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Mehrere Kerne?: Kern einer Abbildung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mi 10.01.2007
Autor: KnockDown

Hi, ich habe eine Aufgabe gerechnet zur Wiederholung wo ich den Kern bestimmen muss. Ich habe die Aufgabe auf 3 verschiedenen Wegen gerechnet und 2 verschiedene Kerne heraus gekommen.

$F: [mm] \IR^3 \to \IR^2$ [/mm]

[mm] $\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x +z \\ 2x + 4y + 2z}$ [/mm]


1. Weg:

$I.\ x+z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-z [mm] \Rightarrow [/mm] z=-x$
$II.\ 2x+4y+2z=0$


$I\ in\ II$

$2*(-z)+4y+2z=0$
$-2z+4y+2z=0$
$4y=0$
$y=0$


$I\ in\ I$

$x=-(-x)$
$x=x$


$Kern F = [mm] \vektor{x \\ 0 \\ -x}$ [/mm]




2. Weg:

$I.\ x+z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-z [mm] \Rightarrow [/mm] z=-x$
$II.\ 2x+4y+2z=0$


$I\ in\ II$

$2*(-z)+4y+2z=0$
$-2z+4y+2z=0$
$4y=0$
$y=0$


$Kern F = [mm] \vektor{-z \\ 0 \\ -x}$ [/mm]





3. Weg:

$I.\ x+z=0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=-z [mm] \Rightarrow [/mm] z=-x$
$II.\ 2x+4y+2z=0$

Da es 3 Variablen gibt, habe ich einen Freiheitsgrad. Deshalb setze ich z = 0

I x=-z
x=0


$I\ in\ II$

$2*0+4y+2*0=0$
$-2z+4y+2z=0$
$4y=0$
$y=0$

$Kern F = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm]




Habe ich das falsch errechnet oder warum komme ich 3 mal auf verschiedene "Kern Vektoren"?




Danke!




Gruß Thomas

        
Bezug
Mehrere Kerne?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Mi 10.01.2007
Autor: DaMenge

Hi,

> Hi, ich habe eine Aufgabe gerechnet zur Wiederholung wo ich
> den Kern bestimmen muss. Ich habe die Aufgabe auf 3
> verschiedenen Wegen gerechnet und 2 verschiedene Kerne
> heraus gekommen.
>  
> [mm]F: \IR^3 \to \IR^2[/mm]
>  
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x +z \\ 2x + 4y + 2z}[/mm]
>  
>
> 1. Weg:
>  
> [mm]I.\ x+z=0 \Rightarrow x=-z \Rightarrow z=-x[/mm]
>  [mm]II.\ 2x+4y+2z=0[/mm]
>  
>
> [mm]I\ in\ II[/mm]
>  
> [mm]2*(-z)+4y+2z=0[/mm]
>  [mm]-2z+4y+2z=0[/mm]
>  [mm]4y=0[/mm]
>  [mm]y=0[/mm]
>  
>
> [mm]I\ in\ I[/mm]
>  
> [mm]x=-(-x)[/mm]
>  [mm]x=x[/mm]
>  
>
> [mm]Kern F = \vektor{x \\ 0 \\ -x}[/mm]
>  
>

richtig. [ok]

>
>
> 2. Weg:
>  
> [mm]I.\ x+z=0 \Rightarrow x=-z \Rightarrow z=-x[/mm]
>  [mm]II.\ 2x+4y+2z=0[/mm]
>  
>
> [mm]I\ in\ II[/mm]
>  
> [mm]2*(-z)+4y+2z=0[/mm]
>  [mm]-2z+4y+2z=0[/mm]
>  [mm]4y=0[/mm]
>  [mm]y=0[/mm]
>  
>
> [mm]Kern F = \vektor{-z \\ 0 \\ -x}[/mm]
>  
>

richtig. [ok]
aber du weißt ja aus I , dass -z=x, also eingesetzt erhälst du den selben Vektor wie oben

>
>
>
> 3. Weg:
>  
> [mm]I.\ x+z=0 \Rightarrow x=-z \Rightarrow z=-x[/mm]
>  [mm]II.\ 2x+4y+2z=0[/mm]
>  
> Da es 3 Variablen gibt, habe ich einen Freiheitsgrad.
> Deshalb setze ich z = 0


nein, du kannst z beliebig wählen, also z.B z=t, dann bekommst du wieder den Vektor:
[mm] $\vektor{-t\\0\\t}=t*\vektor{-1\\0\\1}$ [/mm]

dies gilt für alle beliebigen t....
hier darfst du nicht einfach t=0 festsetzen, denn damit reduzierst du den Kern ja von einer Geraden auf einen Punkt...

Der Kern ist immer ein UVR und eine lineare Abbildung hat nur einen Kern.

viele Grüße
DaMenge

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