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Forum "komplexe Zahlen" - Mengen skizzieren
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Mengen skizzieren: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Mi 29.08.2012
Autor: derahnungslose

Aufgabe
Gegeben sin die Mengen

M1= [mm] \{z \in \IC| |z+i|+|iz-1| \le 4\} [/mm] ..

in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1

Hallo Leute,

ich werde gerade verrückt. Mein Radius will einfach nicht stimmen -.- (habe die Musterlösung). Bin das so angegangen:

[mm] |a+bi+i|+|ai+bi^2-1| \le [/mm] 4

[mm] |a+i(b+1)|+|ai+(-b-1)|\le [/mm] 4

[mm] \wurzel{a^2+(b+1)^2}+\wurzel{a^2+(-b-1)^2}\le [/mm] 4 jetzt alles quadrieren

[mm] a^2+(b+1)^2+a^2+(-b-1)^2\le16 [/mm]

[mm] a^2+b^2+2b+1+a^2+b^2+2b+1\le16 [/mm] zusammen gefasst und durch 2 geteilt

[mm] a^2+(b+1)^2\le8 [/mm]  Radius ist Wurzel 8. Das ist aber leider falsch -.- und ich weiss nicht wo der Fehler ist. Der Richtige Radius ist Wurzel(4)=2.

Danke! :)

        
Bezug
Mengen skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Mi 29.08.2012
Autor: MontBlanc

Hallo,

> Gegeben sin die Mengen
>  
> M1= [mm]\{z \in \IC| |z+i|+|iz-1| \le 4\}[/mm] ..
>  
> in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1
>  Hallo Leute,
>  
> ich werde gerade verrückt. Mein Radius will einfach nicht
> stimmen -.- (habe die Musterlösung). Bin das so
> angegangen:
>  
> [mm]|a+bi+i|+|ai+bi^2-1| \le[/mm] 4
>  
> [mm]|a+i(b+1)|+|ai+(-b-1)|\le[/mm] 4
>  
> [mm]\wurzel{a^2+(b+1)^2}+\wurzel{a^2+(-b-1)^2}\le[/mm] 4 jetzt alles
> quadrieren

Warum ? Es ist $ [mm] (b+1)^2=(-1)^2(b+1)^2=(-b-1)^2 [/mm] $. Und deswegen $ [mm] \sqrt{a^2+(b+1)^2}+\sqrt{a^2+(-1-b)^2}=2\sqrt{a^2+(b+1)^2}\leq [/mm] 4 $ und daher $ [mm] \sqrt{a^2+(1+b)^2}\leq [/mm] 2 $

> [mm]a^2+(b+1)^2+a^2+(-b-1)^2\le16[/mm]
>  
> [mm]a^2+b^2+2b+1+a^2+b^2+2b+1\le16[/mm] zusammen gefasst und durch 2
> geteilt
>  
> [mm]a^2+(b+1)^2\le8[/mm]  Radius ist Wurzel 8. Das ist aber leider
> falsch -.- und ich weiss nicht wo der Fehler ist. Der
> Richtige Radius ist Wurzel(4)=2.

Du hast also erkannt, dass es sich um einen Kreis handelt ?

> Danke! :)

LG

Bezug
                
Bezug
Mengen skizzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mi 29.08.2012
Autor: derahnungslose

Vielen Dank!
Ja ich habe gewusst, dass es sich um einen Kreis handelt. Aber was war an meiner Rechnung falsch? Ich darf doch eine Ungleichung quadrieren, oder nicht? So gehe ich immer vor. Es ist ja meistens nicht so, dass man das zusammen fassen kann zu [mm] 2*\wurzel{a^2+(b+1)^2}. [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Mengen skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Mi 29.08.2012
Autor: Valerie20

Siehe dazu meine Antwort.

Valerie

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Bezug
Mengen skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 Mi 29.08.2012
Autor: reverend

Hallo Ahnungsloser,

zusätzlich zu MontBlancs und Valeries Antworten hier noch ein Hinweis:

> Aber was war an meiner Rechnung falsch? Ich darf doch eine
> Ungleichung quadrieren, oder nicht?

Nein, das darfst Du nicht so einfach.
Nimm mal die Ungleichung -2<1. Sie ist ohne Zweifel wahr.
Was passiert aber, wenn Du sie quadrierst?

Das Quadrieren ist im allgemeinen keine Äquivalenzumformung. Wenn man es anwendet (manchmal sogar anwenden muss), um eine Aussage überhaupt weiter bearbeiten zu können, muss man so gut wie immer Fallunterscheidungen einführen. Und man sollte dann immer die Ergebnisse noch einmal durch Einsetzen überprüfen. Erstaunlich häufig sind nämlich so ermittelte Lösungen gar keine Lösung!

Im vorliegenden Fall darfst Du allerdings quadrieren, da beide Seiten der Ungleichung sicher [mm] \ge0 [/mm] sind. Allerdings behältst Du wegen des gemischten Glieds in der binomischen Formel immer noch einen Wurzelterm übrig. Bei Gleichungen wäre das nicht tragisch - man isoliert den Wurzelterm auf der einen Seite, indem man alles andere auf die andere Seite bringt und quadriert dann einfach nochmal. Bei Ungleichungen hat man dann aber wieder das oben genannte Problem, so auch hier!

