug
                                
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 Fr 03.02.2017
Autor: Keinstein

Erstmal vielen Dank für deine Antworten und deine Geduld!!

> > Ich weiß leider nicht genau worauf du hinaus willst.
> > Ich weiß, dass [mm]\IR[x]/f(x)[/mm] die Menge aller
> > Linksnebenklassen von f(x) in [mm]\IR[x][/mm] ist und das für
> > [mm]I\subseteq\IR[/mm] ein Ideal [mm]\IR[x]/I[/mm] ein Körper ist.
> > Eigentlich müsste doch auch [mm]\delta:\IR[x]\to\IR[x]/I[/mm] ein
> > Ringhomomorphismus sein und [mm]ker(\delta)[/mm] ein Ideal?
>  Ich will diesen Faden nicht ausfransen lassen, daher will
> ich nicht nicht soviel zu dem obigen sagen, nur soviel,
> dass viel Unsinn dabei ist. Arbeite die Vorlesung auf!
>  

Ich bin ja gerade dabei die Vorlesung aufzuarbeiten und habe leider noch einige verständnis Probleme. Okay mir sind auch ein paar Fehler aufgefallen. Es müsste heißen:
I [mm] \subset \IR[X] [/mm] ein maximales Ideal von [mm] \IR[X] \gdw \IR[X]/I [/mm] ein Körper oder?
und es müsste [mm] \pi:\IR[X]\to\IR[X]/I [/mm] ein Ringhomomorphismus sein oder?

>
> >  und aus [mm]I\subseteq J\subseteq \IR[x]\Rightarrow J/I\subseteq\IR[x]/I[/mm]

> > ein Ideal.
>  Das ist der Zusammenhang - um es nocheinmal zu sagen -  
> zwischen den Idealen von [mm]\IR[X][/mm] und [mm]\IR[X]/I[/mm]. Zu jedem
> Ideal [mm]L[/mm] von [mm]\IR[X]/I[/mm] gibt es genau ein Ideal [mm]J[/mm] von [mm]\IR[X][/mm],
> welches [mm]I[/mm] enthält und für das [mm]J/I= L[/mm] gilt.
>  
> Informell: [mm]$\{\text{$L$ Ideal von $\IR[X]/I$}\}\iff \{\text{$J$ Ideal von $\IR[X]$, das $I$ enthält}\}[/mm]
>  
> Diese, oder eine ähnliche Aussage müsste in Deiner
> Vorlesung erwähnt worden sein. Wenn nicht, dann versuche
> es beweisen oder suche einen Beweis dafür in einem
> Lehrbuch.
>  
> Mit der Bezeichnung von eben mache Dir nun klar: [mm]L[/mm] ist
> genau dann ein maximales Ideal von [mm]\IR[X]/I[/mm], wenn das
> zugehörige [mm]J[/mm] ein maximales Ideal von [mm]\IR[X][/mm] ist.
>  
> Das bedeutet, dass es genügt, die maximalen Idealen von
> [mm]\IR[X][/mm] zu bestimmen, die [mm]I[/mm] enthalten; denn diese liefern
> uns durch Faktorisierung nach [mm]I[/mm] genau die maximalen in
> [mm]\IR[X]/I[/mm].
>  Und die Bestimmung der maximalen Ideale in [mm]\IR[X][/mm] ist
> verhältnismässig einfacher, aufgrund der besonderen
> Eigenschaften des Rings.
>  
> Finde in der Vorlesung, welche Besonderheit für die Ideale
> des Polynomrings gilt. Suche auch, unter welchen
> Voraussetzungen diese besonderen Ideal maximal sind.
>  
> Dann geht's weiter.
>  

Okay den Satz habe ich im Skript gefúnden und ich denke auch soweit verstanden.
Ich bin jetzt das ganze Skript durchgegangen und es steht leider nichts zu der Besonderheit von Idealen in Polynomringen drinn. Aber [mm] I\subseteq\IR[X] [/mm] ein Ideal ist doch dann maximal, wenn für alle J ein Ideal mit [mm] I\subseteq J\subseteq \IR[X] [/mm] gilt: J=I oder [mm] J=\IR[X] [/mm] oder?



