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| Aufgabe | 1) Von einem Quadrat mit Seitenlänge a=8 wird rundherum ein Streifen der Breite x abgeschnitten. Das übrig bleibende Quadrat Q(x) der Seitenlänge 8-2x dient als Bodenfläche einer oben offenen quaderförmigen Schachtel mit senkrechten Seitenwänden der Höhe x. Sei V(x) das Volumen dieser Schachtel.
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von V(x). Für welchen Wert von x ist das Volumen V(x) maximal? (globales Maximum!)
Ohne Verwendung der expliziten Formeln [mm] (8-2x)^{2} [/mm] für Q(x) und [mm] x*(8-2x))^{2} [/mm] für V(x) sollen folgende Überlegungen angestellt werden:
b) Welche geometrische Deutung hat der Differenzenquotient (Q(x)-Q(x+h))/h für kleine h > 0? Erläutern Sie mit Hilfe dieser Deutung, dass gilt Q'(x)=-U(x), wobei U(x) der Umfang der Bodenfläche Q(x) ist.
c) Zeigen Sie: V'(x)=xQ'(x)+Q(x).
d) Zeigen Sie: Das Volumen V(x) ist maximal, wenn Bodenfläche und senkrechte Seitenfläche gleich groß sind. |
Hallo, leider habe ich ein paar Probleme bei dieser Aufgabe. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Erstmal zu a) Also, der Definitionsbereich geht von V(0) bis V(4).
Bei der Maximum-Berechnung habe ich irgendwie einen Fehler gemacht, den ich aber bisher noch nicht gefunden habe.
Und zwar:
[mm] V(x)=x*(8-2x)^{2}
[/mm]
[mm] =(-4x)^{3}+32x^{2}+64x
[/mm]
Dann ist
V'(x)= [mm] (-12x^{2})+64x+64
[/mm]
[mm] x^{2}=(16/3)x+(16/3)
[/mm]
[mm] x_{1/2}=(-16/6)\pm\wurzel{(16/6)^{2}-(16/3)}=(-8/3)\pm(4/3)
[/mm]
[mm] x_{1}=(-4) [/mm] und [mm] x_{2}=(-4/3)
[/mm]
Wo ist denn hier der Fehler? Es müsste doch +4 als eine Maximalstelle herauskommen. Es können doch unmöglich beide Werte außerhalb des Definitionsbereiches liegen. Irgendwo muss also ein Rechenfehler sein.
Und wie berechne ich jetzt das GLOBALE Maximum??
Sieht jemand den Fehler??
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Di 23.09.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo Crazy,
> 1) Von einem Quadrat mit Seitenlänge a=8 wird rundherum ein
> Streifen der Breite x abgeschnitten. Das übrig bleibende
> Quadrat Q(x) der Seitenlänge 8-2x dient als Bodenfläche
> einer oben offenen quaderförmigen Schachtel mit senkrechten
> Seitenwänden der Höhe x. Sei V(x) das Volumen dieser
> Schachtel.
>
> a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von V(x). Für
> welchen Wert von x ist das Volumen V(x) maximal? (globales
> Maximum!)
>
> Ohne Verwendung der expliziten Formeln [mm](8-2x)^{2}[/mm] für Q(x)
> und [mm]x*(8-2x))^{2}[/mm] für V(x) sollen folgende Überlegungen
> angestellt werden:
>
> b) Welche geometrische Deutung hat der Differenzenquotient
> (Q(x)-Q(x+h))/h für kleine h > 0? Erläutern Sie mit Hilfe
> dieser Deutung, dass gilt Q'(x)=-U(x), wobei U(x) der
> Umfang der Bodenfläche Q(x) ist.
>
> c) Zeigen Sie: V'(x)=xQ'(x)+Q(x).
>
> d) Zeigen Sie: Das Volumen V(x) ist maximal, wenn
> Bodenfläche und senkrechte Seitenfläche gleich groß sind.
> Hallo, leider habe ich ein paar Probleme bei dieser
> Aufgabe. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
>
> Erstmal zu a) Also, der Definitionsbereich geht von V(0)
> bis V(4).
> Bei der Maximum-Berechnung habe ich irgendwie einen Fehler
> gemacht, den ich aber bisher noch nicht gefunden habe.
> Und zwar:
>
> [mm]V(x)=x*(8-2x)^{2}[/mm]
> [mm]=(-4x)^{3}+32x^{2}+64x[/mm]
Wie kommst du auf [mm] \red{-}4x^3 [/mm] und [mm] \red{+}32x^2
[/mm]
Grüße
Smarty
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> 1) Von einem Quadrat mit Seitenlänge a=8 wird rundherum ein
> Streifen der Breite x abgeschnitten. Das übrig bleibende
> Quadrat Q(x) der Seitenlänge 8-2x dient als Bodenfläche
> einer oben offenen quaderförmigen Schachtel mit senkrechten
> Seitenwänden der Höhe x. Sei V(x) das Volumen dieser
> Schachtel.
