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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Menge alle Vektoren
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Menge alle Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 So 06.05.2007
Autor: philipp.koelgen

Aufgabe
Bestimmen Sie die Menge aller Vektoren (x1,x2,x3)  [mm] \in \IR^3 [/mm] für die gilt:

x1+2x2+x3= 0
2x1+x2+x3=0
3x1      +x3=0

Hallo Zusammen,

kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Leider habe ich überhaupt keine Ahnung wie ich hier rangehen soll.

Vielen Dank!

Gruß Philipp

        
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Menge alle Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 So 06.05.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du mußt die Lösung(en) des Gleichungssystems bestimmen.

Wie Du das machst, ist im Prinzip egal und wird davon abhängen, welche Methoden Du kennst und kannst.

Da Du im Hochschulforum postest, denke ich, daß Du den Gauß-Algorithmus und die Zeilenstufenform bereits hattest. Wenn das so ist, solltest Du erstmal eine matrix draus machen und diese in Zeilenstufenform bringen.

Gruß v. Angela


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Menge alle Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 So 06.05.2007
Autor: philipp.koelgen

Vielen Dank für Deine Hilfe.

Nur eine Frage hätte ich da noch:

Muss ich die Matrix auf Zeilenstuffenform bringen, oder kann ich nicht direkt den Gauß Algorithmus anwenden?

Gruß Philipp

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Menge alle Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 So 06.05.2007
Autor: schachuzipus

Hi,

das ist doch dasselbe ;-)

Stelle mal die Matrix auf und bringe sie mittels Gauß-Algo in ZSF.

Da müsste eine Nullzeile entstehen, dann kannste eine allg. Lösung konstruieren


Gruß

schachuzipus

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Menge alle Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 So 06.05.2007
Autor: philipp.koelgen

Habe jetzt mehrmals die Martix auf Zeilenstufenform gebracht,

aber bei mir kommt immer


1  1  1      0
0 -1 -1      0
0  0  1      0

heraus. Ich bekomme keine Nullzeile. Was habe ich falsch gemacht?
Und wenn ich die Nullzeile habe, wie kann ich dann deine allgemeine Lösung konstruieren?

Bitte helft mir.

Gruß Philipp

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Menge alle Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 So 06.05.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Philipp,

die Matrix, die das ursprüngliche GS repräsentiert, ist

[mm] \pmat{ 1 & 2&1&|&0 \\ 2 & 1 &1&|&0\\3&0&1&|&0} [/mm]

Hier kann man das $-2$-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile und das $-3$-fache der 1.Zeile zur 3.Zeile addieren und erhält

[mm] \pmat{ 1 & 2&1 &|&0\\ 0 & -3 &-1&|&0\\0&-6&-2&|&0} [/mm]

Hier sieht man schon, dass die 3. Zeile ein Vielfaches der 2.Zeile ist, also $-2$-faches der 2.Zeile zur 3.Zeile addieren:

[mm] \pmat{ 1 & 2&1 &|&0\\ 0 & -3 &-1&|&0\\0&0&0&|&0} [/mm]

Hier hast du nun 2 Gleichungen mit 3 Variablen, also eine frei wählbare, zB [mm] x_3=t [/mm] mit [mm] t\in\IR [/mm]

Daraus kannst du dir dann die weitere Lsg konstruieren/berechnen

Gruß

schachuzipus

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Bezug
Menge alle Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 So 06.05.2007
Autor: philipp.koelgen

Vielen Dank für Deine Hilfe!

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Bezug
Menge alle Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 So 06.05.2007
Autor: philipp.koelgen

Wenn ich für x3=t wähle ist es dann richtig,

dass ich für x2= -t/3 und für x1= -2t/3 herausbekomme?

Gruß Philipp

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Bezug
Menge alle Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 So 06.05.2007
Autor: schachuzipus

Hi Philipp,

ich habe für [mm] x_1=-\frac{t}{3} [/mm] raus

[mm] x_2 [/mm] hab ich auch so wie du

LG

schachuzipus

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Bezug
Menge alle Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 So 06.05.2007
Autor: philipp.koelgen

Kann ich als Schlußsatz schreiben:

Die Menge alle Vektoren (x1,x2,x3) [mm] \in \IR^3 [/mm]

beträgt für x1=-t/3 für x2= -t/3 und für x3=1 ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Menge alle Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 So 06.05.2007
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Kann ich als Schlußsatz schreiben:
>  
> Die Menge alle Vektoren (x1,x2,x3) [mm]\in \IR^3[/mm]
>  
> beträgt für x1=-t/3 für x2= -t/3 und für x3=1 ? [mm] x_3=t [/mm]

Das klingt komisch, gib doch einfach die Lösungsmenge an:

[mm] \IL=\{t\cdot{}\vektor{-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\\1}|t\in\IR\}=\{s\cdot{}\vektor{-1\\-1\\3}|s\in\IR\} [/mm]


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                
Bezug
Menge alle Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:21 So 06.05.2007
Autor: philipp.koelgen

Vielen, vielen Dank für Deine Hilfe.
Dir noch einen schönen Abend.

Gruß Philipp

Bezug
                                                                                        
Bezug
Menge alle Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 So 06.05.2007
Autor: schachuzipus

dir auch, danke ;-)


schachu.

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