Bezug
                                        
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Sa 04.02.2017
Autor: hippias


> Erstmal vielen Dank für deine Antworten und deine
> Geduld!!
>  
> > > Ich weiß leider nicht genau worauf du hinaus willst.
> > > Ich weiß, dass [mm]\IR[x]/f(x)[/mm] die Menge aller
> > > Linksnebenklassen von f(x) in [mm]\IR[x][/mm] ist und das für
> > > [mm]I\subseteq\IR[/mm] ein Ideal [mm]\IR[x]/I[/mm] ein Körper ist.
> > > Eigentlich müsste doch auch [mm]\delta:\IR[x]\to\IR[x]/I[/mm] ein
> > > Ringhomomorphismus sein und [mm]ker(\delta)[/mm] ein Ideal?
>  >  Ich will diesen Faden nicht ausfransen lassen, daher
> will
> > ich nicht nicht soviel zu dem obigen sagen, nur soviel,
> > dass viel Unsinn dabei ist. Arbeite die Vorlesung auf!
>  >  
> Ich bin ja gerade dabei die Vorlesung aufzuarbeiten und
> habe leider noch einige verständnis Probleme. Okay mir
> sind auch ein paar Fehler aufgefallen. Es müsste heißen:
>  I [mm]\subset \IR[X][/mm] ein maximales Ideal von [mm]\IR[X] \gdw \IR[X]/I[/mm]
> ein Körper oder?

Richtig.

>  und es müsste [mm]\pi:\IR[X]\to\IR[X]/I[/mm] ein
> Ringhomomorphismus sein oder?

Bei Mathe muss man pingelig sein, daher lautet die Antwort: kommt drauf an, was [mm] $\pi$ [/mm] sein soll.

Aber vermutlich meinst Du das, was ich meine und dann lautet die Antwort ja. Das wird vermutlich nicht für Deine Aufgabe benötigt.

>  >

> > >  und aus [mm]I\subseteq J\subseteq \IR[x]\Rightarrow J/I\subseteq\IR[x]/I[/mm]

> > > ein Ideal.
>  >  Das ist der Zusammenhang - um es nocheinmal zu sagen -  
> > zwischen den Idealen von [mm]\IR[X][/mm] und [mm]\IR[X]/I[/mm]. Zu jedem
> > Ideal [mm]L[/mm] von [mm]\IR[X]/I[/mm] gibt es genau ein Ideal [mm]J[/mm] von [mm]\IR[X][/mm],
> > welches [mm]I[/mm] enthält und für das [mm]J/I= L[/mm] gilt.
>  >  
> > Informell: [mm]$\{\text{$L$ Ideal von $\IR[X]/I$}\}\iff \{\text{$J$ Ideal von $\IR[X]$, das $I$ enthält}\}[/mm]
>  
> >  

> > Diese, oder eine ähnliche Aussage müsste in Deiner
> > Vorlesung erwähnt worden sein. Wenn nicht, dann versuche
> > es beweisen oder suche einen Beweis dafür in einem
> > Lehrbuch.
>  >  
> > Mit der Bezeichnung von eben mache Dir nun klar: [mm]L[/mm] ist
> > genau dann ein maximales Ideal von [mm]\IR[X]/I[/mm], wenn das
> > zugehörige [mm]J[/mm] ein maximales Ideal von [mm]\IR[X][/mm] ist.
>  >  
> > Das bedeutet, dass es genügt, die maximalen Idealen von
> > [mm]\IR[X][/mm] zu bestimmen, die [mm]I[/mm] enthalten; denn diese liefern
> > uns durch Faktorisierung nach [mm]I[/mm] genau die maximalen in
> > [mm]\IR[X]/I[/mm].
>  >  Und die Bestimmung der maximalen Ideale in [mm]\IR[X][/mm] ist
> > verhältnismässig einfacher, aufgrund der besonderen
> > Eigenschaften des Rings.
>  >  
> > Finde in der Vorlesung, welche Besonderheit für die Ideale
> > des Polynomrings gilt. Suche auch, unter welchen
> > Voraussetzungen diese besonderen Ideal maximal sind.
>  >  
> > Dann geht's weiter.
>  >  
> Okay den Satz habe ich im Skript gefúnden und ich denke
> auch soweit verstanden.

