Menge aller Teiler < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 01.02.2015 | | Autor: | soffel |
| Aufgabe | | Hallo, ich habe folgende Frage: geg. seien 2 nat. Zahlen a und b. Bei Division durch 24 läßt a den Rest 7 und b den Rest 5. Ermittle die Menge aller Teiler der Differenz der Quadrate dieser beiden Zahlen. |
ich habe mir für a und b Beispiele gesucht. a =31 und b=29. Differenz der Quadrate erhalte ich 961-841=120. Die Menge aller Teiler habe ich mit 16 ermittelt. jetzt ein anderes Beispiel für a. a=55 und wieder die Differenz der Quadrate: 3025-841=2184. Jetzt gibt es aber viel mehr Teiler als 16...weiß nicht wie ich jetzt die menge aller teiler bestimmen könnte, das dies für alles gilt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 So 01.02.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, ich habe folgende Frage: geg. seien 2 nat. Zahlen a
> und b. Bei Division durch 24 läßt a den Rest 7 und b den
> Rest 5. Ermittle die Menge aller Teiler der Differenz der
> Quadrate dieser beiden Zahlen.
Das soll vermutlich mit der Restklassenrechnung erledigt werden.
Es gilt:
[mm] a\mod24=7 [/mm] und [mm] b\mod24=5
[/mm]
Also kannst du wie folgt umbauen:
[mm] a=\left(n_{a}+\frac{7}{24}\right)
[/mm]
bzw
[mm] b=\left(n_{b}+\frac{5}{24}\right)
[/mm]
[mm] n_{a} [/mm] und [mm] n_{b} [/mm] sind jeweils ganze Zahlen
Bide nun mal die Quadrate, [mm] a^{2} [/mm] und [mm] b^{2}
[/mm]
Beachte dabei die binomischen Formeln.
Subtrahiere dann mal die Quadrate, dann sehen wir weiter.
> ich habe mir für a und b Beispiele gesucht. a =31 und
> b=29. Differenz der Quadrate erhalte ich 961-841=120. Die
> Menge aller Teiler habe ich mit 16 ermittelt. jetzt ein
> anderes Beispiel für a. a=55 und wieder die Differenz der
> Quadrate: 3025-841=2184. Jetzt gibt es aber viel mehr
> Teiler als 16...weiß nicht wie ich jetzt die menge aller
> teiler bestimmen könnte, das dies für alles gilt?
Passe mal bitte deinen Status an, das ist definitiv keine Aufgabe für die 7 Klasse.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 So 01.02.2015 | | Autor: | soffel |
Das ist aus dem KZM Klasse 7. So schwer kann das sicher nicht sein mit der Lösung.....muß irgendwie einfacher gehen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 01.02.2015 | | Autor: | soffel |
hat jemand noch andere Ideen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 So 01.02.2015 | | Autor: | abakus |
> Das ist aus dem KZM Klasse 7. So schwer kann das sicher
> nicht sein mit der Lösung.....muß irgendwie einfacher
> gehen
Hallo Soffel,
aus [mm]a\equiv 7 \,mod \,24[/mm] folgt doch nach Satz III [mm]a^2\equiv 7^2\equiv 49 \equiv 1 \,mod \,24[/mm] .
Stelle entsprecherd auch b² mod 24 auf und bilde die Differenz.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 01.02.2015 | | Autor: | soffel |
ich habe mir jetzt die modulrechnung paar mal angeschaut und verstehe es nicht. in unserem Beispiel sind ja a und b versch. zahlen mit versch. rest.
in meinem Arbeitsmaterial steht aber [mm] a\equiv [/mm] b mod m
das heißt doch daß a und b bei Division mit der gleichen zahl den gleichen rest lassen
jetzt verstehe ich nicht warum man dann a [mm] \equiv [/mm] 7 mod 24 schreiben kann, weil 7 ist doch der rest???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 So 01.02.2015 | | Autor: | abakus |
> ich habe mir jetzt die modulrechnung paar mal angeschaut
> und verstehe es nicht. in unserem Beispiel sind ja a und b
> versch. zahlen mit versch. rest.
> in meinem Arbeitsmaterial steht aber [mm]a\equiv[/mm] b mod m
> das heißt doch daß a und b bei Division mit der gleichen
> zahl den gleichen rest lassen
> jetzt verstehe ich nicht warum man dann a [mm]\equiv[/mm] 7 mod 24
> schreiben kann, weil 7 ist doch der rest???
Ja. Nur gilt die Definition im Arbeitsmaterial für beliebige Zahlen, die man dort zufälligerweise a und b genannt hat. Das hat nichts damit zu tun, dass in deiner Aufgabe zwei Zahlen, die NICHT zueinander kongruent sind (dummerweise) auch die Namen a und b bekommen haben.
Also:
Wir nehmen uns zunächst zwei Zahlen. Die eine ist a, die andere ist 7.
a soll laut Aufgabe den Rest 7 bei Teilung durch 24 lassen. 7 lässt auch den Rest 7 bei Teilung durch 24. Also sind a und 7 kongruent nach dem Modul 24, damit sind auch ihre Quadrate kongruent, und da 7² den Rest 1 lässt und da 7² kongruent zu a² ist gilt das, was ich dir geschrieben habe.
