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Forum "Sonstiges" - Mengenlehre Beweis
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Mengenlehre Beweis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Do 05.09.2013
Autor: ZeroPunch

Aufgabe
Seien A, B und C Mengen. Zeigen Sie, dass gilt

(A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C = (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)

Meine Beweisführung ist folgenden:

"Es gilt: A [mm] \cup [/mm] B := { x | x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B}

Weiterhin gilt: A [mm] \cap [/mm] C := {x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C}

Betrachten wir (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C so lässt sich das auch als
{ x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B } [mm] \cap [/mm] C = { (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B ) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C} definieren

Umgeformt:

{x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C} [mm] \cup [/mm] {x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C}

Daraus folgt:

{x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C} = A [mm] \cap [/mm] C

{x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C} = B [mm] \cap [/mm] C

Das entspricht:

(A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)"

Ist der Beweis formal und inhaltlich korrekt? Vermutlich nicht deswegen bin ich euch dankbar für eure Hilfe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Mengenlehre Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:27 Do 05.09.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Seien A, B und C Mengen. Zeigen Sie, dass gilt
>
> (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\cap[/mm] C = (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C)
>  Meine Beweisführung ist folgenden die Folgende:

>

>
> "Es gilt: [mm]A \cup B := \{ x | x \in A \vee x \in B\}[/mm]
>  
> Weiterhin gilt: [mm]A \cap C := \{x \in A \wedge x \in C\}[/mm]

besser: $A [mm] \cap C=\{x:\;\; x \in A \wedge x \in C\}$ [/mm] - das solltest Du, besser, auch
unten so verwenden.

>
> Betrachten wir [mm](A \cup B) \cap C[/mm] so lässt sich das auch
> als
> [mm]\{ x \in A \red{\;\wedge\;}x \in B \} \cap C = \{ (x \in A \red{\wedge} x \in B ) \wedge x \in C\}[/mm] definieren auffassen (per Definitionem!)

  
Die roten [mm] $\wedge$ [/mm] sind falsch und gehören jeweils durch ein [mm] $\vee$ [/mm] ersetzt!
Weil das hier schon falsch ist, gestehe ich, dass ich keine Lust hatte, den
Rest auf Folgefehler zu untersuchen. Aber: So kannst Du das Ganze
natürlich angehen und dann auch sowas wie die Regel

   $(R [mm] \vee S)\wedge [/mm] T [mm] \equiv [/mm] (R [mm] \wedge [/mm] T) [mm] \vee [/mm] (S [mm] \wedge [/mm] T)$

verwenden [mm] ($R,S,T\,$ [/mm] zweiwertige Aussagen!).

Generell ist aber empfehlenswert(er), dass man, wenn man eine Mengengleichheit

    $X = [mm] Y\,$ [/mm]

beweisen soll, diese Aufgabe in zwei Teile zu zerlegen:

1.) Man zeigt $X [mm] \subseteq Y\,.$ [/mm]

2.) Man zeigt $Y [mm] \subseteq X\,.$ [/mm]

Grund: Bei den einzelnen Teilen behält man oft einfach besser den
Überblick - denn man braucht nicht unbedingt Folgerungen in zwei Richtungen
[mm] ($\iff$), [/mm] sondern es reicht, in eine zu folgern...

(Denn daraus folgt dann [mm] $X=Y\,;$ [/mm] genauer gesagt gilt sogar [mm] $X=Y\,$ [/mm] genau dann, wenn
sowohl $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ als auch $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt.)

Daher mein Ratschlag: Korrigiere erst nochmal den Beweis so, wie Du ihn
machen wolltest, und danach führe ihn, indem Du ihn "entsprechend den
zwei Teilmengenbeziehungen zerlegst".

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Mengenlehre Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Do 05.09.2013
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

Generell ist es sehr geschickt, wie dir Marcel gesagt hat, dies über Inklusionen zu zeigen.

Ich mache mal [mm] "\subseteq" [/mm] und überlasse dir den Fall : " [mm] \supseteq" [/mm]

Es soll nachstehende Behauptung gezeigt werden:

Behauptung 1:

[mm](A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)[/mm]

Wir nehmen an x sei aus [mm](A \cup B) \cap C[/mm]

Sei x [mm] \in[/mm]   [mm](A \cup B) \cap C[/mm] [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) ,nun muss x aus C als auch aus (A [mm] \cup [/mm] B) sein. Somit ist zu unterscheiden
a) x [mm] \in [/mm] A oder
b) x [mm] \in [/mm] B

betrachtet sei: a) x [mm] \in [/mm] A somit : [mm] \Rightarrow [/mm]  x [mm] \in [/mm] C und x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
b) natürlich analoge Argumentation was auf das Resultat [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C) führt.

Somit folgt als Conclusio: x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \cap [/mm] C)

[mm] "\subseteq" [/mm] erledigt.

your turn ;)

Gruß
Thomas

Ps:
Man hätte es sicher ein wenig schöner ausführen können, dies sei dir überlassen :D

Bezug
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