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Maximumsprinzip: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 So 17.09.2017
Autor: Paivren

Guten Tag!

Neue Runde:

Maximumsprinzip: Sei [mm] G\subseteq \IC [/mm] ein Gebiet, sei f: [mm] G-->\IC [/mm] holomorph. Für ein [mm] w\in [/mm] G gebe es eine Umgebung [mm] U\subseteq [/mm] G von w, sodass |f(w)| [mm] \ge [/mm] |f(z)| [mm] \forall z\in [/mm] U.

Dann ist f konstant.


Ich habe die Beweise dazu nachvollzogen, aber ist dieser Satz nicht ein Widerspruch in sich? Wenn der Betrag einer Funktion bei w größer ist als in der Umgebung, wie kann die Funktion dann konstant sein? Konstant heißt doch gerade auch, dass der Betrag eben überall gleich ist!

Verstehe ich was falsch? Oder könnte man den Satz auch einfach mit einem "=" formulieren?

MfG.

        
Bezug
Maximumsprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 So 17.09.2017
Autor: HJKweseleit


> Guten Tag!
>  
> Neue Runde:
>  
> Maximumsprinzip: Sei [mm]G\subseteq \IC[/mm] ein Gebiet, sei f:
> [mm]G-->\IC[/mm] holomorph. Für ein [mm]w\in[/mm] G gebe es eine Umgebung
> [mm]U\subseteq[/mm] G von w, sodass |f(w)| [mm]\ge[/mm] |f(z)| [mm]\forall z\in[/mm]
> U.
>  
> Dann ist f konstant.
>  
>
> Ich habe die Beweise dazu nachvollzogen, aber ist dieser
> Satz nicht ein Widerspruch in sich? Wenn der Betrag einer
> Funktion bei w größer ist als in der Umgebung, wie kann
> die Funktion dann konstant sein?

Weil [mm] \ge [/mm] auch = mit einschließt.

Die Aussage bedeutet im Umkehrschluss nämlich:

Eine holomorphe Funktion, die nicht konstant ist, hat folgende Eigenschaft: Innerhalb eines Gebietes, in dem und auf dessen Rand die Fkt. holomorph ist, befindet sich das betragsmäßige Maximum immer auf dem Rand (egal, wo man ihn wählt). Läge es in einem inneren Punkt, könnte man darum einen Rand ziehen, so dass innerhalb dieses Gebietes [mm] \subset [/mm] G dort das Maximum läge. Und das ist gerade nicht der Fall.

> Konstant heißt doch
> gerade auch, dass der Betrag eben überall gleich ist!
>  
> Verstehe ich was falsch? Oder könnte man den Satz auch
> einfach mit einem "=" formulieren?
>  
> MfG.


Bezug
                
Bezug
Maximumsprinzip: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:05 Di 19.09.2017
Autor: Paivren

Alles klar,

vielen Dank. So herum ist es verständlicher :)

Bezug
        
Bezug
Maximumsprinzip: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:04 Mo 25.09.2017
Autor: fred97


> Guten Tag!
>  
> Neue Runde:
>  
> Maximumsprinzip: Sei [mm]G\subseteq \IC[/mm] ein Gebiet, sei f:
> [mm]G-->\IC[/mm] holomorph. Für ein [mm]w\in[/mm] G gebe es eine Umgebung
> [mm]U\subseteq[/mm] G von w, sodass |f(w)| [mm]\ge[/mm] |f(z)| [mm]\forall z\in[/mm]
> U.
>  
> Dann ist f konstant.
>  
>
> Ich habe die Beweise dazu nachvollzogen, aber ist dieser
> Satz nicht ein Widerspruch in sich? Wenn der Betrag einer
> Funktion bei w größer ist als in der Umgebung,

Oben steht nur [mm] \ge [/mm] !!



> wie kann
> die Funktion dann konstant sein? Konstant heißt doch
> gerade auch, dass der Betrag eben überall gleich ist!
>  
> Verstehe ich was falsch? Oder könnte man den Satz auch
> einfach mit einem "=" formulieren?
>  
> MfG.


An der Antwort meines Vorredners gefällt mir nicht, das der Rand des Gebietes ins Spiel gebracht wird.

Ich formuliere das Maximimprinzip so:

Sei $ [mm] G\subseteq \IC [/mm] $ ein Gebiet, sei $ f:  G [mm] \to \IC [/mm] $ holomorph und sei f nicht konstant. Dann hat $|f|$ in G kein lokales Maximum.



Bezug
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