Wer lesen kann, der braucht kein Internet...

>  Ich bin jetzt das ganze Skript durchgegangen und es steht
> leider nichts zu der Besonderheit von Idealen in
> Polynomringen drinn.

Wieviele Erzeuger haben alle Ideale von [mm] $\IR[X]$? [/mm]

> Aber [mm]I\subseteq\IR[X][/mm] ein Ideal ist
> doch dann maximal, wenn für alle J ein Ideal mit
> [mm]I\subseteq J\subseteq \IR[X][/mm] gilt: J=I oder [mm]J=\IR[X][/mm] oder?
>  

Richtig. Aber darauf hat meine Frage nicht abgeziehlt. Nun kann es sein, dass ihr unglaublicherweise tatsächlich noch nicht den Sachverhalt besprochen habt, um den es mir geht. Daher möchte ich so fragen: Welche Eigenschaft muss ein reelles Polynom $f$ haben, damit $(f)$ eine maximales Ideal von [mm] $\IR[x]$ [/mm] ist?  

>  


Bezug
                                                
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 Sa 04.02.2017
Autor: Keinstein


> >  Ich bin jetzt das ganze Skript durchgegangen und es steht

> > leider nichts zu der Besonderheit von Idealen in
> > Polynomringen drinn.
> Wieviele Erzeuger haben alle Ideale von [mm]\IR[X][/mm]?

Wenn ich mich nicht täusche, müssten alle Ideale in [mm] \IR[X] [/mm] genau von dem ggt von dem Ideal erzeugt werden oder hatte das was mit dem normierten Erzeuger zu tun?

>
> > Aber [mm]I\subseteq\IR[X][/mm] ein Ideal ist
> > doch dann maximal, wenn für alle J ein Ideal mit
> > [mm]I\subseteq J\subseteq \IR[X][/mm] gilt: J=I oder [mm]J=\IR[X][/mm] oder?
>  >  
> Richtig. Aber darauf hat meine Frage nicht abgeziehlt. Nun
> kann es sein, dass ihr unglaublicherweise tatsächlich noch
> nicht den Sachverhalt besprochen habt, um den es mir geht.
> Daher möchte ich so fragen: Welche Eigenschaft muss ein
> reelles Polynom [mm]f[/mm] haben, damit [mm](f)[/mm] eine maximales Ideal von
> [mm]\IR[x][/mm] ist?  
> >  

Ein reelles Polynom [mm]f(x)[/mm] muss irreduzibel in [mm]\IR[x][/mm] sein, damit [mm](f)[/mm] ein maximales Ideal in [mm]\IR[x][/mm] ist oder?


Bezug
                                                        
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:52 Sa 04.02.2017
Autor: hippias


> > >  Ich bin jetzt das ganze Skript durchgegangen und es steht

> > > leider nichts zu der Besonderheit von Idealen in
> > > Polynomringen drinn.
> > Wieviele Erzeuger haben alle Ideale von [mm]\IR[X][/mm]?
>  
> Wenn ich mich nicht täusche, müssten alle Ideale in
> [mm]\IR[X][/mm] genau von dem ggt von dem Ideal erzeugt werden oder
> hatte das was mit dem normierten Erzeuger zu tun?

Tja, wenn man das wüsste! Vielleicht hat es auch etwas mit der Mondphase zu tun?

Kläre die Frage zuerst.