Nun nehmen wir uns zwei andere Zahlen. Die eine heißt b, die andere ist die Zahl 5. Die 5 lässt den Rest 5 mod 24, und b soll laut Aufgabe das Gleiche tun. Also sind 5 und b kongruent mod 24, dann ist b² kongruent zu 5² mod 24, also lässt b² bei Teilung durch 24 den Rest ...
Wenn a² den Rest lässt und b² den Rest ... lässt, dass lässt a²-b² den Rest ... bei Teilung durch 24.
Kommst du klar?
PS: Jetzt muss ich mal nachfragen (weil dich die verschiedenen Reste von a und b irritieren):
Was hast du im vorherigen Aufgabenteil a) heraus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 So 01.02.2015 | | Autor: | soffel |
bei aufgabe a habe ich rest 6 heraus. habe ich aber nur durch probieren herausgefunden 
aufgabe b schaue ich mir morgen weiter an. gute nacht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Mi 04.02.2015 | | Autor: | soffel |
Hallo Abakus,
jetzt hab ich es mit dem Rest verstanden. beides läßt den rest 1 bei Teilung durch 24.
Die Differenz ist also 0 mod 24, das heißt, es bleibt kein Rest übrig, sondern ein Vielfaches von 24. Aber wie ermittle ich jetzt die Mengel aller Teiler? Denn 24 bzw. die Vielfachen davon haben ja versch. Anzahlen an Teilern?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:12 Mi 04.02.2015 | | Autor: | soffel |
Hallo Abakus,
jetzt hab ich es mit dem Rest verstanden. beides läßt den rest 1 bei Teilung durch 24.
Die Differenz ist also 0 mod 24, das heißt, es bleibt kein Rest übrig, sondern ein Vielfaches von 24. Aber wie ermittle ich jetzt die Mengel aller Teiler? Denn 24 bzw. die Vielfachen davon haben ja versch. Anzahlen an Teilern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mi 04.02.2015 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
> jetzt hab ich es mit dem Rest verstanden. beides läßt
> den rest 1 bei Teilung durch 24.
> Die Differenz ist also 0 mod 24, das heißt, es bleibt
> kein Rest übrig, sondern ein Vielfaches von 24. Aber wie
> ermittle ich jetzt die Mengel aller Teiler? Denn 24 bzw.
> die Vielfachen davon haben ja versch. Anzahlen an Teilern?
Hallo Soffel,
jede Zahl, die durch 24 teilbar ist (so wie 24, 48, 72, ...) ist z.B auch durch 12 teilbar.
Durch welche Zahlen sind alle Vielfachen von 24 auch noch teilbar?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mi 04.02.2015 | | Autor: | soffel |
Hallo,
24 ist durch 1,2,3,4,6,8,12 und 24 teilbar. Hat also 8 Teiler. Die 48 hat aber
mit 1,2,3,4,6,8,12,24, 48 insgesamt 10 Teiler, die 72 hat 12 Teiler, die 96 14 Teiler usw.
Wie schreibt man das jetzt am Besten auf?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Mi 04.02.2015 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> 24 ist durch 1,2,3,4,6,8,12 und 24 teilbar. Hat also 8
> Teiler. Die 48 hat aber
> mit 1,2,3,4,6,8,12,24, 48 insgesamt 10 Teiler, die 72 hat
> 12 Teiler, die 96 14 Teiler usw.
> Wie schreibt man das jetzt am Besten auf?
Hallo Soffel,
es geht nur um die Teiler, die a²-b² unter den genannten Bedingungen (Reste von a und b) bei Teilung durch 24 IMMER hat.
Die 48 hat z.B. auch den Teiler 16, aber nicht alle Differenzen a²-b² haben diesen Teiler 16.
Die gefragten Lösungen sind wirklich nur die Teiler von 24, weil die IMMER auftreten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Do 05.02.2015 | | Autor: | soffel |
Vielen Dank!!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 So 01.02.2015 | | Autor: | abakus |
> Hallo, ich habe folgende Frage: geg. seien 2 nat. Zahlen a
> und b. Bei Division durch 24 läßt a den Rest 7 und b den
> Rest 5. Ermittle die Menge aller Teiler der Differenz der
> Quadrate dieser beiden Zahlen.
> ich habe mir für a und b Beispiele gesucht. a =31 und
> b=29. Differenz der Quadrate erhalte ich 961-841=120. Die
> Menge aller Teiler habe ich mit 16 ermittelt. jetzt ein
> anderes Beispiel für a. a=55 und wieder die Differenz der
> Quadrate: 3025-841=2184. Jetzt gibt es aber viel mehr
> Teiler als 16...weiß nicht wie ich jetzt die menge aller
> teiler bestimmen könnte, das dies für alles gilt?
Hallo,
es geht nicht darum, dass bei einem Beispiel mehr und bei einem anderen Beispiel weniger Teiler auftreten. Es geht darum, welche Teiler IMMER (unabhängig vom konkret gewählten Beispiel von Zahlen a und b mit diesen Resten) auftreten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 So 01.02.2015 | | Autor: | soffel |
Ja ich weiß, manchmal ist mir durch probieren ein Licht aufgegangen
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