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Messbare Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:08 So 09.11.2014
Autor: mariem

Hallo,

in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit Lebesgue-Maß, haben wir dass f [mm] \in L^1 [/mm] und [mm] \hat{f}(t)=\int [/mm] f(x) [mm] e^{ixt} [/mm] dx , [mm] \forall [/mm] x [mm] (i^2=-1). [/mm]

Ich muss folgendes zeigen:
1. [mm] \hat{f} [/mm] ist stetig
2. [mm] \lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0 [/mm]
3. [mm] ||\hat{f}||_{\infty} \leq ||\hat{f}||_1 [/mm]


[mm] L^1=\{f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \text{ oder } \mathbb{C} : f \text{ messbar und } \int |f|d\mu < +\infty\} [/mm]

1. Um zu zeigen dass [mm] \hat{f} [/mm] stetig ist, muss man zeigen dass das Integral [mm] \int [/mm] f(x) [mm] e^{ixt} [/mm] dx stetig ist. Also muss man zeigen dass f(x) stetig ist, oder nicht?
Um das zu zeigen benutzt man die Tatsache dass f messbar ist?

[mm] 2.\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \int [/mm] f(x) [mm] e^{ixt} dx=\int [/mm] f(x) [mm] \lim_{t \rightarrow \pm \infty}e^{ixt} [/mm] dx
Wie kann ich weiter machen?

3. Wir haben dass [mm] ||\hat{f}||_p [/mm] = [mm] \left ( \int | \hat{f}|^p d \mu \right )^{1/p}. [/mm]
Also [mm] ||\hat{f}||_1 [/mm] =  [mm] \int |\hat{f}| d\mu [/mm] < [mm] +\infty [/mm] .
Ist [mm] ||\hat{f}||_{\infty} [/mm] das Supremum?

        
Bezug
Messbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 So 09.11.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>
> in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit Lebesgue-Maß, haben wir dass f [mm]\in L^1[/mm]
> und [mm]\hat{f}=\int[/mm] f(x) [mm]e^{ixt}[/mm] dx , [mm]\forall[/mm] x [mm](i^2=-1).[/mm]
>  
> Ich muss folgendes zeigen:
>  1. [mm]\hat{f}[/mm] ist stetig
>  2. [mm]\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0[/mm]
>  3.
> [mm]||\hat{f}||_{\infty} \leq ||\hat{f}||_1[/mm]
>  
>
> [mm]L^1=\{f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \text{ oder } \mathbb{C} : f \text{ messbar und } \int |f|d\mu < +\infty\}[/mm]
>  
> 1. Um zu zeigen dass [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, muss man zeigen
> dass das Integral [mm]\int[/mm] f(x) [mm]e^{ixt}[/mm] dx stetig ist. Also
> muss man zeigen dass f(x) stetig ist, oder nicht?


Nein. Es ist f [mm] \in L^1. [/mm] f  isti.a. nicht stetig.


>  Um das zu zeigen benutzt man die Tatsache dass f messbar
> ist?

... und natürlich f [mm] \in L^1. [/mm]


>  
> [mm]2.\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \int[/mm]
> f(x) [mm]e^{ixt} dx=\int[/mm] f(x) [mm]\lim_{t \rightarrow \pm \infty}e^{ixt}[/mm]
> dx
>  Wie kann ich weiter machen?

So nicht ! Schätze [mm] \hat{f}(t)-\hat{f}(s) [/mm] ab.


>  
> 3. Wir haben dass [mm]||\hat{f}||_p[/mm] = [mm]\left ( \int | \hat{f}|^p d \mu \right )^{1/p}.[/mm]
>  
> Also [mm]||\hat{f}||_1[/mm] =  [mm]\int |\hat{f}| d\mu[/mm] < [mm]+\infty[/mm] .
>  Ist [mm]||\hat{f}||_{\infty}[/mm] das Supremum?

Ja, da [mm] \hat{f} [/mm] stetig ist, ist [mm] ||\hat{f}||_{\infty}=\sup \{|\hat{f}(t)|: t \in \IR\} [/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
Messbare Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 So 09.11.2014
Autor: mariem


> Nein. Es ist f [mm]\in L^1.[/mm] f  isti.a. nicht stetig.
>  
>
>  
> ... und natürlich f [mm]\in L^1.[/mm]

  


Wie kann ich zeigen dass [mm] \hat{f} [/mm] stetig ist, wenn f [mm] \in L^1 [/mm] ?