> So gehe ich immer vor.

Das solltest Du Dir abgewöhnen, oder aber wirklich genaueste Fallunterscheidungen hinzunehmen!

> Es ist ja meistens nicht so, dass man das zusammen fassen
> kann zu [mm]2*\wurzel{a^2+(b+1)^2}.[/mm]  

Stimmt natürlich.

Grüße
reverend


Bezug
        
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Mengen skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Mi 29.08.2012
Autor: Valerie20

Hi!

> Gegeben sin die Mengen
>  
> M1= [mm]\{z \in \IC| |z+i|+|iz-1| \le 4\}[/mm] ..
>  
> in der komplexen Zahlenebene. Skizzieren Sie M1
>  Hallo Leute,
>  
> ich werde gerade verrückt. Mein Radius will einfach nicht
> stimmen -.- (habe die Musterlösung). Bin das so
> angegangen:
>  
> [mm]|a+bi+i|+|ai+bi^2-1| \le[/mm] 4
>  
> [mm]|a+i(b+1)|+|ai+(-b-1)|\le[/mm] 4
>  
> [mm]\wurzel{a^2+(b+1)^2}+\wurzel{a^2+(-b-1)^2}\le[/mm] 4 jetzt alles
> quadrieren
>  
> [mm]a^2+(b+1)^2+a^2+(-b-1)^2\le16[/mm]

Als zusätzliche Bemerkung:

Die Aufgabe könntest du auch so lösen.

Allerdings machst du hier beim Quadrieren einen essentiellen Fehler, auf

den ich hier noch hinweisen möchte.

Wenn du die Ungleichung quadrierst, hast du auf der linken Seite

eine binomische Formel.

Es ist allgemein:

[mm](a+b)^2=a^2+2\cdot a\cdot b+b^2\not=a^2+b^2[/mm]

Valerie



Bezug
                
Bezug
Mengen skizzieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:01 Mi 29.08.2012
Autor: MontBlanc

Hallo Valerie,

das hatte ich ganz vergessen zu erwähnen.

Vielen Dank [daumenhoch]

Bezug
                
Bezug
Mengen skizzieren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 So 05.05.2013
Autor: Regina13

Wie kommt man auf binomische Formel, wenn [mm] a^2+b^2+1+\wurzel[2]{a^2+(b+1)^2}\wurzel[2]{a^2+(b-1)^2}<8 [/mm]
Die 1 kann ich von 8 abziehen?
dann wird auf der andere Seite 7
was mache ich mit den 2 Wurzeln?

Bezug
                        
Bezug
Mengen skizzieren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 So 05.05.2013
Autor: abakus


> Wie kommt man auf binomische Formel, wenn
> [mm]a^2+b^2+1+\wurzel[2]{a^2+(b+1)^2}\wurzel[2]{a^2+(b-1)^2}<8[/mm]
> Die 1 kann ich von 8 abziehen?
> dann wird auf der andere Seite 7
> was mache ich mit den 2 Wurzeln?

Forme um zu [mm]\wurzel[2]{a^2+(b+1)^2}\wurzel[2]{a^2+(b-1)^2}<7-a^2-b^2[/mm].
Dann kannst du quadrieren.
Gruß Abakus

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Mengen skizzieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:27 So 05.05.2013
Autor: Regina13

Sehr hilfreich, Abakus, danke schön. Habe jetzt
[mm] 12a^2+12b^2<49 [/mm] das ist dann eine offene Kreislinie mit Mittelpunkt (-1,1)? oder (1,-1) ? und Radius 7
mfg Regina

Bezug
                                        
Bezug
Mengen skizzieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 So 05.05.2013
Autor: fred97


> Sehr hilfreich, Abakus, danke schön. Habe jetzt
>  [mm]12a^2+12b^2<49[/mm]

Das habe ich nicht nachgerechnet !


>  das ist dann eine offene Kreislinie mit
> Mittelpunkt (-1,1)? oder (1,-1) ? und Radius 7

Das ist doch Unfug !

[mm]12a^2+12b^2<49[/mm]  [mm] \gdw a^2+b^2<\bruch{49}{12} [/mm]

Das ist eine offene Kreisscheibe um (0,0) mit Radius [mm] \bruch{7}{\wurzel{12}} [/mm]

FRED

>  mfg Regina


Bezug
                                                
Bezug
Mengen skizzieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:35 So 05.05.2013
Autor: Regina13

Kannst du mir bitte erklären, warum (0,0) ist?
Vielen Dank im Voraus

Bezug
                                                        
Bezug
Mengen skizzieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:39 So 05.05.2013
Autor: fred97


> Kannst du mir bitte erklären, warum (0,0) ist?
>  Vielen Dank im Voraus

Hat Marcel Dir das nicht hier

https://matheraum.de/read?i=964670

erklärt ?

FRED


Bezug
                                                                
Bezug
Mengen skizzieren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:48 So 05.05.2013
Autor: Regina13

dann wäre es x: [mm] (a-0)^2 [/mm] und y: [mm] (b-0)^2 [/mm] ??

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