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Maximum-Likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:01 Sa 01.07.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
Sei [mm] \theta \in \IZ [/mm] eine ganze Zahl und X eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion

[mm] F(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x\le \theta \mbox{} \\ x-\theta, & \mbox{falls } x\in (\theta,\theta+1) \mbox{ }\\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm]

Zu einer Beobachtung [mm] x\in \IR\setminus \IZ [/mm] bestimme man den Maximum-Likelihood-Schätzwert [mm] \hat{\theta} [/mm] für [mm] \theta. [/mm]

Ist der zugehörige Schätzer erwartungstreu für [mm] \theta? [/mm]

Hallo zusammen,

ich habe erstmal folgendes gemacht:

[mm] L(x_1,...,x_n|\theta)=\summe_{i=1}^{n}x_i-\theta=-\n\theta-\summe_{i=1}^{n}x_i [/mm]

Dann log angewendet: [mm] logL=log(-n\theta)+log(\summe_{i=1}^{n}x_i [/mm]
dann ist L'= [mm] -\bruch{1}{n\theta}+\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}x_i}\overset{!}{=}0 [/mm]

dann habe ich es nach [mm] \theta [/mm] umgeformt und erhalte dann:

[mm] \hat{\theta}=\bruch{\summe_{i=1}^{n}x_i}{n} [/mm] ML-Schätzer.

Zu erwartungstreu:

z.z. [mm] E(\hat{\theta})=\theta [/mm]

Dann ist [mm] E(\theta)=E(\bruch{\summe_{i=1}^{n}x_i}{n})\overset{E linear}{=}\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}E(x_i)=\bruch{1}{n}*n*\theta=\theta [/mm]

[mm] \Rightarrow \hat{\theta} [/mm] erwartungstreu für [mm] \theta [/mm]

Stimmt das, was ich gemacht habe?
Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Maximum-Likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Sa 01.07.2017
Autor: luis52


> Stimmt das, was ich gemacht habe?


Moin, leider nicht. Ich lese, dass *eine* Beobachtung $ [mm] x\in \IR\setminus \IZ [/mm] $ vorliegt, nicht [mm] $n=2,3,\ldots$ [/mm] Z.B. $x=5.3$. wie sieht dann die Likelihoodfunktion aus?

Bezug
                
Bezug
Maximum-Likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Sa 01.07.2017
Autor: mimo1

würde dann die Likelihodd.Fkt. folgend ausschauen:

[mm] L(x_1=5,3|\theta)=5,3- \theta [/mm]  bzw [mm] L(x_1,...,x_n|\theta)=\produkt_{i=1}^n(x_i-\theta)? [/mm]

Ich stehe gerade total auf dem Schlauch. Könntest du mir da bitte weiterhelfen?

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Bezug
Maximum-Likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Sa 01.07.2017
Autor: luis52

> Könntest du mir  da bitte weiterhelfen?

Klar. Die Dichte ist


$ [mm] f_\theta(x):=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x\in (\theta,\theta+1) \mbox{ }\\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $

so dass die Likelihoodfunktion fuer eine Stichprobe [mm] $x_1,\dots x_n$ [/mm] gegeben ist durch

[mm] $L(\theta)=\prod_{i=1}^nf_\theta(x_i)$. [/mm]

Im Beispiel oben ist dann $n=1$ und [mm] $L(\theta)=f_\theta(5.3)$. [/mm] Nun lass das [mm] $\theta$ [/mm] von [mm] $\theta\approx0$ [/mm] langsam groesser werden ...



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Maximum-Likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:16 So 02.07.2017
Autor: mimo1

nochmals vielen Dank für deinen Hinweis.

Für n=1 wäre dann z.B. für  [mm] x_1=5,3 [/mm]

[mm] L(\theta)=f_{\theta}(x_1)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \theta\ge 5 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{} \end{cases} [/mm]

Habe ich es soweit verstanden?

Bezug
                                        
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Maximum-Likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Mo 03.07.2017
Autor: luis52


> nochmals vielen Dank für deinen Hinweis.
>
> Für n=1 wäre dann z.B. für  [mm]x_1=5,3[/mm]
>
> [mm]L(\theta)=f_{\theta}(x_1)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } \theta\ge 5 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{} \end{cases}[/mm]
>  
> Habe ich es soweit verstanden?

*Ich* erhalte [mm] $f_{\theta}(x_1)=f_{\theta}(5.3)=1\iff\theta<5.3<\theta+1\iff4.3<\theta<5.3$. [/mm] Allgemein:

[mm]L(\theta)=f_{\theta}(x_1)=\begin{cases} 1, & \mbox{falls } x_1-1<\theta\le x_1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{sonst} \mbox{} \end{cases}[/mm]


Bezug
                                                
Bezug
Maximum-Likelihood: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Di 04.07.2017
Autor: mimo1

Wäre dann der ML-Schätzer folgend:

[mm] \hat{\theta}=(x_1-1,x_1) [/mm]

Kann man das so schreiben?

Bezug
                                                        
Bezug
Maximum-Likelihood: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Di 04.07.2017
Autor: luis52


> Wäre dann der ML-Schätzer folgend:
>  
> [mm]\hat{\theta}=(x_1-1,x_1)[/mm]
>
> Kann man das so schreiben?

Nein, der ML-Schaetzer ist hier nicht eindeutig festgelegt. Jeder Wert aus dem Intervall ist geeignet.


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