> So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.

  


[mm] \hat{f}(t)-\hat{f}(s) [/mm] = [mm] \int f(x)e^{ixt}dx [/mm] - [mm] \int f(x)e^{ixs}dx [/mm] = [mm] \int [/mm] f(x) [mm] \left [ e^{ixt}-e^{ixs} \right [/mm] ] dx

Wie folgt daraus dass [mm] \lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0 [/mm] ?

  


> Ja, da [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, ist [mm]||\hat{f}||_{\infty}=\sup \{|\hat{f}(t)|: t \in \IR\}[/mm]



Also, wir wollen zeigen dass [mm] \sup \{|\hat{f}(t)|: t \in \IR\} \leq \int |\hat{f}|d\mu [/mm] oder?
  

Bezug
                        
Bezug
Messbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 So 09.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> > Nein. Es ist f [mm]\in L^1.[/mm] f  isti.a. nicht stetig.
>  >  
> >
> >  

> > ... und natürlich f [mm]\in L^1.[/mm]
>    
>
>
> Wie kann ich zeigen dass [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, wenn f [mm]\in L^1[/mm]
> ?

das wird doch unten behandelt?

>  
>
>
>
> > So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.
>    
>
>
> [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] = [mm]\int f(x)e^{ixt}dx[/mm] - [mm]\int f(x)e^{ixs}dx[/mm]
> = [mm]\int[/mm] f(x) [mm]\left [ e^{ixt}-e^{ixs} \right[/mm] ] dx
>  
> Wie folgt daraus dass [mm]\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0[/mm]
> ?

Wende den Lebesgueschen Konvergenzsatz geeignet an. (Natürlich: Erst
nochmal den Satz nachschlagen, schauen, welche Voraussetzungen man
braucht, zeigen, dass diese Voraussetzungen erfüllt sind.)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Messbare Funktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:53 Mo 10.11.2014
Autor: mariem


> Hallo,
>  
> > > Nein. Es ist f [mm]\in L^1.[/mm] f  isti.a. nicht stetig.
>  >  >  
> > >
> > >  

> > > ... und natürlich f [mm]\in L^1.[/mm]
>  >    
> >
> >
> > Wie kann ich zeigen dass [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, wenn f [mm]\in L^1[/mm]
> > ?
>  
> das wird doch unten behandelt?
>  

Was meinst du?


Bezug
                                        
Bezug
Messbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Mo 10.11.2014
Autor: Lustique


> Was meinst du?

Ich denke mal, dass FRED meint, dass du mit

> So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.

eigentlich zu einer Abschätzung kommen solltest, mit welcher du die Stetigkeit von [mm] $\hat [/mm] f$ zeigen kannst…


Bezug
                                                
Bezug
Messbare Funktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 01:37 Di 11.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> > Was meinst du?
>  
> Ich denke mal, dass FRED meint, dass du mit
> > So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.
> eigentlich zu einer Abschätzung kommen solltest, mit
> welcher du die Stetigkeit von [mm]\hat f[/mm] zeigen kannst…

so ist es, und genau das meinte ich auch.

    [mm] $\hat{f}$ [/mm] ist (genau dann) stetig in [mm] $t\,,$ [/mm] wenn

    [mm] $\lim_{s \to t} |\hat{f}(s)-\hat{f}(t)|=0\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Messbare Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 12.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Messbare Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:51 So 09.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>
> in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit Lebesgue-Maß, haben wir dass f [mm]\in L^1[/mm]
> und [mm]\hat{f}=\int[/mm] f(x) [mm]e^{ixt}[/mm] dx , [mm]\forall[/mm] x [mm](i^2=-1).[/mm]

schreib' bitte mal [mm] $\widehat{f}$ [/mm] genau hin - ich kann mir nicht vorstellen, dass das,
was Du da schreibst, so da steht! (Linkerhand steht doch sicher [mm] $\widehat{f}(\red{\,t\,})$!) [/mm]

Gruß,
  Marcel

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