>  >

> > > Aber [mm]I\subseteq\IR[X][/mm] ein Ideal ist
> > > doch dann maximal, wenn für alle J ein Ideal mit
> > > [mm]I\subseteq J\subseteq \IR[X][/mm] gilt: J=I oder [mm]J=\IR[X][/mm] oder?
>  >  >  
> > Richtig. Aber darauf hat meine Frage nicht abgeziehlt. Nun
> > kann es sein, dass ihr unglaublicherweise tatsächlich noch
> > nicht den Sachverhalt besprochen habt, um den es mir geht.
> > Daher möchte ich so fragen: Welche Eigenschaft muss ein
> > reelles Polynom [mm]f[/mm] haben, damit [mm](f)[/mm] eine maximales Ideal von
> > [mm]\IR[x][/mm] ist?  
> > >  

> Ein reelles Polynom [mm]f(x)[/mm] muss irreduzibel in [mm]\IR[x][/mm] sein,
> damit [mm](f)[/mm] ein maximales Ideal in [mm]\IR[x][/mm] ist oder?
>  

Richtig.

Fasse nun die zusammengetragenen Fakten zusammen und bringe sie in einen Kontext mit der Aufgabenstellung.


Bezug
                                                                
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Sa 04.02.2017
Autor: Keinstein


> > > > Aber [mm]I\subseteq\IR[X][/mm] ein Ideal ist
> > > > doch dann maximal, wenn für alle J ein Ideal mit
> > > > [mm]I\subseteq J\subseteq \IR[X][/mm] gilt: J=I oder [mm]J=\IR[X][/mm] oder?
>  >  >  >  
> > > Richtig. Aber darauf hat meine Frage nicht abgeziehlt. Nun
> > > kann es sein, dass ihr unglaublicherweise tatsächlich noch
> > > nicht den Sachverhalt besprochen habt, um den es mir geht.
> > > Daher möchte ich so fragen: Welche Eigenschaft muss ein
> > > reelles Polynom [mm]f[/mm] haben, damit [mm](f)[/mm] eine maximales Ideal von
> > > [mm]\IR[x][/mm] ist?  
> > > >  

> > Ein reelles Polynom [mm]f(x)[/mm] muss irreduzibel in [mm]\IR[x][/mm] sein,
> > damit [mm](f)[/mm] ein maximales Ideal in [mm]\IR[x][/mm] ist oder?
>  >  
> Richtig.
>
> Fasse nun die zusammengetragenen Fakten zusammen und bringe
> sie in einen Kontext mit der Aufgabenstellung.
>  

Da [mm]X^{2}+X+1[/mm] irreduzibel in [mm]\IR[X][/mm] ist ja [mm]\IR[X]/(X^{2}+X+1)[/mm] ein Körper und deswegen ist [mm](0)[/mm] das maximale Ideal.
Stimmt das soweit?
Beim letzten beiden  bin ich mir noch sehr unsicher.
Da [mm]X^{2}-3*X+2[/mm] sich faktorisieren lässt zu [mm](X-1)*(X-2)[/mm] folgt [mm](X^{2}-3*X+2) \subseteq (X-1)[/mm] und [mm](X^{2}-3*X+2) \subseteq (X-2)[/mm]. Da [mm](X-1)[/mm] und [mm](X-2)[/mm] irreduzibel in [mm] \IR[X] [/mm] müssten doch [mm](X-1)/(X^{2}-3*X+2)[/mm] und [mm](X-2)/(X^{2}-3*X+2)[/mm] maximale Ideale in [mm]\IR[X]/(x^{2}-3*X+2)[/mm] sein oder?
Da [mm](X)[/mm] ein maximales Ideal in [mm]\IR[X][/mm] und [mm](X^{2})\subseteq(X)[/mm] müsste doch [mm](X)/(X^{2})[/mm] ein maximales Ideal in [mm]\IR[X][/mm] sein.



Bezug
                                                                        
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 So 05.02.2017
Autor: hippias

Gut gemacht: Du hast zu den Ringen maximale Ideale gefunden. Mir fehlt jetzt noch eine Begründung dafür, dass es keine weiteren maximalen Ideale geben kann.

