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Messbare Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Mi 18.04.2007
Autor: papillon

Aufgabe
Sei (X, R, [mm] \mu) [/mm] ein Maßraum und f,g: [mm] X\to\IR [/mm] zwei messbare Funktionen. Beweisen Sie:

Die Funktionen f+g, f-g, [mm] f^{2} [/mm] und f*g sind messbar.

Hallo!

Zu f+g: Ich habe gelesen, dass die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar sei, und da die Addition stetig sei, sei f+g auch messbar.

Kann mir das einer etwas erläutern? Gibt es vielleicht einen elemantaren Beweis, der die Messbarkeit der Veknüpfung nicht voraussetzt?

Zu f-g: Hier gilt wohl entsprechendes wie bei f+g, oder?

Zu f*g: Wieder heißt es: Die Multiplikation ist stetig, also auch messbar. f*g ist Verknüpfung, also messbar.

Gibt es auch hier einen schöneren Ansatz?

Zu [mm] f^{2}: [/mm] Müsste ja enstprechend f*g funktionieren?


Vielen Dank für eure Hilfe!

        
Bezug
Messbare Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Mi 18.04.2007
Autor: Volker2

Hallo,

die Sache geht so: Sei

[mm] \mu\colon \IR\times\IR \rightarrow \IR [/mm]

eine der Abbildungen [mm] (x,y)\mapsto [/mm] x+y,x-y,xy. Dann ist [mm] $\mu$ [/mm] als stetige Abbildung meßbar. Sind f und g meßbar, so ist auch die Produktabbildung zwischen den Produkträumen

[mm] (f,g)\colon X\times X\rightarrow \IR\times \IR [/mm]

meßbar. Da die Verkettung messbarer Funktionen meßbar ist, ist

[mm] \mu\circ (f,g)\colon X\times X\rightarrow \IR [/mm]

meßbar. Aber [mm] (\mu\circ [/mm] (f,g))(x,y)=x+y etc. Fertig.

Volker



Bezug
                
Bezug
Messbare Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Mi 18.04.2007
Autor: papillon

Danke erstmal für die rasche Hilfestellung!

Ich hab aber noch ein paar Fragen:

1. "stetige Abbildungen sind messbar" - Kann man das einfach so voraussetzen?

2. endsprechendes für die Verkettung messbarer Funktionen


Danke nochmal!

papillon

Bezug
                        
Bezug
Messbare Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Do 19.04.2007
Autor: Volker2

Hallo,

beide Aussagen müssen bewiesen werden. Die Beweise sind aber ganz einfach und stehen vermutlich in Deinem Skript oder so. Die Meßbarkeit stetiger Abbildungen ist im Allgemeinen sogar falsch, aber implizit ist in Deiner Aufgabe vorausgesetzt, dass auf [mm] $\IR$ [/mm] und [mm] $\IR\times \IR$ [/mm] die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] der Borelmengen gewählt wird. Dann ist die Aussage klar, denn die offenen Mengen erzeugen diese [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] und Meßbarkeit muß nur auf Erzeugern getestet werden. Aber wegen der Stetigkeit sind Urbilder offener Mengen wieder offen, d.h. liegen in der Borelschen [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $\IR\times \IR$. [/mm] Dass die Verkettung meßbarer Funktionen wieder meßbar ist, zeigt man genauso die wie Tatsache, dass die Verkettung stetiger Funktionen wieder stetig ist.

Volker

Bezug
                                
Bezug
Messbare Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Do 19.04.2007
Autor: papillon

Hallo!

Leider steht davon in unserem Skript nichts, was ein Erzeugersystem ist weiß ich auch nicht.

Kannst du mir vielleicht trotzdem den Beweis skizzieren?

Danke,
papillon

Bezug
                                        
Bezug
Messbare Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Do 19.04.2007
Autor: Volker2

Hallo,

das kann ich nur, wenn Du mir genau erklärst, wie die [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] auf den fraglichen Räumen definiert sind. Die müßt ihr irgendwo definiert haben, denn sonst kann man nicht von Meßbarkeit sprechen.

Volker

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