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Mengengleichheit zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Fr 20.10.2017
Autor: Peter__12

Aufgabe
Betrachten Sie die wie folgt induktiv gegebenen Mengen M1 und M2 natürlicher Zahlen:

1. Vollständige Beschreibung von M1:
• 3 ∈ M1 und 4 ∈ M1.
• Falls m ∈ M1, so auch m + 3 ∈ M1 sowie m + 5 ∈ M1.

2. Vollständige Beschreibung von M2:
• {3,4,8} ⊆ M2.
• Falls m ∈ M2, so auch m + 3 ∈ M2.

Zeigen Sie induktiv: M1 = M2.


Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter!

Ich habe mir gedacht, da es unendlich viele Elemente in M1 und M2 gibt, es hilfreich wäre wenn man sich die Elemente anschaut, die nicht in M1 und M2 vorhanden sind.
Meiner Meinung nach sind 0,1,2,5 nicht in M1 und M2.

Nur wie zeige ich, dass M1 = M2 ist?

mfG
Peter

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Mengengleichheit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 Sa 21.10.2017
Autor: Chris84

Huhu

> Betrachten Sie die wie folgt induktiv gegebenen Mengen M1
> und M2 natürlicher Zahlen:
>  
> 1. Vollständige Beschreibung von M1:
>  • 3 ∈ M1 und 4 ∈ M1.
>  • Falls m ∈ M1, so auch m + 3 ∈ M1 sowie m + 5 ∈
> M1.
>  
> 2. Vollständige Beschreibung von M2:
>  • {3,4,8} ⊆ M2.
>  • Falls m ∈ M2, so auch m + 3 ∈ M2.
>  
> Zeigen Sie induktiv: M1 = M2.
>  
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter!

Naja, da steht doch, dass man die Gleichheit induktiv zeigen soll, also:

i) Zeige, dass das erste Element (hier die 3) in [mm] $M_1$ [/mm] und in [mm] $M_2$ [/mm] liegt (das ist offensichtlich trivial^^)

ii) Zeige, dass, wenn ein Element $k$ in [mm] $M_1$ [/mm] und in [mm] $M_2$ [/mm] liegt (Induktionsvoraussetzung), auch das nachfolgende Element in [mm] $M_1$ [/mm] und in [mm] $M_2$ [/mm] liegt (Induktionsschritt).

Hilft das?

>  
> Ich habe mir gedacht, da es unendlich viele Elemente in M1
> und M2 gibt, es hilfreich wäre wenn man sich die Elemente
> anschaut, die nicht in M1 und M2 vorhanden sind.
> Meiner Meinung nach sind 0,1,2,5 nicht in M1 und M2.

Das Problem hier ist, dass du das vermutlich nur durch ne endliche Betrachtungsweise bekommen hast. Sieht zwar gut aus, aber wer sagt, dass es noch irgendwo Elemente gibt, die ebenso nicht in [mm] $M_1$ [/mm] und in [mm] $M_2$ [/mm] liegen.

>  
> Nur wie zeige ich, dass M1 = M2 ist?
>  
> mfG
>  Peter
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Mengengleichheit zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:12 Sa 21.10.2017
Autor: tobit09

Hallo Chris84!

Ich denke nicht, dass hier gewöhnliche vollständige Induktion gemeint ist, sondern Induktion nach der Definition von [mm] $M_1$ [/mm] bzw. [mm] $M_2$. [/mm]

> ii) Zeige, dass, wenn ein Element [mm]k[/mm] in [mm]M_1[/mm] und in [mm]M_2[/mm] liegt
> (Induktionsvoraussetzung), auch das nachfolgende Element in
> [mm]M_1[/mm] und in [mm]M_2[/mm] liegt (Induktionsschritt).

Falls du mit "nachfolgendes Element" das Element $k+1$ meinst, wird dieser Beweis nicht gelingen:
Zwar liegt $k:=4$ in [mm] $M_1$ [/mm] und in [mm] $M_2$, [/mm] aber $k+1=5$ weder in [mm] $M_1$ [/mm] noch in [mm] $M_2$. [/mm]

Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Mengengleichheit zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:36 Sa 21.10.2017
Autor: tobit09

Hallo Peter__12 und herzlich [willkommenvh]!


Wenn es dir gelingt, sauber zu zeigen, dass [mm] $M_1=\IN\setminus\{0,1,2,5\}$ [/mm] und [mm] $M_2=\IN\setminus\{0,1,2,5\}$ [/mm] gelten (was in der Tat der Fall ist), hast du natürlich [mm] $M_1=M_2$ [/mm] gezeigt.

Das ist aber zum geforderten Nachweis von [mm] $M_1=M_2$ [/mm] nicht nötig.


Ich nenne eine Menge [mm] $M\subseteq\IN$ [/mm] "$1$-gut", wenn sie die Bedingungen aus der Definition von [mm] $M_1$ [/mm] mit $M$ anstelle von [mm] $M_1$ [/mm] erfüllt.
Analog sei der Begriff "$2$-gut" mithilfe der Definition von [mm] $M_2$ [/mm] erklärt.

[mm] $M_1$ [/mm] ist nun definiert als die (bezüglich [mm] $\subseteq$) [/mm] kleinste $1$-gute Menge und entsprechend [mm] $M_2$ [/mm] als die kleinste $2$-gute Menge.


Um [mm] $M_1=M_2$ [/mm] zu zeigen, würde ich nacheinander
i) [mm] $M_1\subseteq M_2$ [/mm] und
ii) [mm] $M_2\subseteq M_1$ [/mm]
zeigen.

Zu i):
Dazu genügt es zu zeigen, dass die Menge [mm] $M_2$ [/mm] auch $1$-gut ist (da [mm] $M_1$ [/mm] die bezüglich [mm] $\subseteq$ [/mm] kleinste $1$-gute Menge ist).
Dafür zu zeigen ist:
a) [mm] $3,4\in M_2$ [/mm]
b) Für alle [mm] $m\in M_2$ [/mm] gilt auch [mm] $m+3\in M_2$. [/mm]
c) Für alle [mm] $m\in M_2$ [/mm] gilt auch [mm] $m+5\in M_2$. [/mm]

ii) geht ähnlich wie i).

Der schwierigste Teil der Aufgabe ist i) c).
Hier würde ich zeigen, dass die Menge [mm] $M_2':=\{m\in M_2\;|\;m+5\in M_2\}$ [/mm] $2$-gut ist und somit [mm] $M_2'\supseteq M_2$ [/mm] gilt.


Viele Grüße
Tobias

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