Bezug
                                                                                
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 So 05.02.2017
Autor: Keinstein

Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast mir alles zu erklären!!
Da [mm]\IR[X]/(X^{2}+X+1)[/mm] ein Körper ist, gibt es nur ein echtes Ideal [mm](0)[/mm]. Aus diesem Grund kann es keine weiteren geben.
Sei [mm](a),(b)[/mm] Ideale in R und [mm]b|a[/mm] dann gilt: [mm](a)\subseteq(b)[/mm]. Weiterhin gilt: ist [mm](b)[/mm] ein Ideal in [mm] R [/mm] und [mm] (a)\subseteq(b)[/mm] dann ist [mm](b)/(a)[/mm] ein Ideal von [mm] R/(a) [/mm].
Da [mm] (X-1), (X-2)[/mm] die einzigen Teiler von [mm](X^{2}-3X+2)[/mm] sind, die maximale Ideale in [mm] \IR[X] [/mm] sind, kann es keine weiteren geben.
Die Teiler von [mm] (X^{2}) [/mm] sind [mm] (X),(X^{2}) [/mm] da [mm] (X^{2})/(X^{2})=(0)[/mm] und [mm] \IR[X]/(X^{2}) [/mm] kein Körper ist, kann (0) kein maximles Ideal sein.


Bezug
                                                                                        
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 So 05.02.2017
Autor: hippias


> Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast mir alles
> zu erklären!!

Gerne geschehen. Ich würde gerne betonen, dass ich eigentlich nichts erklärt habe, sondern Dich nur aufgefordert habe mit Deinem Skript o.ä. zu arbeiten.

>  Da [mm]\IR[X]/(X^{2}+X+1)[/mm] ein Körper ist, gibt es nur ein
> echtes Ideal [mm](0)[/mm]. Aus diesem Grund kann es keine weiteren
> geben.

O.K.

>  Sei [mm](a),(b)[/mm] Ideale in R und [mm]b|a[/mm] dann gilt:
> [mm](a)\subseteq(b)[/mm]. Weiterhin gilt: ist [mm](b)[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] und
> [mm](a)\subseteq(b)[/mm] dann ist [mm](b)/(a)[/mm] ein Ideal von [mm]R/(a) [/mm].

O.K.

> Da [mm](X-1), (X-2)[/mm] die einzigen Teiler von [mm](X^{2}-3X+2)[/mm] sind,
> die maximale Ideale in [mm]\IR[X][/mm] sind, kann es keine weiteren
> geben.

Das ist schon ganz richtig, enthält aber ein paar Ungenauigkeiten. Meinst Du wirklich, dass die Ideale $(X-1)$, $(X-2)$ Teiler des Ideals [mm] $(X^{2}-3X+2)$ [/mm] sind, oder nicht doch eher die Polynome?
Ferner hat das Polynom [mm] $X^{2}-3X+2$ [/mm] mehr Teiler als $X-1$, $X-2$, nämlich $0$, [mm] $\frac{1}{2}(X^{2}-3X+2)$ [/mm] etc.

Man könte es vielleicht so aufschreiben: Sei $M$ ein maximales Ideal von [mm] $\IR[X]/(X^{2}-3X+2)$. [/mm]

Dann gibt es ein Ideal $L$ von [mm] $\IR[X]$, [/mm] das [mm] $(X^{2}-3X+2)$ [/mm] enthält und für das [mm] $L/(X^{2}-3X+2)= [/mm] M$ gilt.

Da [mm] $\IR[X]$ [/mm] ein Hauptidealring ist, gibt es [mm] $f\in \IR[X]$ [/mm] mit $L= (f)$. Wegen [mm] $X^{2}-3X+2\in [/mm] L$ gilt [mm] $f\vert X^{2}-3X+2$. [/mm]

Frage: Wieso gilt auf jeden Fall [mm] $M\neq [/mm] 0$?