>
> a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von V(x). Für
> welchen Wert von x ist das Volumen V(x) maximal? (globales
> Maximum!)
>
> Ohne Verwendung der expliziten Formeln [mm](8-2x)^{2}[/mm] für Q(x)
> und [mm]x*(8-2x))^{2}[/mm] für V(x) sollen folgende Überlegungen
> angestellt werden:
>
> b) Welche geometrische Deutung hat der Differenzenquotient
> (Q(x)-Q(x+h))/h für kleine h > 0? Erläutern Sie mit Hilfe
> dieser Deutung, dass gilt Q'(x)=-U(x), wobei U(x) der
> Umfang der Bodenfläche Q(x) ist.
>
> c) Zeigen Sie: V'(x)=xQ'(x)+Q(x).
>
> d) Zeigen Sie: Das Volumen V(x) ist maximal, wenn
> Bodenfläche und senkrechte Seitenfläche gleich groß sind.
> Hallo, leider habe ich ein paar Probleme bei dieser
> Aufgabe. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
>
> Erstmal zu a) Also, der Definitionsbereich geht von V(0)
> bis V(4).
> Bei der Maximum-Berechnung habe ich irgendwie einen Fehler
> gemacht, den ich aber bisher noch nicht gefunden habe.
> Und zwar:
>
> [mm]V(x)=x*(8-2x)^{2}[/mm]
> [mm]=(-4x)^{3}+32x^{2}+64x[/mm]
Wie schon gesagt, hast du hier die Klammern nicht richtig ausmultipliziert.
> Dann ist
> V'(x)= [mm](-12x^{2})+64x+64[/mm]
> [mm]x^{2}=(16/3)x+(16/3)[/mm]
Aber auch bei der Anwendung der pq-Formel scheint etwas nicht zu stimmen. Zunächst setzt du die Ableitung gleich Null und dann kannst du durch -12 teilen, damit du die Form [mm] x^2+px+q=0 [/mm] hast. Dann erst kannst du die pq-Formel anwenden, pass also auf die Vorzeichen auf.
>
> [mm]x_{1/2}=(-16/6)\pm\wurzel{(16/6)^{2}-(16/3)}=(-8/3)\pm(4/3)[/mm]
>
> [mm]x_{1}=(-4)[/mm] und [mm]x_{2}=(-4/3)[/mm]
>
> Wo ist denn hier der Fehler? Es müsste doch +4 als eine
> Maximalstelle herauskommen. Es können doch unmöglich beide
> Werte außerhalb des Definitionsbereiches liegen. Irgendwo
> muss also ein Rechenfehler sein.
> Und wie berechne ich jetzt das GLOBALE Maximum??
> Sieht jemand den Fehler??
> Viele Grüße,
> Anna
Grüße Patrick
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Hallo,
ach, danke, ich hab den Fehler jetzt korrigiert. Jetzt habe ich aber als [mm] x_{1}=4 [/mm] und als [mm] x_{2}=(4/3). [/mm] Was bedeuten denn jetzt diese (4/3)? Warum ist da im Graph ein Maximum? Es liegt doch im Definitionsbereich, aber an dieser Stelle ist das Volumen doch nicht maximal, oder? Und minimal auch nicht. Was ist denn damit los?
Viele Grüße,
Anna
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> Hallo,
> ach, danke, ich hab den Fehler jetzt korrigiert. Jetzt
> habe ich aber als [mm]x_{1}=4[/mm] und als [mm]x_{2}=(4/3).[/mm] Was bedeuten
> denn jetzt diese (4/3)?
Hallo,
die bedeuten, daß Du dort eine waagerechte Tangente hast.
Dies sind die Stellen, an denen es Extremwerte geben könnte - oder aber Wendepunkte mit waagerechter Tangente.
> Warum ist da im Graph ein Maximum?
Ich schätze mal: weil da das Volumen maximal ist...
> Es liegt doch im Definitionsbereich, aber an dieser Stelle
> ist das Volumen doch nicht maximal, oder?
Warum nicht, was gefällt Dir daran nicht?
> Und minimal auch
> nicht. Was ist denn damit los?
Das Volumen ist maximal.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:33 Mi 24.09.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Hallo,
ach danke, klar, und bei x=4 ist dann das Minimum. Muss ja auch so sein, wenn man sich`s recht überlegt.
Viele Grüße,
Anna
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Hallo,
jetzt habe ich aber noch ein Problem und zwar mit den Aufgaben b) bis d).
Bei b) kann ich mir noch denken, dass der Differenzenquotient mit kleinem h (Q(x)-Q(x+h))/h wahrscheinlich der Ableitung Q'(x) immer näher kommt. Aber was ist h und wie komme ich jetzt plötzlich auf den Umfang??
Kann mir da jemand einen Tipp geben??
Viele Grüße,
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Di 30.09.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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