Da [mm] $M\neq [/mm] 0$ ist, folgt, dass $f$ ein echter Teiler von [mm] $X^{2}-3X+2$ [/mm] ist, d.h. der Grad von $f$ ist $<2$.

Frage: Wieso gilt [mm] $L\neq \IR[X]$, [/mm] d.h. [mm] $f\not\in \IR$? [/mm]

Folglich hat $f$ den Grad $1$. Die einzigen normierten Teiler von [mm] $X^{2}-3X+2$ [/mm] mit Grad $1$ sind etc. etc.

Letzte Frage: Wieso genügt es die normierten Teiler zu betrachten?

>  Die Teiler von [mm](X^{2})[/mm] sind [mm](X),(X^{2})[/mm] da
> [mm](X^{2})/(X^{2})=(0)[/mm] und [mm]\IR[X]/(X^{2})[/mm] kein Körper ist,
> kann (0) kein maximles Ideal sein.
>  


Bezug
                                                                                                
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 So 05.02.2017
Autor: Keinstein


> > Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast mir alles
> > zu erklären!!
>  Gerne geschehen. Ich würde gerne betonen, dass ich
> eigentlich nichts erklärt habe, sondern Dich nur
> aufgefordert habe mit Deinem Skript o.ä. zu arbeiten.
>  
> >  Da [mm]\IR[X]/(X^{2}+X+1)[/mm] ein Körper ist, gibt es nur ein

> > echtes Ideal [mm](0)[/mm]. Aus diesem Grund kann es keine weiteren
> > geben.
>  O.K.
>  
> >  Sei [mm](a),(b)[/mm] Ideale in R und [mm]b|a[/mm] dann gilt:

> > [mm](a)\subseteq(b)[/mm]. Weiterhin gilt: ist [mm](b)[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] und
> > [mm](a)\subseteq(b)[/mm] dann ist [mm](b)/(a)[/mm] ein Ideal von [mm]R/(a) [/mm].
> O.K.
>  
> > Da [mm](X-1), (X-2)[/mm] die einzigen Teiler von [mm](X^{2}-3X+2)[/mm] sind,
> > die maximale Ideale in [mm]\IR[X][/mm] sind, kann es keine weiteren
> > geben.
>  Das ist schon ganz richtig, enthält aber ein paar
> Ungenauigkeiten. Meinst Du wirklich, dass die Ideale [mm](X-1)[/mm],
> [mm](X-2)[/mm] Teiler des Ideals [mm](X^{2}-3X+2)[/mm] sind, oder nicht doch
> eher die Polynome?

Ich meinte natürlich die Polynome!!

>  Ferner hat das Polynom [mm]X^{2}-3X+2[/mm] mehr Teiler als [mm]X-1[/mm],
> [mm]X-2[/mm], nämlich [mm]0[/mm], [mm]\frac{1}{2}(X^{2}-3X+2)[/mm] etc.
>  
> Man könte es vielleicht so aufschreiben: Sei [mm]M[/mm] ein
> maximales Ideal von [mm]\IR[X]/(X^{2}-3X+2)[/mm].
>
> Dann gibt es ein Ideal [mm]L[/mm] von [mm]\IR[X][/mm], das [mm](X^{2}-3X+2)[/mm]
> enthält und für das [mm]L/(X^{2}-3X+2)= M[/mm] gilt.
>  
> Da [mm]\IR[X][/mm] ein Hauptidealring ist, gibt es [mm]f\in \IR[X][/mm] mit
> [mm]L= (f)[/mm]. Wegen [mm]X^{2}-3X+2\in L[/mm] gilt [mm]f\vert X^{2}-3X+2[/mm].
>
> Frage: Wieso gilt auf jeden Fall [mm]M\neq 0[/mm]?

Wenn gelten würde [mm]M=0[/mm] hieße das doch, dass [mm]\IR[X]/(X^{2}-3X+2)[/mm] ein Körper ist, was nicht der Fall seien kann, da [mm]X^{2}-3X+2[/mm] nicht irreduzibel ist.

>
> Da [mm]M\neq 0[/mm] ist, folgt, dass [mm]f[/mm] ein echter Teiler von
> [mm]X^{2}-3X+2[/mm] ist, d.h. der Grad von [mm]f[/mm] ist [mm]<2[/mm].
>  
> Frage: Wieso gilt [mm]L\neq \IR[X][/mm], d.h. [mm]f\not\in \IR[/mm]?

Wäre[mm] L=\IR[X][/mm], dann wäre [mm]M=\IR[X]/(X^{2}-3X+2)[/mm] und da der Ring selber kein mximales Ideal ist, wäre damit auch [mm]M[/mm] kein maximales Ideal in [mm]\IR[X]/(X^{2}-3X+2)[/mm].

>  
> Folglich hat [mm]f[/mm] den Grad [mm]1[/mm]. Die einzigen normierten Teiler
> von [mm]X^{2}-3X+2[/mm] mit Grad [mm]1[/mm] sind etc. etc.
>  
> Letzte Frage: Wieso genügt es die normierten Teiler zu
> betrachten?

Dazu finde ich ehrlich gesagt nichts. Meine Vermutung ist, dass nur normierte Teiler Erzeuger eines Maximalen Ideal seien können. Hat das was mit einem Minimalpolynom zu tun? Weil die sind ja irreduzibel und normiert.

>  
> >  Die Teiler von [mm](X^{2})[/mm] sind [mm](X),(X^{2})[/mm] da

> > [mm](X^{2})/(X^{2})=(0)[/mm] und [mm]\IR[X]/(X^{2})[/mm] kein Körper ist,
> > kann (0) kein maximles Ideal sein.
>  >  
>  


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 So 05.02.2017
Autor: hippias


> > > Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast mir alles
> > > zu erklären!!
>  >  Gerne geschehen. Ich würde gerne betonen, dass ich
> > eigentlich nichts erklärt habe, sondern Dich nur
> > aufgefordert habe mit Deinem Skript o.ä. zu arbeiten.
>  >  
> > >  Da [mm]\IR[X]/(X^{2}+X+1)[/mm] ein Körper ist, gibt es nur ein

> > > echtes Ideal [mm](0)[/mm]. Aus diesem Grund kann es keine weiteren
> > > geben.
>  >  O.K.
>  >  
> > >  Sei [mm](a),(b)[/mm] Ideale in R und [mm]b|a[/mm] dann gilt:

> > > [mm](a)\subseteq(b)[/mm]. Weiterhin gilt: ist [mm](b)[/mm] ein Ideal in [mm]R[/mm] und
> > > [mm](a)\subseteq(b)[/mm] dann ist [mm](b)/(a)[/mm] ein Ideal von [mm]R/(a) [/mm].
> > O.K.
>  >  
> > > Da [mm](X-1), (X-2)[/mm] die einzigen Teiler von [mm](X^{2}-3X+2)[/mm] sind,
> > > die maximale Ideale in [mm]\IR[X][/mm] sind, kann es keine weiteren
> > > geben.
>  >  Das ist schon ganz richtig, enthält aber ein paar
> > Ungenauigkeiten. Meinst Du wirklich, dass die Ideale [mm](X-1)[/mm],
> > [mm](X-2)[/mm] Teiler des Ideals [mm](X^{2}-3X+2)[/mm] sind, oder nicht doch
> > eher die Polynome?
>  Ich meinte natürlich die Polynome!!
>  >  Ferner hat das Polynom [mm]X^{2}-3X+2[/mm] mehr Teiler als [mm]X-1[/mm],
> > [mm]X-2[/mm], nämlich [mm]0[/mm], [mm]\frac{1}{2}(X^{2}-3X+2)[/mm] etc.
>  >  
> > Man könte es vielleicht so aufschreiben: Sei [mm]M[/mm] ein
> > maximales Ideal von [mm]\IR[X]/(X^{2}-3X+2)[/mm].
> >
> > Dann gibt es ein Ideal [mm]L[/mm] von [mm]\IR[X][/mm], das [mm](X^{2}-3X+2)[/mm]
> > enthält und für das [mm]L/(X^{2}-3X+2)= M[/mm] gilt.
>  >  
> > Da [mm]\IR[X][/mm] ein Hauptidealring ist, gibt es [mm]f\in \IR[X][/mm] mit
> > [mm]L= (f)[/mm]. Wegen [mm]X^{2}-3X+2\in L[/mm] gilt [mm]f\vert X^{2}-3X+2[/mm].
> >
> > Frage: Wieso gilt auf jeden Fall [mm]M\neq 0[/mm]?
> Wenn gelten würde [mm]M=0[/mm] hieße das doch, dass
> [mm]\IR[X]/(X^{2}-3X+2)[/mm] ein Körper ist, was nicht der Fall
> seien kann, da [mm]X^{2}-3X+2[/mm] nicht irreduzibel ist.
>  >

Ja.

> > Da [mm]M\neq 0[/mm] ist, folgt, dass [mm]f[/mm] ein echter Teiler von
> > [mm]X^{2}-3X+2[/mm] ist, d.h. der Grad von [mm]f[/mm] ist [mm]<2[/mm].
>  >  
> > Frage: Wieso gilt [mm]L\neq \IR[X][/mm], d.h. [mm]f\not\in \IR[/mm]?
>  Wäre[mm] L=\IR[X][/mm],
> dann wäre [mm]M=\IR[X]/(X^{2}-3X+2)[/mm] und da der Ring selber
> kein mximales Ideal ist, wäre damit auch [mm]M[/mm] kein maximales
> Ideal in [mm]\IR[X]/(X^{2}-3X+2)[/mm].

Ja. Nach Definition ist ein maximales Ideal nicht gleich dem Ring.

>  >  
> > Folglich hat [mm]f[/mm] den Grad [mm]1[/mm]. Die einzigen normierten Teiler
> > von [mm]X^{2}-3X+2[/mm] mit Grad [mm]1[/mm] sind etc. etc.
>  >  
> > Letzte Frage: Wieso genügt es die normierten Teiler zu
> > betrachten?
>  Dazu finde ich ehrlich gesagt nichts. Meine Vermutung ist,
> dass nur normierte Teiler Erzeuger eines Maximalen Ideal
> seien können. Hat das was mit einem Minimalpolynom zu tun?
> Weil die sind ja irreduzibel und normiert.

Versuche zu beweisen: Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$. Seien [mm] $r,x\in [/mm] R$, wobei $x$ eine Einheit sei. Dann sind die von $x$ und $rx$ erzeugten Hauptideale gleich: $(r)= (xr)$.

>  >  
> > >  Die Teiler von [mm](X^{2})[/mm] sind [mm](X),(X^{2})[/mm] da

> > > [mm](X^{2})/(X^{2})=(0)[/mm] und [mm]\IR[X]/(X^{2})[/mm] kein Körper ist,
> > > kann (0) kein maximles Ideal sein.
>  >  >  
> >  

>  


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 So 05.02.2017
Autor: Keinstein

Da offensichtlich gilt [mm]r|xr[/mm] folgt [mm] (xr)\subseteq(r)[/mm]. Sei [mm]d\in R*[/mm] mit [mm]xd=1[/mm] dann gilt [mm]r=rxd \Rightarrow rx|r \Rightarrow (r)\subseteq(rx)\Rightarrow (r)=(rx)[/mm].

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Maximales Ideal bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:35 Mo 06.02.2017
Autor: hippias

Sehe ich auch so.

Deswegen gilt z.B. $(X-1)=(a(X-1))$ für alle [mm] $0\neq a\in \IR$, [/mm] und somit genügt es normierte Teiler zu betrachten: die anderen liefern keine neuen Informationen.

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Maximales Ideal bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:15 Mo 06.02.2017
Autor: Keinstein

Vielen Dank, habe es jetzt verstanden!!

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